Grenoble,Avril,Mai,Juin2009 Jean-MarcRichard Stabilitécritiquedessystèmesàpetitnombredecorps

(1)

Stabilité critique

des systèmes à petit nombre de corps

http://lpsc.in2p3.fr/theorie/Richard/Richard.html

Jean-Marc Richard jean-marc.richard@lpsc.in2p3.fr

Laboratoire de Physique Subatomique et Cosmologie Université Joseph Fourier – IN2P3

53, avenue des Martyrs, F-38026 Grenoble Cedex, France

Grenoble, Avril, Mai, Juin 2009

(2)

Contenu

1 Introduction

2 Rappels de MQ

3 Systèmes critiques à deux corps

4 Ion hydrogène négatif

5 Stabilité des systèmes de trois charges

6 Stabilité des systèmes de quatre charges

7 Inégalités Hall et Post

8 Liaisons borroméennes

9 Stabilité critique en physique nucléaire

10 Stabilité des hadrons

JMR Stabilité critique

(3)

Introduction

Quelques repères :

Preuve de la stabilité de l’ionH⁻par Bethe,. . . (1929 . . . ) Wheeler proposePs⁻ etPs₂(1945)

Ore réfute la stabilité dePs₂(1946),

Hylleraas et Ore démontrent la stabilité dePs₂(1947), La stabilité deH₂depuisPs₂(1993),

Collapse de Thomas (1935), Découverte de l’isotope⁸He(70’s), Effet Efimov (1970)

Zhukov et al. proposent le terme “borroméen” (1993)

Borroméen caché des systèmes coulombiens (Bressanini, 2001), Liaisons borroméennes avec Coulomb (2003),

(4)

Rappels de MQ

Principe variationnel

E₀≤ hψ|H|ψi, E₁=min

p [max{hψ|H|ψi,hψ⁰|H|ψ⁰i}]. Brisure de symétrie

H=p²+x²+λx =H₀+λH₁, E(λ) =1−λ²/4≤1. H=H₀+λH₁, =⇒ E(λ)≤ hψ(0)|H|ψ(0)i, Changement d’échelle, réduction du nombre de variables

H=~² m

−d²

dr² +`(`+1) r²

−e²

r =me⁴

~²

− d²

dx² +`(`+1) x² −1

x

H= ~² m

−d²

dr² +`(`+1) r²

+Kr²= rK~²

m

− d²

dx²+`(`+1) x² +x²

(5)

MQ, suite

Scaling, suite

H =−~²

m∆_r−g exp(−µr)

r = ~³µ² m

−∆_x −Gexp(−x) x

,

oùG=mg/µ, qui lie pourG&1.68.

Coord. Jacobi : 2 corps

r=r₂−r₁, R=m1r1+m2r2

m₁+m₂ ,

T = p²₁ 2m1

+ p²₂ 2m2

= p²

2µ+ P² m1+m2

, Hamiltonien intrisèque

h= p²

2µ+V(r).

(6)

MQ, fin : Coordonnées de Jacobi pour N corps

x₁=r₂−r₁,

x₂=r₃−m₁r₁+m₂r₂ m1+m2

, . . . .

xN =m1r1+· · ·+mNrN

m₁+· · ·+m_N ,

y₁=r₂−r₁, y₂=r₄−r₃, y₄=x₄, y₃= m₃r₃+m₄r₄

m3+m4

−m₁r₁+m₂r₂ m1+m2

, z₁=r₁+r₂−r₃−r₄,

z2=r1−r2+r3−r4,

z₃=r₁−r₂−r₃+r₄, z₄=x₄,

x1

x2

x1

x2

x3

(7)

Application : oscillateur quelconque à N corps

Masses et couplages quelconques, avec conditions de positivité.

H=X

i

p_i 2m_i +1

2 X

i<j

a_ij(r_i −r_j)²,

r_i →r⁰_i =√

m_ir_i donne 2T =P

p⁰_i²puis{r⁰_i} → {x_j}en imposant x_N =

√m1r⁰₁+·+√ mNr⁰_N m₁+· · ·m_N .

2H⁰ =

N−1

X

i=1

q²_i + X

1≤i≤j≤N−1

b_ijx_i.x_j ,

(8)

2 corps : la force tenseur

V =V_C+V_SSσ₁.σ₂+V_T[3σ₁.ˆrσ₂.ˆr−σ₁.σ₂] +· · · , Solution pourJ =1

ψ= u(r)

r |³S₁i+w(r) r |³D₁i, équations radiales

−u⁰⁰

m +V0u−E u=−2√ 2VTw

−w⁰⁰ m + 6

mr²w+V₀w−2V_Tw−E w =−2√ 2V_Tu, 6% d’état D pour le deutéron. Pas de liaison siVT →6.

(9)

Force tenseur dominante ?

NNavec annihilation négligée VT

0 2√ 2 2√

2 −2

→VT

2 0 0 −4

.

Ψ' z(r) r

"

− r1

3|³S₁i+ r2

3|³D₁i

# ,

−z⁰⁰ m + 4

mr²z+V0z−4VT z=E z , avec 67% d’état D.

