1 Rappel : Translations
+
+
+ + +
+ + + A
B
C E D
Y Z X
On considère la translation qui trans- formeAenB.
1. Donner les images des pointsC, D,Epar cette translation.
2. Citer les trois parallélogrammes associés aux réponses de la question 1.
Exercice 1.
On considère deux pointsAetBdu plan.
La translation qui transforme A en B transforme tout point M du plan en l’unique pointM′tel que [AM′] et [B M] ont même milieu.
x
A
B
M M′
≈
≈
∞
∞
\
\
x
A
B M
M′
\
\
• Le pointM′est appeléimagedu pointMpar cette translation.
• On dit également queM′est letranslatédeMpar cette translation.
Définition 1.
Une transformation du plan est une fonction du plan dans lui même, elle associe à chaque point M du plan un unique point M′, mais de plus, chaque point du plan admet un unique antécédent.
On considère quatre pointsA,B,CetDnon alignés.
Dire que la translation qui transformeAenBtransformeCenDéquivaut à dire queAB DCest unparallélogramme.
Attentionà l’ordre des points.
Propriété 1.
C’est la conséquence de la propriété «un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu».
Preuve.
2 Vecteurs
À chaque translation est associé unvecteur.
Pour A etB deux points, le vecteur−→
AB est associé à la translation qui trans- formeAenB.
Aest l’originedu vecteur etBest sonextrémité.
Définition 2.
La figure ci-dessous représente sept hexagones réguliers et numérotés.
1 2
3 4
5 6 7
A
B C
D E
Déterminer l’image :
1. de l’hexagone 1 dans la translation de vecteur−→
AC; 2. de l’hexagone 4 dans la translation de vecteur−→
AB; 3. de l’hexagone 7 dans la translation de vecteur−−→
DE. Exercice 2.
Deux vecteurs qui définissent la même translation sont ditségaux.
A/
B C/
D Définition 3.
Il existe uneinfinitéde vecteurs associés à une translation. Ils sont tous égaux. Le vecteur choisi pour définir la translation est un représentantde tous ces vecteurs.
La translationne dépend pasdu représentant choisi pour la définir. On le note souvent−→
u .
On considère quatre pointsA,B,C etD non alignés.−→
AB=
−−→
C D si et seulement siAB DCest un parallélogramme. (Attentionà l’ordre des points !)
Propriété 2.
Reprendre la figure de l’exercice 1 et citer tous les vecteurs égaux à−→
AB. Exercice 3.
Construire un vecteur
Construire le pointDtel que−−→ C D=
−→AB.
A
B
C x
Pour construire le pointD, il faut construire le ...
Méthode 1.
Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui- même est levecteur nul, noté−→
0 . Ainsi,−−→
A A=
−→B B=
−→CC=...=
−
→0 Définition 4.
3 Somme de deux vecteurs
Activité.
Cette activité consiste à étudier l’enchaînement de deux translations sur un damier de carreaux Zellige, un carrelage décoratif originaire de l’Antiquité Méditerranéenne et du Moyen Orient.
40 30 20 10
41 31 21 11
42 32 22 12
43 33 23 13
44 34 24 14
45 35 25 15
46 36 26 16
47 37 27 17
48 38 28 18
49 39 29 19
−
→u
−
→v −→
r
−
→w −→
s
−
→t
1. Enchaînement 1
a. Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur→− u ? b. Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur→−
v ?
c. Émettre une conjecture sur la nature de la transformation correspondant à l’enchaînement de ces deux translations.
L’enchaînement de deux translations est également une ...
Propriété 3.
On appelle somme de deux vecteurs−→ u et−→
v le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs−→
u et→− v. On le note−→
u+→− v. Définition 5.
2. Enchaînement 2
a. Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur→− s ? b. Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur→−
t ? c. Émettre une conjecture sur→−
s +
−
→t . 3. Enchaînement 3
a. Quelle est l’image du carreau 13 par la translation de vecteur→− v ? b. Quelle est l’image de cette image par la translation de vecteur→−
r ? c. Émettre une conjecture sur→−
v+−→ r .
Relation de Chasles
SoitA,B,Ctrois points. L’enchaînement de la translation de vecteur−→
ABpuis de la translation de vecteur−→
BCest la translation de vecteur−→
AC et on a :
−−→ AB+
−−→ BC=
−−→ AC .
−−→ AB
−−→ BC
−−→ AB
+B−−→ C B
A
C Propriété 4.
Cette relation est fondamentale, elle permet de simplifier des sommes de vecteurs, ou de transformer une expression dans la résolution de nombreux problèmes
Remarque 1
−→AB+
−→B A=
−−→ A A=
−
→0
Compléter avec les lettres qui conviennent.
1. −−→ H L=
−−→ ...C+
−−−−→ ... ...
2. −−→ A...=
−−→ ...C+
−−→ ...B
3. −−→ ...E=
−−→ A...+
−−→K...
Exercice 4.
Le vecteur−→
B Aest appelévecteur opposédu vecteur−→
AB.
Notation
• Le vecteur opposé à−→
ABse note−
−→ABet on a l’égalité−→
B A= −
−→AB.
• La notation←−
ABn’existe pas.
Définition 6.
Soient−→ u et−→
v deux vecteurs. Alors :
• −→ u +→−
v =−→ v+−→
u (l’addition des vecteurs est commutative).
• −→ u +
−
→0 =−→
u (le vecteur−→
0 est l’élément neutre de cette addition).
