DevoirSurveillén°4CorrectionPremièreES/L BilanNoel

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Correction Correction DS n°4 - Première ES/L - Décembre 2017

Devoir Surveillé n°4 Correction

Première ES/L

Bilan Noel

Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points

Exercice 1. Lecture graphique 2 points

On a tracéC_f, la courbe représentative de la fonctionf définie surRainsi que la tangente àC_f aux points C et D d’abscisses respectives 0 et 1. Lire les nombres dérivésf^′(0) et f^′(1) et déterminer l’équation de la tangente àC_f aux points C et D.

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4

−1

−2

D

b

C

b

1. Lecture du nombre dérivé : g^′(0)=1

2. Équation deT0, la tangente àC_g_en_C_{(0 ; 1) :} T0 : y=x−1

3. Lecture du nombre dérivé : g^′(1)= −2

4. Équation deT1, la tangente àC_g_en_{D(1 ; 0) :} T1 : y= −2x+2

A compléter sur cette feuille

Exercice 2. Des distributeurs 4 points

Dans tout l’exercice, les résultats seront si nécessaire arrondis au centième.

Une société a en charge l’entretien de distributeurs automatiques. Elle a observé durant une année le nombre d’interventions réalisées sur chacun des distributeurs.

Nombre d’interventions 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Nombre de machines 10 12 17 44 78 94 83 49 36 16 439

Effectifs Cumulés Croissants 10 22 439 X

1. Déterminerx, le nombre moyen d’interventions réalisées sur chacun des distributeurs ainsi que le nombre mé- dian d’interventions.

• Moyenne :x≈6,09.

• Médiane : il y aN=439 note donc la médiane sera la valeur de rangN+1

2 =220 soitMe=6.

2. Donner à l’aide de la calculatrice l’écart-typeσde la série.

L’écart-typeσde la série estσ≈1,97.

3. Le responsable de la société considère qu’il faut changer les distributeurs si l’intervalle£

x−2σ;x+2σ¤

contient au moins 95% des valeurs de la série. Quelle va être sa décision ?

On a :£

x−2σ;x+2σ¤

≈[2,15 ; 10,03], on compte donc le nombre de valeurs comprises entre 3 et 10. On en a 439− 10−12=417 ce qui représente 417/439≈0.949886<0,95. De ce fait, on a légèrement moins de 95% des valeurs de la série. On va changer les distributeurs.

www.math93.com / M. Duffaud 1/3

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Exercice 3. Taux d’accroissement 4 points

Soit g la fonction définie surRpar : g(x)=x²−2x.

1. Calculerg(1) etg(1+h) pourhréel non nul.

• g(1)=1²−2×1= −1.

• g(1+h)=(1+h)²−2×(1+h)=1+2h+h²−2−2h=h²−1 2. En déduire le taux d’accroissement degentre 1 et 1+h.

t(h)=g(1+h)−g(1)

h =h²−1+1 h =h²

h =h 3. Montrer alors quegest dérivable en 1 et calculerg^′(1).

Puisque

h→0lim t(h)=0 La fonctiongest dérivable en 1 etg^′(1)=0.

4. Déterminer alors l’équation de la tangenteC_gau point d’abscisse 1.

L’équation de la tangente (T) á la courbeC_g au point d’abscissea=1 est (T) : y=g^′(a)(x−a)+g(a).

Donc ici on obtient :

( g(1) = −1 g^′(1) =0

¯

⇒ (T) : y=0×(x−1)−1 y= −1

Exercice 4. Une histoire de tangentes et de second degré 7 points

On considère la fonction h définie et dérivable surRpar : h(x)=x³+6x²−15x+1.

1. Déterminer la dérivée dehsurR.

la fonctionhest définie et dérivable surRet

h^′(x)=3x²+2×6x−15=3x²+12x−15

2. Montrer que l’équation de la tangenteT àC_hau point d’abscisse−1 esty= −24x−3.

L’équation de la tangente (T) á la courbeC_hau point d’abscissea= −1 est (T) : y=h^′(a)(x−a)+h(a).

Donc ici on obtient :

( h(−1) = +21 h^′(−1) = −24

¯

⇒ (T) : y= −24×(x+1)+21 y= −24x−3

3. Déterminer les abscisses des points deC_hqui admettent une tangente horizontale.

Les abscisses des points deC_hqui admettent une tangente horizontale sont les solutions de l’équationh^′(x)=0. On va donc résoudre cette équation du second degré :

L’expression¡

3x²+12x−15¢

est un expression du second degré de la forme¡

ax²+bx+c¢ . Avec :





 a=3 b=12 c= −15

¯

=⇒∆=324>0

Le discriminant∆étant positif, la fonction polynôme du second degréx7−→¡

3x²+12x−15¢

admet deux racines réelles distinctes :

x1=−12−p 324

6 = −5 et x2=−12+p 324

6 =1

Les abscisses des points deC_hqui admettent une tangente horizontale sont donc :−5 et 1.

4. Étudier le signe de la fonction dérivéeh^′surR.D’après l’étude précédente,h^′(x) est du signe dea=3 donc positive à l’extérieur des racines soit :

x Signe deh^′(x)

−∞ −5 1 +∞

+ 0 − 0 +

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5. Existe-t-il des points de la courbeC_hdont la tangente est parallèle à la droite d’équationy= −15x? Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur donc on cherchextels :

h^′(x)= −15⇐⇒3x²+12x−15= −15

⇐⇒3x²+12x=0

⇐⇒x(3x+12)=0

⇐⇒x=0 ou x= −4

Il existe donc deux points de la courbes qui ont des tangentes parallèles à la droite d’équationy= −15x, ceux d’abscisses 0 et−4.

Exercice 5. Coût marginal 3 points

Une entreprise produit des aspirateurs. Chaque mois, elle produit un nombre x d’aspirateurs, x étant compris ente 1 000 et 6 000. Le coût de production, exprimé en euros, de x aspirateurs est donné par : C(x)=0,003x²+60x+48 000.

1. On appelle coût marginal au rang 1 000, la différenceC(1001)−C(1000) et on le noteC M(1000). CalculerC M(1000).

C M(1000)=C(1001)−C(1000)=66,003

2. Une valeur approchée de ce coût marginal est donnée par le nombre dérivé de la fonctionC en 1 000. Calculer C^′(1000).

La fonctionCest dérivable surRet pourxréel :

C^′(x)=0,006x+60 On a donc :

C^′(1000)=66

3. Évaluer la différence entreC M(1000) etC^′(1000). De quel pourcentage ces deux nombres diffèrent-ils ? La différence entreC M(1000) etC^′(1000) est donc de 0,003 ce qui représente par rapport àC M(1000) :

0,003

C M(1000) ≈4.54525×10⁻⁵≈0,0045%

[ Fin du devoir \

Bonus [0.5 point]

Déterminer une fonctionf, définie surR, et dont la dérivée estf^′(x)=x²−3x+2.

Bonus [0.5 point]

Déterminer une fonctiong, définie surR, et dont la dérivée estg^′(x)=x³−x+1 3.