(10)

Force tenseur non dominante

Charmonium 2S-1DMélange de proches voisins Ψ⁰= cosθ|³S₁i+sinθ|³D₁i, Ψ⁰⁰=−sinθ|³S₁i+cosθ|³D₁i, Hydrogène, muonium (µ⁺e⁻)

w1(r) =−2√

2X

n

wn,0(r) R∞

0 V_Tu_0,0w_n,0dr E_1S−E_nD ?

−w₁⁰⁰ m − 6

mr²w₁−V₀w−E_0,0w₁=2√

2V_Tu_0,0,

(11)

Le rôle du nombre de dimensions

Àd =3 un potentiel attractif de courte portée demande uncouplage minimal. Par exemple,G&1.68pour un potentiel de Yukawa avec m=µ~=1 et les facteurs ad-hoc pour d’autres valeurs.

Mais pourd ≤2, un potentiel attractif, plus précisément Z

d^(d)rV(r)<0,

a au moins un état lié. Qued =2 soit la frontière :δ-shellsoit V(r) =−δ(r−R0)avecR0=1. On compte les zéros àE =0

ψ⁰⁰(r) + (d−1)ψ⁰(r)

r + δ(r−1) =0, et une solution est

ψ=







1 pourr <1,

1−(r^2−d−1)/(2−d) pourr >1,d 6=2, 1−lnr pourr >1,d =2,

(12)

Seuil de couplage, ordre des niveaux

H= 1 m

p²+mgV(r) . E0(g)∝ −(g−g0)². Ordre des niveaux

H.O. 1D=2S, 2D=3S, etc., états impairs intercalés.

Cb 1P=2S, 1D=2P=3S, etc. (attention à la notation)

∃théorèmes liés au signe de∆V ou au signe ded²V/(dr²)². Voir Martin et Grosse.

(13)

États liés et diffusion Longueur de diffusion

−u⁰⁰(r) +λV(r)u(r) =k²u(r), u(0) =0.

oùV contientm/~²et k²=mE/~².

V =0,u(r)∝sin(kr)

V 6=0,u(r)∝sin(kr+δ)quand r → ∞.

À basse énergie

kcotδ(k) =−1/a+· · · ,

1 2 3 4 5 6 7k

-0.3 -0.2 -0.1

g=1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

g= -1

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

g= -1.4

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

g= -1.5

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

g= -2

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

g= -7

1 2 3 4 5 6

g= -11

2 4 6 8

g= -25

(14)

Longueur de diffusion et fonction d’onde à E = 0

r u

a| ₁ ₂ ₃ ₄ ₅k

-2 2 4 6 8

uHrL, E=0, VHrL=1 expH-rL

1 2 3 4 5k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

uHrL, E=0, VHrL= -1 expH-rL

1 2 3 4 5k

0.5 1.0 1.5

uHrL, E=0, VHrL= -1.4 expH-rL

1 2 3 4 5k

0.5 1.0 1.5

uHrL, E=0, VHrL= -1.5 expH-rL

1 2 3 4 5k

0.5 1.0 1.5

1 2 3 4 5k

-1.0 -0.5 0.5

1 2 3 4 5k

-1.5 -1.0 -0.5

1 2 3 4 5k

0.5 1.0 1.5

(15)

Théorème de Levinson

δ(0)−δ(∞) =nπ

Pourk²→ ∞,|V(r)| k²et δ(k)→0.

Que se passe-t-il pourδ(0)? SiV(r)attractif ou faiblement répulsif,δ(0) =0. Donc,|δ(k)|

monte puis descend.

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

g= -1.4

1 2 3 4 5 6 7k

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

g= -2

1 2 3 4 5 6 7k

1 2 3 4 5 6

g= -11

(16)

Théorème de Levinson (suite)

Selon les valeurs dek,

compétition entre les oscillations quasi libres et les oscillations assurant l’orthogonalité avec les états liés.

2 4 6 8 10r

-0.5 0.5

k=0.1

2 4 6 8 10r

-1.0 -0.5 0.5 1.0

k=1

1 2 3 4 5r

-1.0 -0.5 0.5 1.0

k=5

(17)

Réarrangement des niveaux

H=T +V₀(r) +λV₁(r)non perturbatif, mais portées très différentes

1 2 3 4 5 a²U1

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 E

1 2 3 4 a²U1

-0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 E

(18)

H

⁻

1

H=−1 2∆₁−1

2∆₂−Z r1

−Z r2

+ 1 r12

. Théorie des perturbations

E0,0=−Z², E0,1=hψ₀|r₁₂⁻¹|ψ₀i, ψ₀=exp(−Zr₁

√π

exp(−Zr₂

√π

Théorème de Gauss

E_0,1=

∞

Z

0

u₀²(r)dr





r

Z

0

u₀²(r⁰) r dr⁰+

∞

Z

r

u₀²(r⁰) r⁰ dr⁰



=5Z 8 , E0≤E0,0+E0,1=−2.75 pour Z =2, maisseulement−0.475 pourZ =1, avec seuil àEth=−0.5.

