SUR LES OPERATEURS SOUS-LINEAIRES p-SOMMANTS

(1)

SUR LES OPERATEURS SOUS-LINEAIRES p-SOMMANTS

Reçu le 01/06/1999 – Accepté le 30/12/2000

Résumé

Soit T un opérateur sous-linéaire borné entre X espace de Banach et Y espace de Banach complètement réticulé, et T l'ensemble des opérateurs linéaires bornés T. On va montrer que s'il existe un filtre d'opérateurs

 

u_i _i__I T et C > 0 tels que xX, u_i

 

x  T

 

x et

; ) (u_i C

p 

 il y a équivalence entre T, p-sommant et u, p-sommant, pour tout u dansT . Mots clés: Espace réticulé, opérateur sous-linéaire, opérateurs p-sommants.

1991 M.S.C.: 46B40, 46B42, 47B60, 47B65.

Abstract

Let T be a sublinear operator between a Banach space X and a complete Banach lattice Y. Let

T be the set of all linear operators T. In this paper we show that, if there is a filter of linear operators

 

u_i _i__I T and C>0 such thatxX, u_i

 

x  T

 

x and_p

 

u_i C, there is equivalence between T, p-summing and u, p-summing for all u inT .

Key words: Lattice, sublinear operator, p-summing operator.

ans ce papier, on généralise la notion d'opérateurs linéaires p- sommants pour 0 p, (ce sont des opérateurs entre espace de Banach qui transforment les suites faiblement p-sommables en des suites fortement p-sommables; sip, c'est la continuité tout court) et tout ce qui s'en suit, étudiée en premier lieu par Pietsch [1] et détaillée dans son livre [2], aux opérateurs sous-linéaires. En premier lieu, au premier paragraphe, on définit brièvement les espaces réticulés (voir [3] et [4]), puis on s'intéresse aux opérateurs sous-linéaires en essayant de donner un aperçu général tel que l'extension du théorème de Hahn-Banach en incluant aussi certains liens utiles entre les opérateurs linéaires et sous- linéaires (pour plus de détails, nous référons à [5].

Dans le paragraphe 2, on étend la notion d'opérateurs p-sommants aux opérateurs sous-linéaires ainsi que le célèbre théorème de Pietsch [1], et aussi quelques propriétés fondamentales.

Dans le paragraphe 3, on étudie le problème relationnel entre les opérateurs sous-linéaires p-sommants de X espace de Banach dans Y espace de Banach complètement réticulé et les opérateurs linéaires inférieurs ou égaux à T. En d'autres termes, T est p-sommant  uT, u est p-sommant ?

Et on montre que la première implication se vérifie bien et sans difficulté par le théorème 1.7, mais dans la seconde, on a trouvé des complications. Néanmoins, sous la condition sus-citée dans l'abstract, on peut la montrer.

Et on termine, dans le paragraphe 4, par quelques questions relatives à ce travail. La première est de montrer l'équivalence sans conditions sur T et la deuxième concerne la généralisation du fameux théorème de Grothendieck (voir par exemple l'excellent livre de G. Pisier [6] et aussi de L. Schwartz [7]).

D

M.T. BELAIB L. MEZRAG

Département de Mathématiques Centre Universitaire de M'Sila BP166, M'Sila 28003, Algérie

صخلم

نكيل نتم متتسم يطخ فصن قيبطت

T

X

ءتضف

يتف خءنب ءتمءمت يكبتك خءتنب ءتضف

Y

T

تع مجم

تتتبملا تتتيطخلا لءتتتقيبطتلا تتتلءقملا اقتتت يتتتف .

T

هنأب ن بن اقإ

لءقيبطتلا نم بك م ل ج

I

}i

{ui

C>0

نتتتتتتكي ءتتتتتتم م تتتتتتيبب يتتتتتتقيقب لتتتتتتبءث

X

،

x

||T(x)||

 (x)||

||ui

C

i)

p(u



نيتب ؤفءكت كءن

،

T

-

p

يعمج ،

u

-

p

نكي ءم م يعمج يف

u

.T

ةيحاتفملا تاملكلا فصن قيبطت ؛يكبك خءنب ءضف :

قيبطت ؛يطخ -

p

.يعمج

(2)

1. LES OPERATEURS SOUS-LINEAIRES

Nous allons commencer par rappeler les définitions des espaces de Banach réticulés (pour en savoir plus, nous renvoyons le lecteur à J.L. Krivine [3], le livre de J.

