Partie II — Étude en dimension 1

(1)

Notations

▷ On rappelle que l’on note Nl’ensemble des entiers positifs ou nul, Zl’anneau des entiers relatifs, Q le corps des nombres rationnels,Rle corps des nombres réels etCle corps des nombres complexes.

▷ On se place dans un espace euclidien (E,h. , .i)de dimensionn∈N^∗. On note k.k la norme euclidienne associée.

▷ Pour tout vecteur xde E et tout réel positif r, on note B(x, r)(resp. B(x, r), resp. S(x, r)) la boule ouverte (resp. la boule fermée, resp. la sphère) de centrexet de rayonr:

B(x, r) ={y∈E | ky−xk< r}, B(x, r) ={y∈E | ky−xk⩽r} et S(x, r) ={y∈E| ky−xk=r}.

▷ Pour toute partie A de E, on note A˚l’intérieur de A, c’est-à-dire le plus grand ouvert (au sens de l’inclusion) inclus dans A,A l’adhérence de A, c’est-à-dire le plus petit fermé contenantA et Fr(A)la frontière deA:

Fr(A) =A\A.˚

▷ Si aest un élément deE, on noteV (a)l’ensemble des voisinages dea.

▷ Pour toute partie fermée et non videF deEet toutx∈E, on admet sans démonstration que l’ensemble {kx−fk, f ∈F}.

admet une borne inférieure notée inf

f∈Fkx−fk et on pose dF(x) =d(x, F) = inf

f∈Fkx−fk.

▷ On pose alors Γ(x) = {f ∈F | kx−fk=d(x, F)}. C’est donc l’ensemble (éventuellement vide) des points deF pour lesquels la borne inférieure est atteinte.

▷ Lorsque Γ(x) est un singleton, on noteπ(x)son unique élément.

▷ Si uet v sont deux vecteurs deE, on appelle segment[u, v]l’ensemble défini par : [u, v] ={x∈E | ∃t∈[0,1], x= (1−t)u+tv}.

▷ Soient A une partie de E et u:A→R. On suppose que0∈A. On dit queu(h) = o

h→0(khk)lorsqu’il existe une fonctionδ définie sur un voisinageV de0 telle que

∀h∈V ∩A, u(h) =δ(h)khk et δ(h)−−−→

h→0 0.

▷ SoientΩun ouvert deEet f : Ω→R. On rappelle que l’on dit quef est différentiable en un élémenta deΩlorsqu’il existe une forme linéaireℓ:E→Rvérifiant :

f(a+h) =f(a) +ℓ(h) + o

h→0(khk).

Lorsqu’elle existe, ℓ est unique et est notée df(a) et l’image ℓ(h) du vecteur h de E par ℓ est notée df(a)·h. Le gradient def enaest alors l’unique vecteurv deE vérifiant :

∀h∈E, df(a)·h=hv, hi. On le note∇f(a). Ainsi, sous réserve d’existence, on a :

f(a+h) =f(a) +h∇f(a), hi+ o

h→0(khk).

▷ Pour tout réelx, on notebxcsa partie entière.

(2)

Le problème a pour objectif d’étudier la différentiabilité de la fonction d_F : x7→ d(x, F) en fonction de la partieF.

On fixe donc une partieF deE non videet fermée.

Partie I — Résultats préliminaires

1. Montrer que, pour tout vecteurxdeE, dF(x) = 0si et seulement six∈F. 2. a) Montrer que, pour tout(x, y)∈E²et toutf ∈F, on a :

dF(y)⩽ky−xk+kx−fk.

b) En déduire qued_F est 1-lipschitzienne.

3. Soientxun vecteur deEet x₀ un vecteur deF. On poser=kx−x₀ket K=B(x, r)∩F. a) Montrer queK est une partie compacte et non vide deE.

b) Montrer queΓ(x)est non vide.

4. On suppose,dans cette question seulement, queF est en outre une partie convexe deE.

a) Montrer que, quels que soient les vecteursuetvdeE, on a : ku+vk²+ku−vk²= 2

kuk²+kvk² . b) Soitxun vecteur deE et soientf etf^′ deux éléments de Γ(x). On suppose quef 6=f^′.