(19)

H

⁻

2

Méthode variationnellle avec charge effective

Ψ_α= (α³/π)exp[−α(r₁+r2)], E(α) =˜ α²−2Zα+5α/8, E˜(α₀) =−(Z−5/16)², pour α₀=Z−5/16,

Z =2, α₀=1.6875, E˜(α₀) =−2.847. . .

Z &1.067,pas de liaison par cette méthode pourZ =1.

GénéralisationFonction d’onde Hartreeψ=f(r₁)f(r₂),f calculée de manière itérative, ne donne pas de liaison pourZ =1.

(20)

H

⁻

3

Comment lierH⁻ ?

Facteur de corrélation explicite

ψ∝exp(−ar₁−ar2) (1+c r12+· · ·)ou

Ψ∝exp(−ar₁−ar2−γr12)(Bethe, Hylleraas, etc. ) Brisure de symétrie restaurée par un contre-terme (Chandrasekhar)

Ψ =N[exp(−a r₁−b r2) +{a↔b}] , qui donne

minE˜ ' −0.50790, a'1.039, b'0.283. Combinaison des deux

ψ=N[exp(−a r₁−b r2−c r12) +{a↔b}] ,

ou unesomme de termes de ce type, qui donne une description exacte.

(21)

H

⁻

4

Autres états liés deH⁻?

Sous le seuilH(1s) +e⁻, doncP= (−1)^`:nonVoir la preuve par Hill.

Mais, imaginons`^P=1⁺(parité non naturelle). Le seuil est H(1s) +e⁻, soit−0.125 en unités naturelles. Un état

(`₁=1)×(`₂=1)→`=1, soit `₁∧`₂, correspond à cette configuration. De nouveau Oslo en pointe.

On arrive assez difficilement à une liaison à environ E =−0.1253. . ..

Cette liaison est encore plus fragile que pour le fondamental.

Elle n’existe pas pour(e⁺,e⁻,e⁻).

(22)

Stabilité des systèmes de trois charges

Question plus générale (Thirring): étant donné 3 charges (±1,∓1,∓1)pour quelles valeurs des masses(m1,m2,m3) obtient-t-on un état lié ?

Éléments de réflexion

RéponsepositivepourH₂⁺,H⁻,Ps⁻, etc.

Réponsenégativepour(p,¯p,e⁻)ou pour(p,e⁺,e⁻), ScalingMême résultat pour(+q,−q,−q)ou pour

(µm₁, µm₂, µm₃). Deux rapports de masse indépendants.

La représentation la plus commode s’avère le « Diagramme de Dalitz » des masses inverses normalisées

α_i = 1

m_i , α₁+α₂+α₃=1.

(23)

Diagramme de Dalitz en cinématique élémentaire

E. Klempt et al. / Physics Reports 413 (2005) 197 – 317 219

Fig. 9. Definition of the Dalitz plot for kinetic energies (upper left), and boundary in the non-relativistic limit, for a decay into three identical particles (upper right) and for particles with masses in ratio [4:1:1] (lower left) or [7:4:1] (lower right), corresponding to the mass ratios for!→3",!^"→!""andpp¯ →!^"!", respectively.

4.1.4. Multiparticle final state

The results on the energy range are easily generalised to more than three mesons in the final state. If 2m_!m₁+m₂+ · · · +m_n, annihilation into thenmesons{m_i}is allowed, and the energy of particle 1, for instance, is bounded by

m1"E1"4m²−(m₂+m₃+ · · · +mn)²+m²₁

4m . (4.9)

4.2. Phase space

Heavier particles are less easily produced than lighter ones. Removing this obvious kinematical effect leads to a more meaningful comparison among various reaction rates. We give below some basic results.

For a more detailed treatment, see, e.g., the reviews[238,251].

The typical decay rate of protonium, of mass 2m, into a set ofnmesons{m_i}is given by

#=(2")⁴⁻³ⁿ 2²⁺ⁿm

!

|M|²

n

"

i=1

d³pi

Ei

$⁴(P˜−p˜₁−· · · ˜p_n). (4.10)

If|M|²is removed, one obtains the phase-space integral. For two-body decays (n=2),|M|²contains the non-trivial dynamical variations when going from one channel to another. Forn_!3,|^M|²also contains information on the correlation or anticorrelation of momenta, allowing tests of scenarios for the formation

(24)

Définition du domaine de stabilité

18 E.A.G. Armour et al. / Physics Reports 413 (2005) 1 – 90

Fig. 1. The domain of possible inverse masses!i, such that!

!i=1, is an equilateral triangle.

4.1. Triangular plot

Consideration of the results already described shows that stability is a property of systems with either m1andm2both large or close to each other. In other words, stability requires|m⁻₂¹−m⁻₃¹|to be small compared tom⁻₁¹. This suggests that it would be advantageous to consider stability as a function of the inverse massesm⁻_i¹instead of the massesmithemselves. This is confirmed by observing that the inverse masses enter the Hamiltonian linearly and consequently the binding energies have simpler monotonic and convexity properties in terms of these variables.