Lindenstrauss et L. Tzafriri [4] et R.V. Kadison [8]) suivies par l'étude d'une classe d'applications bien particulières qui sont les applications sous-linéaires (pour de plus amples connaissances sur ces applications, consulter [5] où elles sont bien détaillées) et sa relation avec la classe des opérateurs linéaires.

Définition 1.1. Soit X un espace de Banach réel partiellement ordonné. X est réticulé (resp. complètement réticulé) si:

1- x,yX, sup

 

x,y X et inf

 

x,y X

 



resp. A0, AmajorésupAX



2- ^^x^^X^, ^x ^ ^x



^x ^^sup

 

^x^,^^x



3- x,yX, x y x  y .

Définition 1.2. Soit T une application d'un espace de Banach X dans un espace de Banach réticulé Y. T est sous- linéaire si:

1- R+, xX, T

 

x T

 

x 2- x,yX, T



xy

    

T x T y . On note par:

L(X,Y) = {applications linéaires u : XY}

et on dira si X est réticulé que u est positive si:

 

x 0, x0 u

SL(X,Y) = {applications linéaires T : XY}

et on le munit de l'ordre induit par Y:

 

x T

 

x, x X T

T

T₁ ₂ ₁  ₂  

et: T



uL



X,Y



:uT



i.e.xX,u

   

x T x

 

. Comme conséquence immédiate:

uTT

     

x ux T x, xX (1.1) car:

   

x T x, x X u

T

u    

u

   

x T x, xX u

   

x T x, xX u

 

x T

 

x, xX

Nous allons maintenant donner la remarque suivante bien connue et nous laissons le soin au lecteur de la vérifier.

Remarque 1.3. Soit T un sous-opérateur de X Babach dans Y Banach réticulé.

T est borné (continu)C0:xX, T

 

x C x Dans ce cas on pose:

 

x T sup T

* BX

x 1

 (X* est l'espace de Banach dual de X).

qui est une norme sur SB(X,Y) = {T:XY sous-linéaires bornées} (B(X,Y) = {u:XY linéaires bornées}.

Remarque 1.4:

(i)TSL



X,Y



etuL

 

Y,Z (positive)



X,Z



SL T

u 

  .

(ii)uL



X,Y



et TSL

 

Y,Z TuSL



X,Z



. (iii)TSL



X,Y



.

etL



X,Y



x₀X:T



x₀

  

T x₀ (iv)R,xX,T

   

x Tx (d'après (1.1)).

Nous utiliserons la généralisation suivante bien connue du théorème de Hahn-Banach [5].

Théorème 1.5. (extension du théorème de Hahn-Banach aux applications sous-linéaires).

Soit X un espace vectoriel, Y complètement réticulé,



X,Y



SL

T et X₀ un espace vectoriel de X. Soit



X ,Y



L

u ₀ telle que uT. Alors, u se prolonge en un opérateur linéaire u~L



X,Y



telle que u~T.

Corollaire 1.6. Soit T:XY un opérateur sous- linéaire. Alors, pour tout x dans X, il existe u_xTtel que T

 

x u_x

 

x

   

_



 



 



 u x sup x T . e . i

T u

. Preuve. On pose: u_x: RxY

 

x T

 

x u

x _x  

  

ux est linéaire sur X0 = Rx et u_x

 

x T

   

x T x (remarque 1.4.iv), donc il se prolonge en un opérateur noté encore u_xTetT

 

x u_x

 

x .

Le théorème suivant qui sera utile pour le paragraphe 3 est le résultat essentiel de cette partie. L'intérêt est qu'il établit un lien direct entre les opérateurs linéaires et les opérateurs sous-linéaires.

Théorème 1.7. Soit X,Y deux espaces de Banach dont Y complètement réticulé et T:XY un opérateur sous- linéaire continu. Alors,

(i) T sup u

T u

 et

(ii) x X,sup u

 

x sup



T

   

x ,T x



T u













Preuve. (i) Soit xXetuT. On a:

 

x sup



T

   

x,T x



u  

ce qui donne u

 

x T

 

x ou bien u

 

x T

 

x . Donc, dans les deux cas on aura: u

 

x  T x .

D'où: u  T , et par conséquent! sup u T

T u





 .

