Sup PCSI2 — Contrˆole 2005/09
Obligatoires: une copie par partie (plusieurs au besoin) ; num´erotation des copies de 1/n `a n/n; votre nom sur chaque copie ; num´erotation des questions ; r´esolution dans l’ordre de l’´enonc´e ; au moins une ligne saut´ee entre deux questions cons´ecutives.
Interdits: encre rouge, crayon, tippex, calculatrice, salet´e excessive.
Recommand´es: preuves rigoureuses et concises ; pr´esentation soign´ee ; orthographe tol´erable.
Probl` eme 1
◮Soit I un intervalle de R. NotonsE l’´equation diff´erentielle y′·ln(y) = 1. Nous dirons qu’une fonction f appartenant `aD(I,R∗+) est une solution surIdeE si elle v´erifief′(x)·ln¡
f(x)¢
= 1 pour toutx∈I.
Q1 Soit f une solution surI deE; montrez qu’une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie : (1) pour toutx∈I,f(x)>1
(2) pour toutx∈I, 0< f(x)<1
Q2 Montrez que, sif est une solution surI deE, alorsf ∈ C∞(I,R).
Q3 Soit f une solution surI deE; exprimezf′′ en fonction def uniquement (c’est-`a-dire : sans utiliserf′).
◮Dans toute la suite, nous fixonsx0∈Rety0>1. Nous noterons Il’intervalle [x0,+∞[, et nous admettrons qu’il existe une et une seule solutionf deE surIv´erifiant la condition initialef(x0) =y0.
Q4 D´eterminez le sens de variation de f, ainsi que celui def′. Q5 Justifiez l’existence deℓ= lim
x→+∞f′(x), et pr´ecisez le signe deℓ.
Q6 Montrez que l’hypoth`ese hhf est major´eeii m`ene `a une contradiction. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer concernant lim
x→+∞f(x) etℓ?
Q7 Soit ε >0. Justifiez l’existence deAε>x0 tel quef′(t)6ε
2 pour toutt>Aε. Q8 Pourx>Aε, justifiez la majoration :f(x)6εx
2 +f(Aε)−εAε
2 . Q9 Justifiez alors l’existence deBε>x0 tel que f(x)
x 6εpour toutx>Bε. Q10 Quelle conclusion pouvez-vous en tirer concernant la limite de f(x)
x lorsquextend vers +∞? Q11 Que pouvez-vous dire de la branche infinie de la courbe repr´esentative def?
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2
◮Il est vivement conseill´e de lire la totalit´e de l’´enonc´e avant de s’attaquer `a la r´esolution.
◮Notonsϕla fonction qui, `aP ∈R[X], associeϕ(P) =P(X+ 1)−X2P′′(X−1).
Q1 Justifiezen toute rigueur le fait queϕest un endomorphisme deR[X].
Q2 Donnez une expressionsimple du terme constant de ϕ(P) en fonction deP. Q3 L’´equation n2=n+ 1 poss`ede-t-elle des solutions dans N?
Q4 SoitP non nul, de degr´en, de coefficient dominantα. Montrez queϕ(P) a mˆeme degr´e queP, et explicitez son coefficient dominant en fonction deαet den; au besoin vous distinguerez plusieurs cas de figure dans la discussion, mais cette derni`ere devra d´eboucher sur une formuleunique valable pour toutn∈N.
Q5 Justifiez l’existence de l’endomorphisme deRn[X] induit parϕ . Vous le noterez d´esormaisϕn; nous avons doncϕn(P) =ϕ(P) pour toutP∈Rn[X].
◮NotonsB3 la base canonique (1, X, X2, X3) deR3[X].
Q6 Calculez l’image parϕ3de chacun des ´el´ements deB3. En d´eduire la matriceAdeϕ3dansB3. Q7 Prouvez queϕ3 est bijectif.
Q8 Calculez la matrice inverseA−1 deA. Les ´etapes du calcul devront figurer sur votre copie ! Q9 Justifiez l’affirmation suivante : ϕn est un automorphisme deRn[X] .
Q10 Justifiez l’affirmation suivante : ϕest injectif . Q11 Justifiez l’affirmation suivante : ϕest surjectif .
◮Fixonsn∈Net notonsAla matrice deϕn dans la base canonique (Xk)06k6n deRn[X]. CommeAest une matrice carr´ee d’ordren+ 1, nous ferons varier les indices de ligne et de colonne dans l’intervalle [[0,n]], pour plus de commodit´e.
Q12 Combien vautA0,k pour k∈[[0,n]] ? Q13 Combien vautAj,kpour 06k < j6n? Q14 Combien vautA1,k pour k∈[[0,n]] ? Q15 Combien vautA2,k pour k∈[[0,n]] ? Q16 Combien vautAk,kpourk∈[[0,n]] ? Q17 Calculez la trace deA: tr(A) = P
06k6n
Ak,k.
[Contr^ole 2005/09] Compos´e le 11 juin 2008