One can combine inverse masses and scaling and represent the stability domain with the normalised coordinates

!i= m⁻¹_i

m⁻₁¹+m⁻₂¹+m⁻₃¹, !1+!2+!3=1 . (4.1)

As seen inFig. 1, each system can be represented as a point inside an equilateral triangleA₁A₂A₃, the inverse mass!ibeing the distance to the side opposite toAi. This is equivalent to barycentric coordinates.

In this representation, the shape of the stability domain is shown inFig. 2.

4.2. General properties of the stability domain

The patterns of the stability and instability regions shown inFig. 2result from three main properties, besides the obvious left–right symmetry corresponding to!2↔!3exchange. They are:

4.2.1. The domain of stability includes the symmetry axis where!2=!3

To our knowledge this result was first pointed out by Hill[20], who used the variational wave function

"=exp(−ar12−br13)+(a↔b), (4.2)

already used by Hylleraas[59]for demonstrating the stability of H⁻and Ps⁻. If the Rayleigh–Ritz principle is combined with the virial theorem (see Section A.5), then only the ratiob/ahas to be ad-

With these new variables, any system of three particles can be represented by a point in a triangle, α1,α2,α3 being the distances to the sides of the triangle. Figure 1 represents such a triangle with a few points representing some three-body systems.

1ppe-

2 3

ppe-

pe+e-

pe-e- pµ-e-

e-e+e pdµ-

ppµ !1

!₃

!3 = 0

!1 = 0

!2

STABLE

Figure 1:

It is of course sufficient, for the time being (i.e., for equal charges of 2 and 3) to consider the left half of the triangle, i.e., to assume m2 ≥ m3. Let us remember that since we have, according to Hill’s theorem, strict stability for m2 = m3, i.e., α2 = α3, there will be some neighbourhood of the lineα2=α3where we shall have stability. However, not all systems will be stable. We have already mentioned the pe⁻µ⁻ system as unstable. Another point where instability is obvious is the left summit marked 3, where we have two infinitely heavy particles with opposite charge producing zero attraction on the third particle. There is, therefore, an instability region in the left half triangle.

We have proved three theorems on the instability region in the left half triangle.

Theorem I

The instability region in the left half triangle is star-shaped with respect to summit 3.

The proof is based on the Feynman-Hellmann theorem combined with scaling. take a point P (Fig. 2) where the system is unstable or at the limit of stability. First we use the variables x1, x2, x3. From the Feynman-Hellmann theorem, ^dE(123)_dx₃ > 0, if x1 and x2 are fixed. The binding energy of the subsystem 12 is fixed. Hence the residual binding can only increase (algebraically). x3 moves fromx3(P) to infinity. The image of this in the rescaledαvariable is the segment,P3, where α1/α2 = constant. If there is no binding atP there is no binding on the whole segment.

Theorem II

In the left-half triangle, the instability region is convex.

Take two pointsP^"andP^""on the border of the stability domain inside the triangle with the αvariables. AtP^"andP^""we haveEP!(12) =EP!(123),EP!!(12) =EP!!(123). It is possible to find a linear rescaling P →M such thatEM^!(12) =EM^!!(12) =EM^!(123) =EM^!!(123). Then

3

(25)

Intro MQ 2 corps H− 3ch. 4ch. HP 8 Phys. Nucl. Hadrons

Allure du domaine de stabilité

Tout point de l’axe est stable(Hill), avec la f.o. de Chandrasekhar.

(M⁺,m⁻,m⁻)est stable∀M/m Étoilement et convexité.

E.A.G. Armour et al. / Physics Reports 413 (2005) 1 – 90 19

Fig. 2. Schematic shape of the stability domain in the triangle of normalised inverse masses for three unit-charges(+1,−1,−1).

Fig. 3. Star-shape behaviour: the lineA3Mshown crosses the stability border only once. This is because the binding energy with respect to the threshold increases monotonically on progression from the border toM.

justed. The applicability of the virial theorem to variational solutions was noticed by Hylleraas[96]and Fock[95].

4.2.2. The instability domain includingA3is star-shaped with respect toA3

The same holds of course forA2. We have seen thatA3does not correspond to a stable configuration, for a point-like protonium atom does not bind an electron. Imagine a straight line fromA3toward the inner part of the triangle, as pictured inFig. 3. Moving along this line means keeping the mass ratio!1/!2 constant while!3decreases. A suitable rescaling provides us with a system of inverse masses

Fig. 2. Schematic shape of the stability domain in the triangle of normalised inverse masses for three unit-charges(+1,−1,−1).

Fig. 3. Star-shape behaviour: the lineA₃Mshown crosses the stability border only once. This is because the binding energy with respect to the threshold increases monotonically on progression from the border toM.

justed. The applicability of the virial theorem to variational solutions was noticed by Hylleraas[96]and Fock[95].

