TS : feuille d’exercices I

TS : feuille d’exercices

I

1. La fonction f définie par : f(x) = p

x est-elle dérivable à droite en 0 ? Pourquoi ?

2. Qu’en est-il de la fonctiong définie par : g(x)=xp

x?

II

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1. La tangente à la courbe d’équation

y=x²+3x−1 au pointA(1;3) a pour équation y=5x−2.

2. La tangente à la courbe d’équationy=x−1 x au pointB(1;0) est parallèle à l’axe des abscisses.

3. Les courbes d’équations :y=(x+1)p xet y=x³+1

xont la mÍme tangente au pointC(1;2).

4. La tangente à la courbe d’équation y=p 3x+1 au pointC(1;2) passe par le pointD(−3;−1).

III

Soient les fonctions f et g définies sur ]− ∞; 0[

par : f(x)=x²−xetg(x)=3 x.

Démontrez que les courbesC_{f et} C_g admettent des tangentes parallèles au point d’abscisse -1.

IV

Soitf :x7→ 1

x, définie surR^∗.

On notef^′la fonction dérivée def,f^′′la dérivée def^′

³ f^′′=¡

f^′¢_′´

,f⁽³⁾la dérivée def^′′et plus généralement f⁽ⁿ⁾la dérivée def⁽ⁿ⁻¹⁾.

1. Calculerf^′(x), f^′′(x), f⁽³⁾(x), f⁽⁴⁾(x).

2. Conjecturer alors l’expression de f⁽ⁿ⁾(x) en fonction den.

3. La démontrer.

V Utilisation d’une fonction auxiliaire

Partie A

On considère la fonctiong définie surRpar : g(x)=xp

x²+1−1.

1. Calculer les limites deg en−∞et en+∞. 2. Étudier les variations deg.

3. Démontrer qu’il existe un unique α tel que g(α)=0.

Donner un encadrement deα= 0,1 près.

4. En déduire le signe deg surR.

Partie B : Étude d’une fonction

Soit la fonctionf définie surRpar f(x)=x³

3 −

px²+1.

1. Calculer les limites def en−∞et en+∞. 2. Montrer que f^′(x)= xg(x)

px²+1. 3. Montrer que f(α)=

α⁴−3

3α ; en déduire une va- leur approchée.

4. Déterminer le signe def^′(x) selon les valeurs de x.

Dresser alors le tableau de variation def.