D.S. DE MATHEMATIQUES

(1)

EXERCICE 1 : ( 13 pts )

1) Ecrire les réels suivants en fonction de ln(2) :

A = ln(16) B = ln



¹⁴

^{C = ln}^

^2 ^{D = ln}^{2 e}³^^.

2) Ecrire les réels E et F sous la forme ln(C) :

E=3 ln(2)– ln(3)+ln

¹²

^F=¹²^ln⁽²⁵⁾^{– 2 ln(}³⁾^.

3) Résoudre l'inéquation : 3 e^x+4>10 . 4) Résoudre l'équation : 7 e^x+8=2 . 5) Résoudre l'équation : 5 ln (x) + 8 = 0.

6) Résoudre l'inéquation : ln ( 5 x – 2 ) 7. 7) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :

a) 4×3ⁿ>10²⁰. b) 5×0,7ⁿ<10⁻²⁰.

8) Calculer la dérivée de la fonction définie sur ℝ^+∗ par : h(x)=x.ln(x)– x+1 .

EXERCICE 2 : ( 7 pts)

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur ]0 ;∞[ par gx=x²– 1lnx.

1) Calculer la dérivée de g et dresser le tableau de variation de g.

2) Calculer g(1).

3) Déduire des questions précédentes le signe de g(x) selon les valeurs de x.

Partie B : Etude d'une fonction

Soit la fonction f définie sur ]0 ;∞[ par fx=x1 – lnx

x et C sa courbe représentative.

1) Montrer que f 'x=gx x² .

2) Dresser le tableau de variation de f.

3) Déterminer une équation de tangente à C au point d'abscisse e.

(2)