Montrer que : 1

2(f+f^′)−x

²< d(x, F)².

En déduire que, pour tout vecteurxdeE,Γ(x)est un singleton.

Ainsi, avec les notations de l’introduction,Γ(x) ={π(x)}.

c) On souhaite montrer que : ∀x∈E,∀f ∈F,hf−π(x), x−π(x)i⩽0.

Pour cela, on fixe des élémentsxdeE etf deF. On introduit la fonction

φ:

(

[0,1]−→R

t 7−→ k(1−t)π(x) +tf−xk² .

i. Montrer queφest une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2.

ii. Justifier queφadmet un minimum en 0. Conclure.

d) On fixe un vecteurxdeE. Soitzun vecteur deF. On suppose que :

∀f ∈F,hf−z, x−zi⩽0. Montrer quez=π(x).

(3)

Partie II — Étude en dimension 1

On suppose,dans toute cette partie, queE=R, et que Rest muni de sa structure euclidienne canonique.

5. Expliciterd_{₀_}, puis déterminer l’ensemble des points oùd_{₀_}est dérivable et déterminer sa dérivée.

Dans les questions 6 à 10, on suppose queF =Zet on étudie donc la fonctiond_Z. 6. Montrer queZest fermé dans R.

7. Justifier que d_Zest 1-périodique. Étudier la parité.

8. Pour toutxélément de[0,1[, expliciter, en justifiant,d_Z(x)en fonction dex. Tracer le graphe ded_Z. 9. Étudier la dérivabilité de d_Zen tout point de [0,1[.

10. Développement en série de Fourier ded_Z. a) Calculer les coeﬀicients de Fourier ded_Z.

b) La série de Fourier ded_Zconverge-t-elle simplement/uniformément/normalement vers d_Z? c) En déduire la valeur de

X∞ n=1

1

(2n+ 1)² puis de X∞ n=1

1 n², de

X∞ n=1

1

(2n+ 1)⁴ et de X∞ n=1

1 n⁴. On commencera par justifier la convergence des séries.

Pour toute la suite de la partie, on fixe une partie ferméeF deR. On noteΩle complémentaire deF. C’est donc une partie ouverte deR.

11. On définit, surΩ, une relation binaire ∼de la manière suivante : étant donnés deux élémentsxety de Ω, on dit quexest en relation avecylorsqu’il existe un intervalle ouvert]a, b[inclus dansΩet contenant les élémentsxety :

∀(x, y)∈Ω², x∼y ⇐⇒ ∃(a, b)∈R², a < b et (x, y)∈]a, b[² et ]a, b[⊂Ω . a) Montrer que∼est une relation d’équivalence.

b) Montrer que les classes d’équivalences sont des intervalles ouverts deux à deux disjoints.

c) En déduire qu’il existe une famille (]a_i, b_i[)_i_∈_I d’intervalles ouverts deux à deux disjoints, indexée par un ensembleI fini ou dénombrable, telle que

Ω =[

i∈I

]a_i, b_i[.

12. Soitxun élément deΩ. Il existe donc un uniquei0élément de Itel que x∈]ai₀, bi₀[.

a) Exprimer dF(x)à l’aide de x, deai₀ etbi₀. b) Étudier la dérivabilité de dF enx.

13. On suppose dans cette question que F˚6=∅. Soitxun élément deF˚. Étudier la dérivabilité ded_F enx.

(4)

14. Étude à la frontière.

a) On suppose,dans cette question, queF = [0,1]. Expliciter Fr(F).

d_F est-elle dérivable en un point de Fr(F)?

b) Dans cette question, on pose : F =R\Ω où Ω = [

n⩾2

1 n− 1

n³,1 n

, la réunion étant prise sur l’ensemble des entiers naturelsntels quen⩾2.

i. Justifier rapidement queΩ⊂

0,1 2

, queF est un fermé deRet que0∈Fr(F).

ii. Soitx∈Ω. Montrer qu’il existe un unique entier naturelntel quen⩾2 etx∈ 1

n− 1 n³,1

n

. Montrer quen=

1 x

.

iii. En déduire qu’il existe un réelC strictement positif tel que∀x∈

0,1 2

, d_F(x)⩽Cx³. iv. Montrer qued_F est dérivable à droite en 0et en calculer (d_F)^′_d(0).

v. d_F est-elle dérivable en 0 ?

