Feuille de TD n˚5

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Exercice 1 : Soit f : IR→IR une fonction convexe. Montrer que f est continue.

Exercice 2 : Soit f : IR→IR convexe et x < y < z. Montrer que

1 x f(x) 1 y f(y) 1 z f(z)

>0.

Exercice 3 : Fonction convexe born´ee

1) Soit f : IR⁺→IR convexe et born´ee. Montrer que f est d´ecroissante.

2) Soit f : IR →IR convexe et born´ee. Montrer que f est constante.

Exercice 4 : f convexe major´ee par g affine

Soit f : IR^+∗ →IR convexe et g : IR^+∗ →IR affine.

On suppose : ∀ x >0, f(x)≤g(x) et f(1) =g(1).

Montrer que f =g.

Exercice 5 : Etude `´ a l’infini

Soit f : IR→IR deux fois d´erivable telle que : f ≥0,f⁰ ≥0,f⁰⁰ ≥0.

1) Etudier l’existence des limites (dans IR ) en +∞´ def(x),f⁰(x), f(x) x . 2) Mˆeme question pour les limites en −∞ def(x), f⁰(x), et xf⁰(x).

Exercice 6 : Limite de f(x)−xf⁰(x) Soit f : IR→IR convexe d´erivable.

1) Montrer que p= lim

x→+∞(f(x)−xf⁰(x)) existe.

2) On suppose p fini. En utilisant le fait que f(x)−xf⁰(x) est born´ee au voisinage de +∞, montrer que f(x)

x etf⁰(x) admettent une mˆeme limite m finie en +∞.

3) Montrer alors que f(x)−mx−p −→

x→+∞0.

Exercice 7 : Soit f : IR⁺ → IR d´erivable, concave et v´erifiant f(0) > 0. Montrer que f est sous-additive i.e.

∀x, y ∈R⁺, f(x+y)6f(x) +f(y)

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