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NOM :………..
Prénom :………
Classe : Terminale S 1 2 3 4 5
BAC BLANC 2008
MATHEMATIQUES ( 4 HEURES )
Elèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité
Série S
L’usage de la calculatrice est autorisé
Ce sujet comporte 4 exercices en pages 2/3 et 3/3 de cette double feuille .
Chaque exercice devra être traité sur une copie différente et chaque élève
rendra ses copies placées dans cette double feuille
.2/3 EXERCICE 1 ( 5 points )
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été.
On sait que 20% des chaudières sont sous garantie.
Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 100. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1
10.
On appelle G l’événement : « la chaudière est sous garantie », et D l’événement : « la chaudière est défectueuse ».
1. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
2. a. Calculer la probabilité de l’événement A : « la chaudière est sous garantie et est défectueuse ».
b. Calculer la probabilité de l’événement D.
3. Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1
41.
4. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie.
Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse.
Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse.
On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer le coût moyen du contrôle d’une chaudière.
EXERCICE 2 ( 5 points )
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 2 cm, on considère le point A d’affixe i et le point B d’affixe 2.
1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 2. b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et d’angle
4 π . c. Placer les points A, B et B’.
2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M’ d’affixe 'z tel que : 'z = +(1 i z) +1.
a. Montrer que B a pour image B’ par f .
b. Déterminer le(s) point(s) invariant(s) par f , c’est-à-dire le(s) point(s) M tel(s) que M’=M.
c. Etablir que pour tout nombre complexe z distinct de i , on a : z' z i − = −z i
− .
Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.
En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M, pour M distinct de A.
3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble (E) des points M du plan dont l’affixe z vérifie z− =2 2.
b. Démontrer que l’on a : ' 3 2z− − = +i (1 i z)( −2).
En déduire que si le point M appartient à (E), alors son image M’ par f appartient à un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon.
c. Tracer (E) et (C) sur la même figure que A, B et B’.
3/3 EXERCICE 3 ( 6 points )
1. L’objet de cette question est de démontrer que : lim 2
x x
e
→+∞ x = +∞. On supposera connus les résultats suivants :
• La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée.
• e0 =1
• Pour tout réel x, on a : ex >x.
• Soient deux fonctions u et v définies sur l’intervalle ] 0;+∞[. Si pour tout x appartenant à ] 0;+∞[, on a ( )u x ( )v x et si lim ( )
x u x
→+∞ = +∞, alors on a lim ( )
x v x
→+∞ = +∞. On considère la fonction g définie sur [ 0;+∞[ par
3
( ) 6
x x g x =e − . a. Calculer g x où ''( ) g désigne la fonction dérivée de g .
b. Calculer ''( )g x où ''g désigne la fonction dérivée de 'g .
c. Etudier les variations de la fonction 'g ( on ne demande pas la limite en +∞ ) . En déduire que, pour tout réel x 0, on a : ( )g x 0.
d. Démontrer que lim 2
x x
e
→+∞x = +∞ ( à l’aide de résultats précédents ).
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par f x( )=(x2−3)e−x. On appelle ( )Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
a. Déterminer la limite de f en +∞ ( on pourra utiliser le résultat de la question 1 ) . Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?
b. Déterminer la limite de f en −∞.
c. Etudier le sens de variation de la fonction f surℝ et dresser son tableau de variation.
d. Démontrer que l’équation ( )f x =2 admet une solution unique sur ℝ, dont on déterminera un encadrement d’amplitude 10−2.
e. Discuter, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation ( )f x =m.
EXERCICE 4 ( 4 points )
Soit la suite (un n) ∈ℕ définie par u0 =0 et 1 2 3 4
n n
n
u u
+ = u + + . 1. Calculer u1 et u2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈ℕ*, on a un >0. 3. Soit la suite (vn n) ∈ℕ définie par 1
3
n n
n
v u u
= −
+ .
a. Démontrer que la suite ( )vn est géométrique de raison 1 5. b. Exprimer v en fonction de n n et calculer sa limite.
c. Exprimer u en fonction de n n et en déduire la limite de la suite (un).