Partie III — Étude de cas particuliers en dimension n

15. On fixe un vecteurx₀ deE et on suppose,dans cette question seulement, queF ={x₀}. a) Expliciterd_F. Soitxun élément deE. ExpliciterΓ(x).

b) Montrer que la fonctiong: (

E −→ R

x 7−→ kx−x₀k² est différentiable surE et calculer son gradient.

c) En déduire quedF est différentiable surE\ {x0}et montrer que :

∀a∈E\ {x₀},∇d_F(a) = 1

ka−x0k(a−x₀).

d) Étude de la différentiabilité dedF enx0. Supposons quedF soit différentiable enx0. i. Montrer que, pour tout vecteurhdeE, on a :

dF(x0+th) =th∇dF(x0), hi+ o

t→0(t). ii. Conclure.

16. On suppose,dans cette question seulement, queF est un sous-espace vectoriel deE, distinct deE.

a) Montrer que pour tout vecteurxdeE,Γ(x)est un singleton, et queπ(défini dans le préambule du sujet) est le projecteur orthogonal surF.

b) Montrer que, pour tout élémentadeE,d²_F est différentiable enaet calculer son gradient.

c) En déduire que, pour tout élémentadeE\F,d_F est différentiable enaet calculer son gradient.

d) On fixe un vecteuradeF. L’objet de cette question est l’étude de la différentiabilité ded_F ena.

(5)

17. Dans cette question, on suppose que E = R², dont les éléments sont notés en colonne, muni de sa structure euclidienne canonique et que :F =

x y

∈R²

y⩽0 ou y⩾x²

. L’objet de cette question est d’étudier la différentiabilité de dF en0_R2.

a) Dessiner l’allure deF.

b) Montrer queF est un fermé deR². c) Montrer que0_R2 ∈Fr(F).

d) Montrer que, pour tout vecteur udeR², dF(u)⩽kuk².

Indication : on pourra séparer les cas oùu∈F et oùu∈R²\F.

e) En déduire que d_F est différentiable en0_R2 et donner son gradient en0_R2.

Partie IV — Distance à la sphère unité

On suppose,dans cette partie seulement, que : F ={x∈E | kxk= 1}. F est donc la sphère de centre0E et de rayon1.

18. Soitaun élément deE\ {0E}. On pose u= 1

kaka et on fixe un vecteury deF.

a) Montrer qu’il existe un plan vectoriel P contenanta,uety.

b) Montrer que S = F∩ P est le cercle unité de P, pour la structure euclidienne sur P induite par celle deE.

c) Montrer queΓ(a) ={u}.

19. Montrer que, pour tout vecteur adeE : d_F(a) =| kak −1|.

20. Montrer que, pour tout vecteuradeEtel quea6= 0_E eta∈/ F,d_F est différentiable enaet calculer son gradient.

21. ExpliciterΓ(0_E).

22. Soitaun vecteur deF. Montrer qued_F n’est pas différentiable ena.

Indication : On pourra calculerdF(a+ta), pour toutt élément de]−1,1[.

23. On fixe un vecteur unitaire v.

a) Étudier la dérivabilité en 0 de φ: (

]−1,1[−→ R

t 7−→ d_F(tv) . b) Conclure quant à la différentiabilité de dF en 0.

(6)

Partie V — Une condition nécessaire de différentiabilité à l’extérieur de F

Dans cette partie, on fixe un vecteuradeE\F et on suppose quedF est différentiable ena.

On souhaite montrer qu’alors :

Γ(a)est un singleton et que ∇dF(a) = 1

d_F(a)(a−π(a)).

On poseu=∇dF(a).