4.2.2. The instability domain includingA3is star-shaped with respect toA3

The same holds of course forA2. We have seen thatA3does not correspond to a stable configuration, for a point-like protonium atom does not bind an electron. Imagine a straight line fromA3toward the inner part of the triangle, as pictured inFig. 3. Moving along this line means keeping the mass ratio!1/!2 constant while!3decreases. A suitable rescaling provides us with a system of inverse masses

!1

!1+!2

, !2

!1+!2

, !3

1−!3

. (4.3)

E.A.G. Armour et al. / Physics Reports 413 (2005) 1 – 90 21

Fig. 4. Convexity: if the pointsMandNboth lie on the same stability border, any intermediate point on the straight segmentMN belongs to an instability domain.

Table 1

Relative excess energy for some symmetric configurations(M^±, m^∓, m^∓)

State M/m g

H⁺₂ 1836.15 0.19495

(!,d,d) 17.666 0.122

(!,p,p) 8.8802 0.100

Ps⁻ 1 0.047982

(!,e,e) 0.483793 0.05519

H⁻ 0.0005446 0.0553

∞H⁻ 0 0.0555

Fig. 5. The functiong(")shows the relative excess of binding, relative to the threshold, for(M⁺, m⁻, m−), as a function of

"=M⁻¹/(M⁻¹+2m⁻¹).

The corresponding curve is plotted inFig. 5. The numerical calculations used to calculategshould be very accurate as they have been checked by several authors. It is interesting thatg(")is not minimal for

(26)

Extension à des charges quelconques

Soit(1,−q₂,−q₃)en utilisant les lois d’échelle.

q2<1,q3<1 Stabilité pour toute valeur des masses,

q2<1,q3>1 Stabilité si (1,2) est le seuil le plus bas, q2>1,q3>1 Difficile !

(27)

Extension à des charges quelconques-suite

Autre point de vue : masses données, stabilité dans le plan(q₂,q₃).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

q₂ q3

0.85

0.9 0.95 1 1.05 1.1

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15

q₂ q3

(28)

Stabilité de (±1, ±1, ∓1, ∓1)

Exemples

(M⁺,M⁰⁺,1⁻,1⁻), i.e.,H₂,D₂,HD, etc. stable

(M⁺,1⁺,1⁻,1⁻) =PsHstable, alors que(M⁺,1⁺,1⁻)est instable ! (1⁺,1⁺,1⁻,1⁻)ou toutmstable(Wheeler, Hylleraas et Ore) (M⁺,M⁰⁺,1⁻,1⁻)stable∀M M⁰

(M⁺,1⁺,M⁻,1⁻),instablepourM>2.2 ouM <1/2.2

Moins de résultats rigoureux que pour 3 charges, mais quelques uns.

À commencer par la stabilité dePs₂par

Ψ =exp(−a r₁₃−b r14−a r24−b r23) +{a↔b}

(29)

Brisures de symétrie pour 4 charges

Brisure de la symétrie de permutation H(M⁺m⁺,M⁻,m⁻) =H(µ⁺, µ⁺, µ⁻, µ⁻)+

1 4M − 1

4m

(p²₁−p²₂+p²₃−p²₄),

Brisure de la conjugaison de charge H(M,M,m,m) =H(µ, µ, µ, µ) +

1 4M − 1

4m

(p²₁+p²₂−p²₃−p²₄),

à seuil constant ! En effet,Ps₂lié par 3%, maisH₂par 17%.

(30)

Allure du domaine

A (1, 0, 0, 0)

C(0, 0, 1, 0) B (0, 1, 0, 0)

D (0, 0, 0, 1)

•E (0.5, 0, 0.5, 0) K•

•J

•F

•H

• G

X (α1, α2, α3, α4) c

b d b

c d R1 R2

C

A

B

D H•

•K

(31)

Inégalités de Hall et Post

Borneinférieureà l’énergie

pour encadrer, en combinant avec borne sup. variat.

pour démontrer l’absence d’état lié pour une limite sur le nombre d’états liés pour les problèmes de limite thermodynamique ou de “stabilité de la matière”

Méthode du découpage

H=H₁+H₂+· · · =⇒E(H)≥E(H₁) +E(H₂) +· · · ExempleH=2p²+r²−1/r avecE '3.252

H₁=p²+r²etH₂=p²−1/r donneE ≥2.75 H₁= (1+x)p²+r²etH₂= (1−x)p²−1/r donne

E(H)≥max

x

3√

1+x− 1 4(1−x)

'3.179

(32)

HP. Comparaison 3 vs. 2 corps

H3= p²₁ 2m+ p²₂

2m + p²₃

3m +V12+V23+V31. décomposé en

H3= p²₁

4m + p²₂ 4m +V12

+

p²₂ 4m + p²₃

4m +V23

+

p²₃ 4m+ p²₁

4m +V31

,

donne la borne

E₃(m,g)≥3E₂(2m,g) =3

2E₂(m,2g), Exemple: modèle (simple) des quarks. Si

V(qqq)≥[v(r12) +v(r23) +v(r31)]/2,=⇒M(qqq)

3 ≥M(qq)¯ 2 cf.Ω(1672)etφ(1020). Le quarkpèse plus lourd dans un baryon.

