Nombres complexes : Autour des formes exponentielles…
CHEVRIER – Math Expertes
Exercice 1 : On pose : 𝑧1 = 𝑒𝑖𝜋3 ; 𝑧2 = 3𝑒−𝑖𝜋4 et 𝑧3 = √2𝑒𝑖2𝜋3.
Trouver la forme exponentielle de chacun des nombres suivants : 𝑧1𝑧2 ; 𝑧1
𝑧2 ; 𝑧34 ; 𝑧2
𝑧3 .
Exercice 2 : Écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants : (1 + 𝑖)5 (√2 − 𝑖√6)3 (√3 − 𝑖)4
Exercice 3 : On pose 𝑧1 = −1 − 𝑖 et 𝑧2 =1
2+ 𝑖√3
2. a. Calculer 𝑧𝑧1
2 sous forme algébrique.
b. Ecrire 𝑧1 ; 𝑧2 puis 𝑧1
𝑧2 sous formes exponentielles.
c. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠 (11𝜋
12) et 𝑠𝑖𝑛 (11𝜋
12).
d. En déduire les valeurs de 𝑐𝑜𝑠 (𝜋
12) et 𝑠𝑖𝑛 (𝜋
12) Exercice 4 :
On fixe 𝜃 ∈ ℝ.
1) Démontrer que cos(𝜃) =𝑒𝑖𝜃+𝑒−𝑖𝜃
2 et sin(𝜃) =𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
2) Première application :
a) Exprimer 𝑐𝑜𝑠²(𝜃) à l’aide d’exponentielles complexes.
b) En déduire une expression de 𝑐𝑜𝑠²(𝜃) en fonction de 𝑐𝑜𝑠(2𝜃).
3) Deuxième application :
a) Donner l’écriture développée de (𝑎 + 𝑏)3.
b) En déduire une écriture de cos3(𝜃) à l’aide d’exponentielles complexes.
c) En déduire une expression de cos3(𝜃) en fonction de cos(3𝜃) et cos(𝜃).
d) Reprendre la méthode pour exprimer sin3(𝜃) en fonction de sin(3𝜃) et sin(𝜃).
INFO Ces deux formules
s’appellent les formules d’Euler.
INFO Les écritures ainsi obtenues s’appellent
les linéarisations de
cos3 et sin3.