24. a) Montrer que, pour toutt >0, d_F(a+tu)−d_F(a)⩽tkuk. b) En déduire quekuk⩽1.

Dans la suite de cette partie, on se donne unélémenty deΓ(a).

25. a) Montrer que pour toutx∈[a, y],

kx−yk=d_F(a)− ka−xk. b) En déduire que pour toutx∈[a, y],

d_F(x) =kx−yk. 26. On fixet∈]0, d_F(a)]et on posev= 1

dF(a)(a−y).

a) Montrer que

dF(a−tv) =dF(a)−t.

b) Montrer que

hu, vi= 1 =kuk kvk. c) En déduire queu=vet conclure.

Partie VI — Étude de la réciproque

Dans cette partie, on fixe a ∈ E\F et on suppose que Γ (a) est un singleton. Ainsi, avec les notations du préambule,

Γ (a) ={π(a)}.

On souhaite montrer quedF est différentiable enaet que∇(dF)(a) = 1

dF(a)(a−π(a)).

27. Dans cette question, on se propose de montrer que :

∀V ∈V (π(a)),∃U ∈V (a), ∀x∈U,Γ(x)⊂V.

On va l’établir à l’aide d’un raisonnement par l’absurde. On suppose donc qu’il existe un voisinage ouvert V ∈V (π(a))deπ(a)tel que :

∀U ∈V (a),∃x∈U,Γ(x)6⊂V .

(7)

a) Justifier succinctement queM est bien défini, puis montrer que(y_p)_p_∈Nest bornée.

On note ℓune valeur d’adhérence de(y_p)_p_∈N. b) Justifier succinctement l’existence deℓ.

c) Montrer queℓ∈F∩(E\V).

d) Montrer queℓ∈Γ(a), puis conclure.

28. On pose : R=ka−π(a)k.

a) Justifier que R >0 et expliciterB(a, R)∩F.

b) Soitxun élément deB(a, R). On fixe un élémentydeΓ(x).

On considère la fonctionφ:

(R−→R

t 7−→ k(1−t)x+ty−ak²−R² .

i. Montrer queφest un trinôme du second degré. Que dire du signe des racines de ce trinôme ? ii. Montrer que[x, y]∩S(a, R)est un singleton. On notep(x, y)le point d’intersection.

Il existe donc un unique tx,y ∈[0,1]vérifiant :p(x, y) = (1−tx,y)x+tx,yy.

iii. Que vautφ(t_x,y)? En déduire une expression det_x,y. c) Montrer que :

∀ε >0,∃η >0,∀x∈B(a, R),kx−ak< η =⇒ ∀y∈Γ(x),kp(x, y)−yk< ε.

d) En déduire que :

∀V ∈V (π(a)),∃U ∈V (a),∀x∈U,∀y∈Γ(x), p(x, y)∈V . 29. Pour toutxélément deB(a, R), on note y_xun élément deΓ(x). Montrer que :

a) ∀x∈B(a, R),kx−p(x, yx)k²− ka−p(x, yx)k²= 2hx−a, a−p(x, yx)i+kx−ak²; b) kx−p(x, yx)k²− ka−p(x, yx)k²= 2hx−a, a−π(a)i+ o

x→a(kx−ak).

30. Montrer que : d²_F(x) =d²_F(a) +hx−a,2(a−π(a))i+ o

x→a(kx−ak).

31. En déduire que dF est différentiable enaet calculer son gradient.

32. SoitΩun ouvert inclus dansE\F. On suppose que, pour toutx∈Ω,Γ(x)est un singleton.

Montrer qued_F est de classeC¹ surΩ.

Partie VII — Une condition nécessaire de différentiabilité en un point de F

Dans cette partie, on fixe un élémentadeF et on suppose quedF est différentiable ena. On souhaite montrer que : ∇(dF)(a) = 0.

On pose encore :u=∇(dF)(a).

33. Montrer le résultat dans le cas où a∈F˚. 34. On se place dans le cas oùa∈Fr(F).

a) Montrer que :dF(a−tu) =−tkuk²+ o

t→0(t).

b) Conclure.

FIN DU SUJET