Probl` eme 2 : puissances descendantes

DM 12 (devoir suppl´ementaire). Enonc´e

Il s’agit d’un sujet suppl´ementaire pour votre travail personnel. Il n’est pas

`

a rendre.

Ce sujet est compos´e d’un exercice et de deux probl`emes. Ils sont ind´ependants.

Exercice

On fixe un entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 2.

Pour tout z ∈C, on note S_n(z) =

n−1

X

k=0

z+e^2ikπnn

.

1^◦) Montrer que S_n(z) =

n

X

p=0

Xⁿ⁻¹

k=0

n p

z^n−pe^2ikpπn . 2^◦) En d´eduire que S_n(z) = n(zⁿ+ 1).

3^◦) Soit a ∈R. En utilisant le complexe z =e^2ia, montrer que

n−1

X

k=0

(−1)^kcosⁿ(kπ

n −a) = ncos(na) 2ⁿ⁻¹ .

4^◦) Soit a ∈R. Simplifier l’expression

n−1

X

k=0

(−1)^ksinⁿ(kπ n −a).

Probl` eme 1 : Une formule entre int´ egrales

Pr´eliminaires

On fixe deux r´eels a et b tels que a < b. On consid`ere une application f de classe C¹ de [a, b] dans Rtelle que, pour tout x∈[a, b],f⁰(x)>0.

1^◦) Montrer quef r´ealise une bijection de [a, b] dans [f(a), f(b)] : on pourra utiliser le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires selon lequel, d’apr`es la continuit´e de f, pour tout y, y⁰ ∈f([a, b]) avecy < y⁰, pour touty⁰⁰ ∈[y, y⁰], il existex⁰⁰ ∈[a, b] tel quey⁰⁰ =f(x⁰⁰).

On notera f⁻¹ la bijection r´eciproque.

1

2^◦) Sans le d´emontrer, rappeler la formule donnant la d´eriv´ee de f⁻¹ en fonction de l’applicationf.

L’objectif du probl`eme est de d´emontrer puis d’utiliser la formule suivante : (1) :

Z b

a

f(t)dt+ Z f(b)

f(a)

f⁻¹(t)dt =bf(b)−af(a).

Partie I : ´Etude d’un exemple

Dans cette partie, on v´erifie la formule (1) sur un exemple.

Soit p∈R^∗+. On suppose,seulement dans cette partie,que a >0 et que pour tout x∈[a, b], f(x) = x^p

3^◦) V´erifier quef satisfait les hypoth`eses des pr´eliminaires.

4^◦) V´erifier par le calcul que la formule (1) est correcte pour cet exemple.

Partie II : Deux preuves de la formule (1)

5^◦) Pour tout x∈[a, b], on pose ϕ(x) = Z x

a

f(t) dt+ Z f(x)

f(a)

f⁻¹(t) dt−xf(x).

Montrer que pour toutx∈[a, b],ϕ⁰(x) = 0, puis en d´eduire la formule (1).

6^◦) A l’aide d’un changement de variable, montrer que` Z f(b)

f(a)

f⁻¹(t)dt = Z b

a

uf⁰(u)du.

En d´eduire une seconde preuve de la formule (1).

Partie III : Utilisation de la formule (1)

On suppose que 0< a < b < ^π₂ et que, pour tout x∈[a, b], f(x) = √ tanx.

7^◦) D´eduire de la formule (1) appliqu´ee `af que Z ^π₄

0

√

tant dt = π 4−

Z 1

0

arctan(t²)dt: on pourra utiliser le fait que lorsqu’une application g est continue en un point x₀ de son domaine de d´efinition, alors g(x) −→

x→x0

g(x₀).

8^◦) En d´eduire que Z ^π₄

0

√

tant dt= 2 Z 1

0

t² 1 +t⁴ dt.

