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NOM :………..
Prénom :………
Classe : Terminale S 1 2 3 4 5
BAC BLANC 2008
MATHEMATIQUES ( 4 HEURES )
Elèves suivant l’enseignement de spécialité
Série S
L’usage de la calculatrice est autorisé
Ce sujet comporte 4 exercices en pages 2/3 et 3/3 de cette double feuille .
Chaque exercice devra être traité sur une copie différente et chaque élève
rendra ses copies placées dans cette double feuille
.2/3 EXERCICE 1 ( 5 points )
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été.
On sait que 20% des chaudières sont sous garantie.
Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 100. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1
10.
On appelle G l’événement : « la chaudière est sous garantie », et D l’événement : « la chaudière est défectueuse ».
1. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
2. a. Calculer la probabilité de l’événement A : « la chaudière est sous garantie et est défectueuse ».
b. Calculer la probabilité de l’événement D.
3. Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1
41.
4. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie.
Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse.
Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse.
On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer le coût moyen du contrôle d’une chaudière.
EXERCICE 2 ( 5 points )
1. On considère l’équation (E) : 109x−226y=1 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer le PGCD de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ? b. Démontrer que l’ensemble des solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141 226 , 68 109 )+ k + k , où k appartient à ℤ. En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul e tels que 109d = +1 226e ( on précisera les valeurs des entiers d et e ) .
2. Démontrer que 227 est un nombre premier.
3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a 226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :
• à tout entier a de A, f associe le reste de la division euclidienne de a109 par 227.
• à tout entier a de A, g associe le reste de la division euclidienne de a141 par 227.
a. Vérifier que g f
[
(0)]
=0On rappelle le résultat suivant appelé « petit théorème de Fermat » :
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p , alors ap−1 ≡1 modulo p . b. Démontrer que, quel que soit l’entier non nul a de A, a226 ≡1 [modulo 227 ].
c. En utilisant 1.b. , en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A, g f a
[
( )]
=a.Que peut-on dire de f g a
[
( )]
=a ?3/3 EXERCICE 3 ( 6 points )
1. L’objet de cette question est de démontrer que : lim 2
x x
e
→+∞ x = +∞. On supposera connus les résultats suivants :
• La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée.
• e0 =1
• Pour tout réel x, on a : ex >x.
• Soient deux fonctions u et v définies sur l’intervalle ] 0;+∞[. Si pour tout x appartenant à ] 0;+∞[, on a ( )u x ( )v x et si lim ( )
x u x
→+∞ = +∞, alors on a lim ( )
x v x
→+∞ = +∞. On considère la fonction g définie sur [ 0;+∞[ par
3
( ) 6
x x g x =e − . a. Calculer g x où ''( ) g désigne la fonction dérivée de g .
b. Calculer ''( )g x où ''g désigne la fonction dérivée de 'g .
c. Etudier les variations de la fonction 'g ( on ne demande pas la limite en +∞ ) . En déduire que, pour tout réel x 0 , on a : ( )g x 0 .
d. Démontrer que lim 2
x x
e
→+∞x = +∞ ( à l’aide de résultats précédents ).
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par f x( )=(x2−3)e−x. On appelle ( )Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
a. Déterminer la limite de f en +∞ ( on pourra utiliser le résultat de la question 1 ) . Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?
b. Déterminer la limite de f en −∞.
c. Etudier le sens de variation de la fonction f surℝ et dresser son tableau de variation.
d. Démontrer que l’équation ( )f x =2 admet une solution unique sur ℝ, dont on déterminera un encadrement d’amplitude 10−2.
e. Discuter, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de l’équation ( )f x =m.
EXERCICE 4 ( 4 points )
Soit la suite (un n) ∈ℕ définie par u0 =0 et 1 2 3 4
n n
n
u u
+ u
= +
+ . 1. Calculer u1 et u2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈ℕ*, on a un >0. 3. Soit la suite (vn n) ∈ℕ définie par 1
3
n n
n
v u u
= −
+ .
a. Démontrer que la suite ( )vn est géométrique de raison 1 5. b. Exprimer v en fonction de n n et calculer sa limite.
c. Exprimer u en fonction de n n et en déduire la limite de la suite (un).
