1 Détermination d’un coefficient d’inductance propre et mutuelle

Devoir surveillé 11

Mesures d’inductance ; étude d’un haut-parleur ; usine houlomotrice Corrigé

1 Détermination d’un coefficient d’inductance propre et mutuelle

(d’après concours ATS 2020)

1.1 Détermination d’une inductance propre

1.1 Déterminons l’impédance équivalente des trois dipôles en série

Z = Z_C+Z_L+Z_R

= 1

jCω+j Lω+R

= R+j µ

Lω− 1 Cω

¶

= R+j s

L C

µp

LCω− 1 pLCω

¶

donc

Z =a+j b avec la résistance a=R et la réactance b= s

L C

µp

LCω− 1 pLCω

¶

1.2 D’après la loi du diviseur de tension

U_R=R ZE

Les tensionse(t) etuR(t=sont en phase si et seulement si^R_Z est un réel, donc si et seulementZ est un réel, donc si et seulement sib=0 :

b=0 ⇔ s

L C

µp

LCω− 1 pLCω

¶

=0

⇔ ω= 1 pLC

⇔ 2πf = 1 pLC

⇔ f = 1 2πp

LC

⇔ f =f0 avec la fréquence propre f0= 1 2πp

LC

1.3 On placera la résistance en dernier dans le circuit. On placera la voie 1 en sortie du GBF et la voie 2 en avant de la résistance. Les masses communes sont placées à la borne−du GBF.

e(t)

C

R L

u_R(t) i(t)

V1 V2

1.4 En appliquant la règle de trois

|∆φ| =1, 5 div

9 div ×2π=π 3 1.5 Pourf =f0, on a montrer que

uR(t)=e(t)

e(t) uR(t)

E

E

1.2 Détermination d’une inductance mutuelle

1.6 Remplaçons ce schéma ambigu par un schéma plus explicite

L₁ L₂ C

R e2→1 e1→2

e u_R

uL

D’après la loi de Faraday (en convention récepteur ici) uL=L1

d i

d t+Md i

d t+Md i d t +L2

d i d t

| {z }

L_eqd i d t avec

L_eq=L₁+L₂+2M

1.7 Pour passer deMà−M, il suffit d’inverser le sens de branchement d’une des bobines. On inverse ainsi la convention de signe d’une bobine (courant et surface), modifiant ainsi le signe deM:

M= Φ1→2

i_{à traversL1} = Φ2→1

i_{à traversL2} −→ −M= −Φ1→2

i_{à traversL1} = Φ2→1

−i_{à traversL2}

1.8 Les deux fréquences propres s’expriment

f₀₁= 1

2πp

(L1+L2−2|M|)C et f₀₂= 1 2πp

(L1+L2+2|M|)C d’où

1 f₀₂² − 1

f₀₁² =(L1+L2+2|M|)C−(L1+L2−2|M|)C ⇔ |M| = 1 4C

à 1 f₀₂² − 1

f₀₁²

!

2 Étude de haut-parleurs

(d’après CCP TSI 2020 et e3a MP 2020)

2.1 Le haut-parleur est branché à un générateur extérieur. Celui-ci impose une tension aux bornes du haut- parleur, donc un courant.

La bobine est parcourue par un courant. Plongée dans un champ magnétique radiale, elle subit une force de Laplace.

La force de Laplace met en mouvement l’ensemble {bobine + membrane}. La membrane transmet une par- tie de la puissance reçue à l’air, créant un son.

La bobine, en mouvement dans le champ magnétique, voit le flux extérieur à travers elle variée. Il apparaît alors une fem d’induction aux bornes de la bobine ainsi qu’un courant d’induction induit à travers la bobine, modérant le courant extérieur.

2.2 Système :ensemble {bobine + membrane} de massem; Référentiel :lié à l’aimant, supposé galiléen ;

Bilan des forces extérieures :

• PoidsP~=m~g;

• réaction normale du support ;

• force de rappel élastique vers la position d’équilibrez=0 :~Fe= −kz~uz;

• force traduisant le couplage avec l’air :~F= −fd z d t ~uz;

• force de Laplace

~F_L = w

circuitid~`∧B~= w_2πN

0 i adθ~u_θ∧B~ur

soit F~_L = −2πN aBi(t)~uz

• Frottements fluides et solide négligés.