Propriété 5.
SoitA,B,C,Dquatre points non alignés.
Dire que −−→ AD=
−→AB+
−→AC équivaut à dire que AB DC est un parallélogramme.
(Attention à l’ordre des points.)
−−→ AB
−−→ AC
−−→ AB
+AC−−→ B
A
C
D Propriété 6.
−−→ AD=
−→AB+
−→AC
⇐⇒
−→AC+
−−→ C D=
−→AB+
−→AC
⇐⇒
−→AC+
−−→
| {zC A}
−
→0
+
−−→ C D=
−→AB+
−→AC+
−−→
| {zC A}
−
→0
⇐⇒
−−→ C D=
−→AB
⇐⇒ AB DC est un parallélogramme.
Preuve.
Relation de Chasles On ajoute−−→
C A
Relation de Chasles Voir la propriété 2
Construire la somme de deux vecteurs.
On remplace l’un des deux vecteurs par un représentant :
• soit d’origine l’extrémité de l’autre afin d’utiliser la relation de Chasles.
• soit de même origine afin d’utiliser la règle du parallélogramme ; On considère un carréABC Dde centreO.
1. Construire le vecteur→− u =
−→AB+
−−→
ODen utilisant la relation de Chasles.
2. Construire le vecteur −→ v =
−−→ AD+
−−→
OC en utilisant la règle du parallélo- gramme.
Figure pour la question 1, avec la relation de Chasles :
A B
C D
O A
Figure pour la question 2, avec la règle du parallélogramme :
A B
C D
O A Méthode 2.
Deux vecteurs−→ u et→−
v étant donnés, proposer une méthode de construction de
−
→u−→− v.
−
→u −→ v Exercice 5.
On remarquera que
−
→u−−→ v=→−
u+(−−→ v)
4 Coordonnées d’un vecteur
Dans un repère (O;I,J), on considère la translation de vecteur−→
u qui translate l’origineOen un pointMde co- ordonnées (a;b).
Lescoordonnées du vecteur−→
usont les coordonnées du pointM. On a−→
u =
−−→
OMet on note−→ u
µ a b
¶
. +a
b+
O
−
→u
+ I J+
+M Définition 7.
Lire les coordonnées du vecteur−→
u sur la figure ci-dessous.
/I J− O
−
→u Exercice 6.
Construire un vecteur dont on connaît les coordonnées.
Dans un repère orthonormé, construire le représentant d’origineA(6;2) du vec- teur→−
u de coordonnées µ −4
3
¶ .
+ I J+ O
A + Exercice 7.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces vecteurs ont les mêmes coor- données.
Propriété 7.
Dans un repère (O;I,J), les coordonnées du vecteur−→
ABsont
µ xB−xA
yB−yA
¶ . Propriété 8.
Calculer les coordonnées du vecteur−→
ABpour : 1. A(2;5) etB(6;7) ;
2. A(−1;2) etB(−2;−3).
Exercice 8.
Dans le plan muni d’un repère, les coordonnées du vecteur →− u sont
µ −2 3
¶ , celles du pointA(5;2).
Calculer les coordonnées du pointBtel que−→
AB=→− u. Exercice 9.
Si−→ u et−→
v sont deux vecteurs de coordonnées respectives µ x
y
¶ et
µ x′ y′
¶ , alors les coordonnées du vecteur−→
u +−→ v sont
µ x+x′ y+y′
¶ . Propriété 9.
5 Produit d’un vecteur par réel, colinéarité
SoitRun repère (O;I,J), que l’on peut noter maintenant³ O;−→
i ,−→ j´
, en posant
−
→i =... et−→ j =...
Soit−→ u
µ x y
¶
un vecteur etkun nombre réel, le vecteurk−→
u est le vecteur ayant pour coordonnées
µ k x k y
¶ . Définition 8.
Exprimer les vecteurs−→ t,→−
v et−→
wen fonction de−→ u.
O →− i
−
→j
−
→u
−
→t
−
→v
−
→w Exercice 10.
Construire les vecteurs 2→− u, 0,5−→
u et−1,5−→ u.
O
−
→u
−
→i
−
→j Exercice 11.
On dit que deux vecteurs sont colinéaires si l’un est le produit de l’autre par un réelk.
Définition 9.
Remarque 2
−
→0 est colinéaire à tous les vecteurs.
• A,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs−→
ABet−→
AC sont coli- néaires.
• (AB)//(C D) si et seulement si les vecteurs−→
ABet−−→
C Dsont colinéaires.
Propriété 10.
Condition de colinéarité.
Deux vecteurs−→ u
µ x y
¶ et−→
v µ x′
y′
¶
sont colinéaires si et seulement six y′=x′y, ce qui équivaut àx y′−x′y=0
Propriété 11.
vérifier la colinéarité de deux vecteur.
Pour vérifier que deux vecteurs non nuls→− u
µ x y
¶ et→−
v µ x′
y′
¶
sont colinéaires, il suffit de :
possibilité 1 : trouver un réelλnon nul tel quex′=λxety′=λy; possibilité 2 : vérifier que les produits en croix,x y′etx′y, sont égaux.
Méthode 3.
Soit (O;I,J) un repère orthogonal. Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? 1. −→
u µ 2
6
¶ et→−
v µ −6
−18
¶ . 2. −→
w µ −5
3
¶ et−→
z µ 12
−7
¶ . Exercice 12.
