Interrogation formative du 14 décembre 2018.

Interrogation formative du 14 décembre 2018.

Exercice 1. On considère les trois fonctions suivantes définie surr´2; 4s:

• fpxq “x³´3x²´9x

• gpxq “ ´x³´3x²´3x

• hpxq “x³`x<sup>2</sup>`x

1. (a) Soitf une fonction polynôme du troisième degré définie surr´2,4spar : fpxq “x³´3x²´9x

Donc :

f¹pxq “3x²´6x´9

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“ p´6q²´4ˆ3ˆ p´9q “144ą0 2^ième étape : Si f¹ possède des racines (discriminant positif)

x1 “ ´b´

?∆

2a “ ´p´6q ´? 144

2ˆ3 “ ´1 et x1“ ´b`

?∆

2a “ ´p´6q `? 144 2ˆ3 “3 f¹ est du signe dea“1ą0 à l’extérieur des racines. 3^ième étape : On dresse le tableau de la fonction f :

x f¹pxq

fpxq

´2 ´1 3 4

` 0 ´ 0 `

´2

´2

5 5

´27

´27

´20

´20

4^ième étape : On détermine la valeur des extrema

Ici on calcul les image de -2, -1, 3 et 4 pour compléter le tableau.

(b) Soitg une fonction polynôme du troisième degré définie surr´2,4s par : gpxq “ ´x³´3x²´3x

Donc :

g¹pxq “ ´3x²´6x´3

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“ p´6q²´4ˆ p´3q ˆ p´3q “0

x g¹pxq

gpxq

´2 4

´ 2

2

´124

´124 4^ième étape : On détermine la valeur des extrema

Ici on calcul les image de -2 et 4 pour compléter le tableau.

(c) Soith une fonction polynôme du troisième degré définie sur r´2,4spar : hpxq “x³`x<sup>2</sup>`x

Donc :

h¹pxq “3x²`2x`1

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“2²´4ˆ3ˆ1“ ´8ă0 2^ième étape : Pas de racine pour h¹. Donc h¹ du signe de a“3ą0 3^ième étape : On dresse le tableau de la fonction h :

x h¹pxq

hpxq

´2 4

`

´6

´6

´84

´84 4^ième étape : On détermine la valeur des extrema

Ici on calcul les image de -2 et 4 pour compléter le tableau.

2. Déterminer une équation de la tangente àpC_hq au point d’abscisse -1.

On utilise la formule donnant la tangente au point d’abscissea:T_a:y“f¹paqpx´aq `fpaq. h¹p´1q “2 hp´1q “ ´1

Donc l’équation de la tangente à pC_hqau point d’abscisse -1 est : y“2px`1q ´1“2x`1

• fpxq “ ´x³`3x<sup>2</sup>`9x

• gpxq “x³`3x<sup>2</sup>`3x

• hpxq “x³`x<sup>2</sup>`x

1. (a) Soitf une fonction polynôme du troisième degré définie surr´2,4spar : fpxq “ ´x³`3x<sup>2</sup>`9x

Alors :

f¹pxq “ ´3x²`6x`9

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“6²´4ˆ p´3q ˆ9“144ą0 2^ième étape : Si f¹ possède des racines (discriminant positif)

x₁“ ´b´?

∆

2a “ ´6´? 144

2ˆ p´3q “3 et x₁ “ ´b`?

∆

2a “ ´6`? 144 2ˆ p´3q “ ´1

f¹ est du signe de a“ ´1ă0 à l’extérieur des racines. 3^ième étape : On dresse le tableau de la fonction f :

x f¹pxq

fpxq

´2 ´1 3 4

´ 0 ` 0 ´

2 2

´5

´5

27 27

20 20 4^ième étape : On détermine la valeur des extrema

Ici on calcul les image de -2, -1, 3 et 4 pour compléter le tableau.

(b) Soitg une fonction polynôme du troisième degré définie surr´2,4s par : gpxq “x³`3x<sup>2</sup>`3x

Alors :

g¹pxq “3x²`6x`3

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“6²´4ˆ3ˆ3“0

x g¹pxq

gpxq

´2 4

`

´2

´2

124 124

4^ième étape : On détermine la valeur des extrema Ici on calcul les image de -2 et 4 pour compléter le tableau.

(c) Soith une fonction polynôme du troisième degré définie sur r´2,4spar : hpxq “x³`x<sup>2</sup>`x

Alors :

h¹pxq “3x²`2x`1

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“2²´4ˆ3ˆ1“ ´8ă0 2^ième étape : Pas de racine pour h¹. Donc h¹ du signe de a“3ą0 3^ième étape : On dresse le tableau de la fonction h :

x h¹pxq

hpxq

´2 4

`

´6

´6

´84

´84 4^ième étape : On détermine la valeur des extrema

Ici on calcul les image de -2 et 4 pour compléter le tableau.

2. Déterminer une équation de la tangente àpC_hq au point d’abscisse -1.

On utilise la formule donnant la tangente au point d’abscissea:T_a:y“f¹paqpx´aq `fpaq. h¹p´1q “2 hp´1q “ ´1

Donc l’équation de la tangente à pC_hqau point d’abscisse -1 est : y“2px`1q ´1“2x`1

Exercice 3. Ci-dessous est représentée une fonction f ainsi que la tangente en 0 àC_f (courbe représentative de f). En déduire la valeur de f¹p1q en justifiant (vous pouvez faire un dessin sur le graphique).

f¹p1q “coef f icient directeur de la tangente en1“6

Exercice 4. Ci-dessous, nous avons la représentation de la fonctionpet les tangentes à sa courbe représentative aux pointsA,B,C etD d’abscisses respectifs 0, 1, 2 et 3.

Déterminer les valeurs de f¹p0q, f¹p1q, f¹p2q et enfin de f¹p3q. On détermine les coefficients directeur des tangentes respectivement en 0, 1, 2 et 3 et on obtient :

f¹p0q “ ´2,f¹p1q “0 (tangente horizontale),f¹p2q “2 et enfin de f¹p3q “4