2.3 D’après le principe fondamental de la dynamique, m~a=P~+→−

RN+~Fe+~Fa+~F_L Autour de la position d’équilibre, en projetant sur~uz

mz¨+fz˙+kz= −2πN aBi(t) (M) 2.4 Par définition de la puissance des forces de Laplace

P~m=~F_L.~v= −2πN aBi(t)v(t) Par définition de la puissance de la force électromotrice

P~e=e(t).i(t) D’après le principe de conversion électromécanique de puissance

P~e+P~m=0⇔ e(t)=2πN aB v(t)

2.5 Négliger les effets de bord revient à modéliser la bobine par un solénoïde infini.

Tout plan perpendiculaire à l’axeOz est alors plan de symétrie de la distribution de courant. Le champ propre s’écrit alors

B~p(M)=Bz(r,θ,z)~uz

La bobine est invariante par translation d’axeOz, le champ est alors indépendant dez. La bobine est in- variante par rotation d’angleθautour de l’axeOz, le champ est alors indépendant deθ. Le champ propre s’écrit alors

B~p(M)=Bz(r)~uz

Choisissons, comme contour d’Ampère, un rectangle de longueurdet de cotér₂−r₁.

Par définition de la circulation du champB~p

z B~p.d~`=(Bz(r1)−Bz(r2))d D’après le théorème d’Ampère

zB~p.d~`=µ0i_enlacés Cas 1,r1<r2<a:

(Bz(r₁)−Bz(r₂))d=0⇔Bz(r₁)=Bz(r₂) Le champ est uniforme à l’intérieur de la bobine.

z

¯

⊗

¯

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¯

⊗

¯

⊗ d r₁ r2

Cas 2,a<r1<r2:

(Bz(r1)−Bz(r2))d=0⇔Bz(r1)=Bz(r2) Le champ est uniforme à l’extérieur de la bobine.

Or pourr2→ ∞,Bz→0, donc le champ à l’extérieur de la bobine est nulle Bz(r>a)=0

z

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⊗

¯

⊗ d

r₁ r₂

Cas 3,r1<a<r2:

(B_z(r₁)−B_z(r₂))d=µ0d×N

hi(t)⇔B_z(r₁)=µ0×N hi(t)

z

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¯

⊗

¯

⊗

d r1

r₂

Conclusion : le champ propre à l’intérieur de la bobine s’écrit

~Bp,int=µ0×N hi(t)~uz

Par définition du flux à travers une spire

ϕp=x

B~_p,int.d²S~u_z=πa²×µ0

N hi(t) Par définition du flux à travers lesNspires de la bobine

ΦP=πa²×µ0

N² h i(t) Par définition de l’inductance propre

Φp=Li(t)⇔ L=µ0πN²a² h 2.6 Schéma équivalent du circuit mobile

e(t)=2πN aB v(t)

R L

i

u(t)

2.7 D’après la loi des mailles

u(t)=Ri(t)+Ld i(t)

d t −2πN aB v(t) (E) 2.8 Passons les équations (M) et (E) en notation complexe

(M) −ω²mX+jωf X+k X= −2πN aB I (E) U=R I+j LωI−jω2πN aB X

Par substitution, on trouve

U=R I+j LωI−jω2πN aB× −2πN aB I

−ω²m+jωf +k ⇔ U=R+j Lω+jω (2πN a)²B²I

−ω²m+jωf+k

⇔ U=



R+j Lω+ (2πN a)²B² jωm+f +_j^k_ω



I

Par définition de l’impédance complexe Z=U

I = (2πN a)²B²

j mω+_j^k_ω+f +R+j Lω 2.9

Z = (2πN a)²B²

j mω+_j^k_ω+f +R+j Lω

= 1

j_{(2πN a)}^m2B²ω+ ¹

j^{(2πN a)2B}_k ²ω+_{(2πN a)}^f 2B²

+Z_e

Z = 1

jCmω+_{j L}¹_mω+_R¹_m +Z_e

= Z_m+Z_e

avec

Cm= m

(2πN a)²B² ; Lm=(2πN a)²B²

k ; Rm=(2πN a)²B² f

2.10 On reconnaît la mise en parallèle d’une résistanceRm, d’une capacitéCmet d’une bobineLm.

2.11 Cherchons à faire apparaître la forme canonique d’un filtre passe-bande

Z ≈ R+ 1

jCmω+_{j L}¹_mω+_R¹_m

= R+ Rm

j RmCmω+_{j L}^R_m^m_ω+1

= R+ Rm

1+j Rm

q_C

m

Lm

³p

LmCmω−^p_L ¹

mCmω

´

= Rm

1+jQ³_ω

ω0−^ω_ω⁰´

avec le facteur de qualité Q=Rm

sCm

Lm

et la pulsation propre ω0= 1 pL_mC_m .

