Devoir Surveillé 01

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation.

Chaque exercice est indépendant.

Exercice I (2 points)

1) Donner un rationnel non décimal plus petit que 3 2) Donner un réel non rationnel plus grand que 8 3) Donner un rationnel compris entre

4 3 _et

3 8

4) Donner un décimal non rationnel plus grand que 5

Exercice II (3 points) Pour chaque expression 1) Simplifier

2) Donner le plus petit ensemble auquel elle appartient

A= (4 3_{- 1 )×}

5

1 B = C = 1

3 1

7 15 +

+

Exercice III (4 points)

1) Donner la définition d’un nombre premier.

2) Décomposer 1584 et 594 en produit de facteurs premiers 3) En déduire :

a) la décomposition en produit de facteurs premiers de 1584² . b) le pgcd de 1584 et de 594

c) la forme irréductible de la fraction

Exercice IV (1,5 points)

Déterminer si les nombres suivants sont premiers. Justifier les réponses a) 9306

b) 568795 c) 143

Exercice V (4 points)

Ecrire sous forme irréductible les fractions suivantes : A = ₃

6

2 3

9 2

×

× B =

( )

( )

3 2 3

2 4

2 24

27 16

− ×

× − C =

D

=

E

= –

Exercice VI (2,5 points)

a, b et c désignent des nombres réels différents de zéro.

Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont fausses ? Pour celles-ci :

- donner un contre exemple - corriger les erreurs

1) (a + 5)² = a² + 25 2) 2 2

a b b

a c c

+ =

+ 3) ab b ac a =c a

+ + ; 4)

₅₎ (a - 3a)²= 2a² 6) (a³)² x (a^-1)²= a³

Exercice VII (3 points)

1) Ecrire A sans radical au dénominateur A = 3 2

2 5 3

−+

2) Mettre B sous la forme a avec a et b entiers : B =6 28- 2 63 - 112

3) Soit C= 2x² –3x + 5. Calculer C, sous la forme a+b 5 avec a et b entiers, pour x= 3 5 puis pour x = 3 - 5 .

Exercice Bonus :

1) Ecrire sous forme fractionnaire sachant que b et d sont non nuls.

2) Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est toujours un rationnel.

3) Donner deux nombres rationnels non entiers dont la somme est un entier non nul.

4) Soit A = 3

2−5. Etablir que si A est un nombre rationnel alors 2 l’est aussi.

Que peut-on en déduire pour A ?

Exercice I (2 points)

1) Donner un rationnel non décimal plus petit que 3 : ¹

3 convient.

2) Donner un réel non rationnel plus grand que 8 : π+⁸ convient.

3) Donner un rationnel compris entre ^{3 9}

4=12 et ^{8 24}

3=12 : ^{12 1}

12= convient donc.

4) Impossible, tout nombre décimal est un rationnel puisque ^D⊂ℚ. Exercice II (3 points)

1.

A= (4 3_{- 1 )×}

5

1 _{B =} C = 1

3 1

7 15 +

+

1 1 1

4 5 20

 

= − × = −

 

1 1 1 4 5

3 3 3 3 3

4

= + = + = 1 15 333

3 3

106 106 106 15

= + = + = 2. Le plus petit ensemble qui contient A est donc D puisque ⁵

A= −100 : pour B, et C, le plus petit ensemble les contenant est ^ℚ.

Exercice III (4 points)

1. Un nombre premier est un entier relatif qui admet exactement 2 entiers naturels qui le divisent, 1 et lui-même.

2. A l’aide des méthodes usuelles de division successives, on obtient : 1584=²⁴× ×^{32 11} et 594=^{2 3}× ×^{3 11}.

3a. Les règles sur les puissances donnent : 1584²= × ×^{28 34 112}.

3b. Le pgcd de 1584 et de 594 est composé des facteurs premiers communs aux deux nombres, affectés du plus petit coefficient. On a donc pgcd(1584, 594)= × ×2 3² 11.