9^◦) D´eterminer quatre r´eels u1, u2, u3, u4 tels que, pour tout t∈R, t²

1 +t⁴ = u₁t+u₂ t²+√

2t+ 1 + u₃t+u₄ t² −√

2t+ 1. 10^◦) Exprimer

Z ^π₄

0

√tant dten fonction de Z 1

−1

t t²−√

2t+ 1 dt.

LLG, MPSI 2, 2020/2021 2

11^◦) Calculer l’int´egrale Z 1

−1

t t²−√

2t+ 1 dt.

12^◦) Montrer que, pour tout x >0, arctanx+ arctan¹_x = ^π₂. En d´eduire la valeur de arctan(√

2 + 1) + arctan(√

2−1).

13^◦) En d´eduire une expression de Z ^π₄

0

√

tant dtaussi simple que possible.

Probl` eme 2 : puissances descendantes

Partie I : Quelques sommes

Pour tout x∈Ret m∈N, on pose x^m =

m−1

Y

i=0

(x−i). En particulier,x⁰ = 1.

x^m est appel´e “x `a la puissancem descendante”.

1^◦) On convient que, lorsquem, k ∈N avec m > k, le coefficient binomial k

m

est nul. Montrer que, pour tout m, k ∈N,

k m

= k^m m!. 2^◦) Pour tout m∈N, calculer (−1)^m en fonction dem!.

3^◦) Soit x∈R et m∈N.

a) Montrer quex^m+1 =x×(x−1)^m=x^m×(x−m).

b) En d´eduire que (m+ 1)x^m = (x+ 1)^m+1−x^m+1. 4^◦) a) Pour tout n, m ∈ N, simplifier la somme

n

X

k=0

k^m : on ´ecrira le r´esultat en fonction d’une puissance descendante.

b) Retrouver `a partir de la question pr´ec´edente les expressions simplifi´ees des sommes

n

X

k=0

k^m pour m∈ {1,2}, o`u n∈N.

c) Soit n, p ∈ N avec p≤n. Simplifier la somme

n

X

k=p

k p

: on ´ecrira le r´esultat sous la forme d’un coefficient binomial.

Donner une preuve combinatoire de cette ´egalit´e.

Partie II : une pseudo-formule du binˆome

5^◦) Montrer que, pour tout x, y ∈Ret m∈N, (x+y)^m =

m

X

k=0

m k

x^k×y^m−k.

Pour tout x∈Ret m∈N, on pose x

m

= x^m m!.

LLG, MPSI 2, 2020/2021 3

6^◦) a) Pour m∈N, calculer −1

m

. b) Pour tout x∈Ret m∈N, montrer que

x m

+

x m+ 1

=

x+ 1 m+ 1

. Comment s’appelle cette formule lorsque x est un entier naturel ?

c) Montrer que, pour tout x, y ∈R etm ∈N,

m

X

k=0

x k

y m−k

=

x+y m

.

7^◦) a) Montrer que, pour tout x∈R etm ∈N,

m

X

k=0

(−1)^k x

k

= (−1)^m

x−1 m

. b) Pour k∈N, montrer que

2k k

= (−1)^k4^k −¹₂

k

. c) Pour toutm ∈N, montrer que

m

X

k=0

2k k

2(m−k) m−k

= 4^m.

Partie III : puissances descendantes n´egatives

Lorsque x∈R etm ∈N^∗, on posex^−m = 1

m

Y

i=1

(x+i) .

8^◦) a) Pour quels r´eels x la quantit´e x^−m est-elle d´efinie ?

b) Pour tout m ∈Z avec m ≤ −1, pour tout x∈ R, lorsque c’est d´efini, montrer que (m+ 1)x^m = (x+ 1)^m+1−x^m+1.

9^◦) Soit m ∈N avecm≥2.

a)Calculer

+∞

X

k=0

1

(k+ 1)(k+ 2)· · ·(k+m), c’est-`a-dire lim

n→+∞

n

X

k=0

1

(k+ 1)(k+ 2)· · ·(k+m). b) Montrer que

+∞

X

k=m

1 k m

= m m−1.

LLG, MPSI 2, 2020/2021 4