2.12

Z R₀

U_e

U₂ U₁

I

D’après la loi d’Ohm

U₁=R₀I(C.R.) U₂= −Z I (C.G) Donc

U₂ U₁= −Z

R0 = −R_m/R₀ 1+jQ³_ω

ω0−^ω_ω⁰´ 2.13 On a montré que

u₂(t)= Z R0

u₁(t)

Le signalu₂(t) se retrouve en prenant la partie réelle de l’expression ci-dessous u2(t)= ℜe

µZ R0

u₁(t)

¶

avecu₁(t)=U1m¡

cos(ωt+φ1)+jsin(ωt+φ1)¢ .

On constate qu’àt=0,u₁(t)=0 et qu’ent=_2ω^π,u₁(t) est maximale, doncφ1= −^π₂, doncu₁(t)=U1m¡

sin(ωt)−jcos(ωt)¢ . Ent=0, on a alors

u2(0)= ℜe µZ

R0

u₁(0)

¶

= ℜe µZ

R0ס

−jU1m¢

¶

= −ℑm(Z) R0

Um1

d’où

ℑm(Z)= −R0

u₂(0)

Um1 = −9, 3Ω

Ent=₂^π_ω

u2

³ π 2ω

´

= ℜe µZ

R₀×(−U1m)

¶

= −ℜe(Z) R₀ Um1

d’où

ℜe(Z)= −R0

u2¡_π

2ω

¢

Um1 =8, 3Ω

−^ℑm(Z)_R0 U1m=0, 28 V

−^ℜe(Z_R0 ⁾U1m= −0, 25 V

2.14 On rappelle queZ =R+ ^Rm

1+jQ³

ω0ω−^ω0_ω

´. Pourω→0 ouω→ +∞,Z→R. Il suffit, sur la figure B, de lire la valeur deℜe(Z) en 0 pour lire la valeur de la résistanceR.

On litR=3, 5Ω, valeur usuelle, proche des valeurs trouvées en TP.

R=3, 5Ω

∆f

2.15 On se place au pic de résonance (ℑm(Z=0)) pour déterminer la fréquence propre f0=31 Hz

Mesurons l’acuité de la résonance (largueur du pic à 1/p

2 sa hauteur ou là où la partie imaginaire est extré- male)

Q= f0

∆f =5, 2

#valeurs usuelles, à comparer à celles du TP.

3 Usine houlomotrice

(d’après e3a PSI 2020)

3.1 Des vagues au système mécanique

Système : pendule pesant de massemet de moment d’inertieJ; Référentiel : terrestre supposé galiléen ;

Bilan des actions mécaniques extérieures : • Forces : - poidsP~= −mg~uzappliqué enG;

- poussée d’Archimède~Π=ρeV g~uzappliquée en G ; - réaction de la pivot−→

R appliquée enO;

- force de la houle~F=βcos(ωt)~uxappliquée enG.

• Couples :

- couple de frottementC~= −αθ˙~u_y;

- couple de la pivot négligé, car supposé parfaite.

3.1 On cherche à déterminer la condition liantm,ρe etV telle que la posi- tion d’équilibreθeq=0 soit stable.

De manière qualitative, il faut expliquer que :

Si le pendule s’écarte de la position d’équilibre, il faut que le moment résultant l’y ramène.

C’est-à-dire que le moment de la poussée d’Archimède soit plus important (en norme) que celui du poids.

Comme les deux forces sont colinéaires et s’appliquent au même point, il faut que ρeV qmg⇔ ρeV >m

De manière quantitative, déterminons l’énergie potentielle s’appliquant sur le pendule :

Ep(θ)=(m−ρeV)g zG= −(m−ρeV)g dcos(θ) Déterminons l’expression de la dérivée seconde deEpenθ=0

Ãd²Ep

dθ²

!

θ=0

=¡

−(m−ρeV)gcos(θ)¢

θ=0= −(m−ρeV)g La position d’équilibre est stable ssi

Ãd²Ep

dθ²

!

θ=0

>0⇔ ρeV>m