3c. Divisions chacun des membres par le pgcd, on obtient la fraction irréductible ^{594 3}₃ 1584=2 . Exercice IV (1,5 points)

a. 9306 n’est pas premier : il est pair donc divisible par 2.

b. 568795 n’est pas premier : il se termine par 5 donc il est divisible par 5.

c. 143 : on a ¹⁴³≤ ¹⁴⁴=¹². Testons les divisions de 143 par les nombres premiers inférieurs à 12.

> 2, 3, 5, 9 ne divisent par 143 d’après les critères classiques.

> 11 : oui, on a 143 = 11×13, donc 143 n’est pas premier.

Exercice V (4 points) A = ^{26 9}₃ ^{26 3}₃^{2 23 3}

3 2 3 2

× = × = ×

× × B =

( )

(

²

) ( )

³

3 3 6 3 15 3

3 2 4 4 6 16 3

2 4

2 24 2 3 2 2 3 1

(3 ) (2 ) 3 2 3 2

27 16

− × = × × = × = −

− × − × ×

× −

C = ²

(

^{1 1}

)

^{2 2}

2 2 4

2 2 5 5 1

5 5 5

− − −

× ×

= =

D

=

^{1 ( 1) 2} 1

2 2

− − = =

E

=

¹⁰₂₂₆ ¹₂₂₆ ⁹₂₂₆

10 −10 =10

Exercice VI (2,5 points)

a, b et c désignent des nombres réels différents de zéro.

Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont fausses ? Pour celles-ci :

- donner un contre exemple - corriger les erreurs

1. (FAUX) (a + 5)² = a² + 25 : contre-exemple avec, par exemple a = 1.

(1+5)² = 36 et 1²+25 = 26. On a en réalité (a + 5)² = a² + 25 + 10a

2. (FAUX) 2 2

a b b

a c c

+ =

+ : contre-exemple avec, par exemple a = 1, b = 0, c = 1.

2 1

2 3

a b a c

+ =

+ ^{mais 0}

b c= .

Ici l’erreur qui a été faite est de simplifier par a, ce qui n’est possible que si a est en facteur au numérateur et au dénominateur.

3. (FAUX) ab a ac a =

+

( )

^b

a

(

^c+1

)

^=cb+1 : contre-exemple, pour a = 0, où le membre de droite n’est pas défini alors que celui de gauche l’est.

4.(FAUX) ^a₃⁴ a^{4 3} a⁷ a

− = − − = −

5. (FAUX) (a - 3a)²= 2a² : prendre a = 1 pour s’en convaincre.

En fait, (a-3a)² = (-2a)² = 4a²

6.(FAUX) ^{(a3 2) ×}

( )

^{a−1 2 =a6×a−2=a6 2− =a4.}

Exercice VII (3 points)

1. On a A = ^{3 5 2 3 5 2 2 3}

(

^{3 5 2}

) (

^{2 3}

)

6 5 3 15 4 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3

+ × +

+ = + × + = = + + +

− − + −

2. On a B=6 4 7× −2 9 7× − 16 7× =12 7−6 7−4 7=2 7. 3. Soit C(x)= 2x² –3x + 5.

> On a ^C

( ) ( ) ( )

^{3 5 =2 3 5 2−3 3 5 + = × × −5 2 9 5 9 5+ =5 95 9 5− .}

> De même,

( ) ( ) ( )

( )

2

3 5 2 3 5 3 3 5 5

2 9 5 6 5 9 3 5 5 24 9 5

C − = − − − +

= × + − − + + = −

Exercice Bonus : 1. On a ^{a c ad bc}

b d bd

+ = + .

2. Soit x et y deux rationnels : par définition, il existe a et b entiers relatifs (b non nul), il existe c et d entiers relatifs (d non nul) tels que a, c

x y

b d

= = .

puisque b et d sont non nuls.

3. Par exemple, ^{1 5} 2

3+ =3 convient.

4) Soit A = 3 2−5.

Supposons que A est un nombre rationnel alors : il existe a et b tels que ^{2 5} 3

a

− =b et par conséquent 2 ^{5 3 5}

3 3

a a b

b b

= + = + .

Cela signifie que 2∈^ℚ ce qui est absurde, puisqu’il est irrationnel (voir cours).

L’hypothèse « que A est un nombre rationnel » est donc fausse donc A est irrationnel.