A2846 – 7 et les rationnels [*** à la main]
Sait-on trouver :
- 2 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 3 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 4 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 5 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? Solution proposée par Daniel Collignon
2/ les 2 nombres rationnels seraient solutions de l'équation X^2-7X+7=0, de discriminant 21 : impossible car X serait irrationnel !
3/ On cherche une solution de la forme : 7a/b + b/c + c/a=7 (a,b,c)=(2,12,9)
D'où les 3 rationnels : 7/6, 4/3, 9/2
4/ On cherche une solution de la forme : 7a/b + b/c + c/d + d/a=7 (a,b,c,d)=(1,6,4,3)
D'où les 4 rationnels : 7/6, 3/2, 4/3, 3
5/ Pas de solution.
Par l'absurde supposons qu'il existe 5 rationnels r1,...,r5 >0 tq r1*...*r5 = 7 = r1+...+r5.
Alors d'après l'inégalité arithmético-géométrique (r1*...*r5)^(1/5) =< (r1+...+r5)/5 D'où 3125 = 5^5 =< 7^4 = 2401 : contradiction