(33)

Borne améliorée

La borne précédente est loin de la saturation, car elle ne tient pas compte du mouvementglobalde (1,2) pour équilibrer celui de 3.

Une meilleure borne en travaillant sur les hamiltoniens intrinsèques He2(m,g) =H2(m,g)−(p₁+p₂)²

4m , He3(m,g) =H3(m,g)−(p₁+p₂+p₃)²

6m .

On vérifie l’identité He3(m,g) =X

i

He₂⁽ⁱ⁾(3m/2,g), E3(m,g)≥3E2(3m/2,g) au lieu de2m, donc c’est meilleur, etsaturé pour l’oscillateur harmonique.

Pour demasses inégales, plus compliqué, mais on arrive encore à saturer.

(34)

Le dodecatoplet

Spéculation :Amas det et¯t liés par le boson de Higgs,

V =−gexp(−µr)/r. Jusqu’à(t⁶¯t⁶)antisymétrie par spin et couleur.

On néglige relativité, largeur, forces de couleur, etc., et considère H=X

i

p²_i

2m−α_HX

i<j

exp(−µr_ij) r_ij ,

Parscaling

H= µ m



 X

i

p²_i

2 −GX

i<j

exp(−r_ij) rij



 , G= mα_H

µ .

etG∼0.1 semble raisonnable.

PourN =2G&1.68 requis. Calcul exact vs. calcul var. avec

exp(−αr²). Le miraclec’est que ces deux calculs donnent aussi un encadrement pourN>2.

(35)

Le dodecatoplet - suite

En effet, si le calcul var. gaussienN=2 revient à minimiser t(α)−Gp(α), le calcul var.N >2 est

ψ=

N−1

Y

i=1

exp(−αx²_i), EeN =min

α (N−1)t(α)−GN(N−1)/2p(α), donc

[Ee_N(NG/2) ]/(N−1) =Ee₂(G), Par ailleurs Hall-Post précédent se généralise en

HeN(m,g) =



 X

i<j

He₂^(i,j)(m,gN/2)



(2/N),

et ici

EN(NG/2)/(N−1)≥E2(G),

(36)

Dodecatoplet - fin

N G/2

!N/(N−1)

−2.5−

−2.0−

−1.5−

−1.0−

−0.5−

2|

2.5|

3.0|

3.5|

4.0|

4.5|

"

• • •

•

(37)

Liaisons borroméennes

2 corps avecgV(r), oùV(r)attractif, decourte portée.

Liaison sig≥g2.

Par exemple 1.678 pour Yukawa avecm=µ=~=1 3 bosons avecg P

i<jV(r_ij? Liaison pourg ≥g₃. La surprise est que g₃<g₂ :

liaison borroméenne sig₃<g<g₂.

g₃'0.80g₂pour les potentiels simples, i.e. 20% de plage ! De mêmeg4<g3, de l’ordre de 20%

Nombreuses questions N → ∞?

Fermions ?

Peut-on avoirg3∼g2oug3g2?

(38)

E

₃

vs. E

₂

(39)

Limite sur g

₃

/g

₂

H3=1 2

p²₁ 2m + p²₂

2m +2gV12

+1

2 p²₂

2m + p²₃

2m +2gV23

+· · · ,

montre que g3≥g2/2

Mais en s’affanchissant du centre de masse, on peut écrire He3(m,g) = 2

3 X

i

He₂⁽ⁱ⁾(m,3g/2), ce qui montre que g₃≥2g₂/3.

On approcheg₃=2/3g₂pour un oscillateur harmonique

« rabattu », i.e., une barrièreexterne.

On s’éloigne, i.e.,g3'g2pour un cœur durinterne.

(40)

Diverses généralisations du domaine borroméen

N bosonsOn généralise facilement à

N gN≥(N−1)gN−1≥ · · ·2g2

N → ∞?Les inégalités rendent possiblegN →0. En fait si R d⁽³⁾rV(r)<0,a<0, un gaz très dilué sentira une attraction et un état lié pourra se former.

Ne pas confondre avec la condensation de Bose-Einstein ! Particules différentes. Quelques graphes à suivre.

Définition d’un système borroméen : les sous-systèmes à 2 corps instables ? àN−1 corps ? Consensus : Borroméen si on ne peut construire le système en ajoutant les cosntituants un à un, avec une succession d’états liés stables.

(41)

Quelques résultats

(42)

Autres résultats

Potentiel de Morse

v(r) =exp[−2µ(r−r0)]−2 exp[−µ(r−r0)], avec m=µ=1, exactement soluble pour le deux corps.

(43)

Quelques remarques

Ces états se caractérisent par des rayons très élevés

Pour trois corps, la littérature est très riche. On parle des états

« tango » ou « samba » pour les systèmes partiellement borroméens, avec seulement une ou deux paires liées.

On peut chercher l’analogue classique

Comment résoudre le problème à trois corps ? Stratégie différente pour un état bien lié ou un état peu lié.

Par exemple comparerhyperscalaireetFeshbach–Rubinow F(r₁₂² +r₂₃² +r₃₁²), et G(r₁₂+r₂₃+r₃₁), On observe un croisement quandg→g₃.

(44)

Liaison borroméenne avec potentiel coulombien

Pour une collectionqi =±1, il existe toujours des sous-systèmes à deux corpsliés,(+,−),

Il n’ y a pas de couplage critique !. Sie=1→e6=1,toutesles énergies sont multipliées pare⁴.

Mais il y a une structure borroméenne sous-jacente. Si on remplace

1

r_ij → exp(−µr_ij) r_ij ,

avec le même écrantageµpour toutes les paires, on s’aperoit queH disparaît d’abord, quandµ%, puisH⁻, puisH2+, puis enfin H₂.

Existe-t-il des molécules réellement borroméennes, sans facteur de Debye ?

On a vu que PsH l’était un peu, avec(p,e⁺,e⁻)instable,

stabilisé par un seconde⁻, mais on peut partir de Ps⁻et ajouter un proton.

(45)

Problème inverse de la liaison borroméenne

Si les sous-systèmes sont liés, le système est-il lié ? pas si facile qu’il n’y paraît,

résultats non publiés de J.-L. Basdevant travail indépendant, et publié, de Gridnev

Si les sous-systèmesA,B,C, . . . sont liés (qui font une partition), et si∃a∈A,∃b∈B, . . . , tels que{a,b, . . .}est lié, et les

“autres”Vij≤0, alors le système estlié.

Preuve. Jouer astucieusement avec des coordonnées de Jacobi, faire apparaître des termes de type Hughes-Eckart qui

donneront 0 avec une f.o. d’essai

Ψ_AΨ_B. . .f(a,b, . . .)

Par exemple(M,m,m)avec(M,m)liés, etΨ₁₂Ψ13, H=

p²_x

2µ+v(x)

+

"

p²_y

2µ+v(y)

#

+Vmm+ 1 Mp_x.p_y ,

(46)

Liaison borroméenne avec potentiel coulombien-2

On a vu que(m₁⁺,m⁻₂,m₂⁻)n’était stable que pour 0.70.m1

m₂ .1.64, Mais(M⁺,m⁺,M⁻,m⁻)est stable pour

1 2.2 . M

m .2.2,

Ce qui laisse une marge ! en particulier pourM/m'2.

On peut imaginer une molécule(d,p,d¯,p).¯

Dans les expériences au CERN ou à Fermilab, environ 1% ded¯ par rapport auxp, mais il faudrait un programme de physique¯ plus étoffé.

(47)

Diffusion à deux dimensions

assez spécial ! au niveau de l’équation radiale (pour l’onde isotrope)

−u⁰⁰(r) +(d−1)(d−3)

4r² u(r) +V(r)u(r) =k²u(r), le terme centrifuge est−1/(4r²)avec un signe inhabituel.

Le déphasage de basse énergie,δ∼ −kaen 3 D devient δ(k)∼ π

2 lnk ,

universel. L’intensité du potentiel n’apparaît pas.

Longueur de diffusionkcotδ(k) =−1/a+· · · devient cotδ= 2

π

ln ka

2

+γ

+· · · aveca>0

(48)

Diffusion à deux dimensions

Comme à 3D,aest l’annulation de la fonction d’onde

asymptotique àE=0. Ici, la fonction d’onde libre (donc la f.o.

asymptotique) àE=0 est U(r) =A√

r+B√ r lnr , donca=exp(−A/B)estpositif.

SiR

d⁽²⁾V(r)>0, la répulsion domine, et on aa>0 SiR

d⁽²⁾V(r)<0, il y a un état lié, et on ressent une répulsion à basse énergie en diffusion,

Le prochain terme du développement de cotδpermet de définit uneportée effective.

(49)

Stabilité critique en physique nucléaire

Le cas le plus connu des physiciens nucléaires est¹¹Li, qui a un rayon comparable à celui du Plomb !

11Lipossède un cœur de⁹Li, avec 3 protons et 6 neutrons, et en plusun halo de deux neutrons faiblement liés

« Et indépendants », ajoute Wikipedia. Commentez et dites si vous êtes d’accord.

Le plus simple est⁶He, car⁵Heetn−nne sont pas liés

(50)

Stabilité critique en physique nucléaire

Criticalité et forces nucléaires

Échange de mésons avec nombres quantiques (autres que 0⁺⁺

Attraction ou répulsion selon le spin ou l’isospin, À commencer par OPEPV ∝σ₁.σ₂τ₁.τ₂ σ₁.σ₂=1 siS=1 et−3 siS=0,

Même attraction siI =1 etS=0 (proton-proton¹S₀) et pour I =0 etS=1 (deuteron)

Mais ce dernier bénéficie de laforce tenseur(voir ci-dessus) Parenthèse. On peut trouver−9 pourNNcf. Fermi et Yang ce qui s’ajoute aucœur duret au caractère fermionique.

(51)

Quelques noyaux légers remarquables

DeuteriumVoir discussion antérieure. Noter la découverte de l’antideutérium il y a longtemps.

3Het³HePas borroméen mais tango ou samba, selon la définition de Frederico et al.

Noter aussi la nécessité de forces à trois corps pour décrire leurs propriétés,

4Heparticulièrement stable. On décrit certains noyaux comme des assemblages de plusieursα, avec une statistique de bosons et des corrections plus ou moins grandes pour tenir compte de la structure interne.

Nécessité de forces à quatre corps

5Heinstable, mais⁶Hestable et borroméen

7Heinstable et⁸Hestable. Effet de paires.

7Hlongtemps soupçonné et confirmé à GANIL Tétraneutronincertain

(52)

Hadrons

Dans le modèle des quarks : mésons =quark–antiquark, baryons =quark–quark–quark, avec toutes les variations de saveurq=u,d,s,c,b, et les excitations radiales et orbitales, Le cas deq=test spécial.

Dès le début, problème demultiquarkset question de savoir s’ils sont au-dessu ou au-dessous, ouau voisinagedu seuil. Donc problème destabilité critique.

Modèlequasi-nucléaire, avec échange de mésons entre hadrons. Dans les années 60, modèle de “bootstrap”, avec, en particulier nucléon–antinucléon = mésons ordinaires.

Dans les années 70, modèle : nucléon–antinucléon = mésons extraordinaires = baryonium. Mais le rôle de l’annihilation avait été sous-évalué.

Plus récemment, modèle de Yukawa pour des particules

charmées. États liés de baryons charmés (Riska) et, auparavant, de mésons charmés (Törnqvist).

LeX(3872)préditcommeDD^∗. Mais !

(53)

Multiquarks

70’s : modèle dusac de MITa été assez populaire.

Jaffe remarque que pour lesmésons scalaires,(q,q,¯q,q), et¯ (q,q)¯ `=1ont des masses comparables. Début d’une longue discussion sur les mésons scalaires, avec beaucoup de mélanges de configurations.

Fin 1970, Jaffe remarque la possibilité de cohérences dans l’opérateurchromomagnétique

V_ss =−AX

ij

δ⁽³⁾(rij)

m_im_j σ_i.σ_jλ˜_i.˜λ_j ,

dans les hadrons ordinaires, il y a un factorisation toute simple, et ce modèle (DGG) reproduit les écarts hyperfins (ρ−π) mais pour multiquarks, avec plusieurs façons de faire un singlet de couleur, descohérencesparfois

hσ_i.σ_jλ˜_i.λ˜_ji_H−2h· · · iΛ=1

2[h· · · i_N− h· · · i∆] ,

(54)

Multiquarks

pour leH= (uuddss)ou le pentaquark, version 1987,

P = ( ¯Qqqqq),oùqqqq=uudsou permutation (triplet de SU(3)_f).

recherche expérimentale infructueuse

Le calcul précédent suppose SU(3)_f, mais la brisure de symétrie estdéfavorable,

Et aussihδ⁽³⁾(rij)iuniversel, ce qui n’est pas réaliste.

Ce modèle chromomagnétique semble donc devoir être abandonné.

(55)

Multiquarks : modèle chromoélectrique

Pour les quarks lourds, la partie électrique est dominante, Propriété d’indépendance de saveur,

Donc, l’énergie (algébrique)diminuesim%(plus de liaison) Possibilité de multiquark pour(Q,Q,q,¯ ¯q)car le seuil ne bénéficie pas de la liaison supplémentaire (si on travaillé à M⁻¹+m⁻¹constant et augmente la différence.

Tout à fait analogue àH₂vs.Ps₂.

Calculs détaillés : (b,b,u,¯ d¯)stable partout,(c,c,u,¯ d¯)en Slovénie (avec le modèle de BSB)

Mais un meilleur traitement du confinementaméliore les choses

(56)

Multiquarks : modèle chromoélectrique

cas d’un mésonV =r (en unité appropriées)

cas d’un baryonV =min_s(ksv₁k+ksv₂k+ksv₃k) cas d’un tétraquark

V4=min

kv₁v3k+kv₂v4k,kv₁v4k+kv₂v3k, minsa,sb

[kv₁sak+kv₂sak+ks_asb+ks_bv3k+ks_bv4k]

(57)

Multiquarks : modèle de Steiner

Peu de différence pour les baryons, par rapport au modèle additif V =−3

16 X

i<j

λ˜_i.λ˜_jv(rij),

Premier calcul américain pessimiste pour lestétraquarks Mais une étude européenne ( + Australie) donnede la liaison Conclusion : ce modèle donne des résultats très encourageants.

Toutes sortes de corrections à ajouter : couplage au continuum, forces de courte portée, antisymétrisation, etc.

(58)

Métastabilité des quarkonia lourds

Tout-à-fait à l’origine du modèle des quarks, observation par Zweig queφ→K +K φ→π+π+πpeut refléter un contenu intérieur.

φ

π ρ

φ

K K

Surprise lors de la révolution d’Octobre 1974 que l’effet est encore renforcé pourJ/Ψ = (c¯c), avec différence importante que le modeDDest interdit.

Et encore en 1977, avecΥ = (bb)¯ vs.BB.

On peut donc parler d’unenouvelle forme de (méta)stabilité.