Dans l'autre sens et d'après le corollaire 1.6, on a:

T u , X

x  _x

 tel que T

 

x u_x

 

x D'où: T

 

x u

 

x u x sup u x

T x u

x 





et donc: T sup u

T u

 .

(ii) SoitxX. On a d'une part:

(3)

 

x u

 

x sup u

 

x T

T x u









et : T

 

x u

 

x sup u

 

x

T x u



   





d'où : sup



T

   

x , T x



sup u

 

x

T u





Et d'autre part; on a: u

 

x sup



T

   

x,T x



ce qui implique:

 

x sup



T

   

x,T x



u    ^sup



^T

   

^x ^,^T ^x



donc: sup u

 

x supT

   

x ,T x

T u









d'où en combinant les deux inégalités:

 

x sup



T

   

x , T x



u sup

T u







 .

Corollaire 1.8. Soit T:XYun opérateur sous-linéaire.

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) T continu,

(ii) uT, u est continu.

2. LES OPERATEURS SOUS-LINEAIRES p- SOMMANTS

Nous allons dans ce paragraphe généraliser la notion d'opérateurs p-sommants introduite par Pietsch [1] aux opérateurs sous-linéaires et donner son célèbre théorème de factorisation avec quelques propriétés fondamentales.

Proposition 2.1. Soit X, Y, Z trois espaces de Banach dont Y réticulé, C une constante positive et T:XY un opérateur sous-linéaire borné. Soit v:XZun opérateur linéaire borné injectif tel que T

 

x Cv

 

x . Alors , il existe T~:v

 

x Ysous-linéaire tel que:

v T

T~ _et T~ C.

Preuve. On pose: ^T^~

 

^z ^^T

 

^v^¹

 

^z . Cette application est bien définie car le noyau de v est inclus dans celui de T (d'après l'hypothèse v(x) = 0  T(x) = 0). T~

est sous- linéaire. En effet, soient z₁,z₂dans v

 

X ; x₁,x₂dans X tels que v

 

x₁ z₁, v

 

x₂ z₂et 0.

  

1



1 2

 

2

1 z T v z z

z

T~   ^ 

T



x₁x₂



   

x₁ T x₂

T 



    

1

 

2



1 z1 Tv z v

T ^  ^

T

   

z₁ T z₂



et: T~

 

z1 T~



v

 

x1



Tv^1



v

 

x1



T

 

x₁ T



v^1

 

z1



T~

 

z1

C

T~  évidente.

Définition 2.2. Soit X, Y deux Banach dont Y réticulé et



X,Y



SB

T . On dira que T est p-sommant pour





 p

0 si:

0

C , tel que nN, 



x₁,...,x_n



X

 

^p

* X

p n

i p B

n p

i C sup x,

x T

1 1

1

1 









  

 













 





On note par ^_p



X,Y



^{T : XY sous linéaires p- sommants} et ^_p

 

T ^inf {C, vérifiant la définition 2.2}.

Remarque 2.3.

(i) Si p1,_p



. est une norme sur _p



X,Y



et



X,Y



p muni de cette norme est espace de Banach.

(ii) Soit T_p



X,Y



, v:EXlinéaire continu et w:YFlinéaire continu positif (E et F deux Banach quelconques dont F réticulé). Alors:

wTvest p-sommant et _p



^wTv



 ^w _p

 

^T ^v

L'extension suivante du théorème fondamental de factorisation de Pietsch pour les opérateurs sous-linéaires est l'analogie naturelle du cas linéaire. La démonstration dont nous renvoyons le lecteur à [1], se fera exactement comme pour les opérateurs linéaires.

Théorème 2.4. Soit T:XYun opérateur sous-linéaire p-sommant et0 p. Alors, il existe une probabilité de radon  sur



B_X_*,



X*,X

 

tel que:

     

^p

*

BX

p T x, pd

x u , X x

1



 



   











(2.1)

Réciproquement, s'il existe une probabilité de radon  sur



^X^*,^X



,

B_X_*  et C0telle que la formule sus-citée soit vérifiée, alors T est p-sommant et_p

 

T C.

Remarque 2.5. La factorisation proprement dite.

L'inégalité (2.1) de Pietsch implique d'après la proposition 2.1 qu'il existe T~

dans ^BS



^Sp^,^Y



tel que le diagramme suivant soit commutatif:

) , ( )

(

~

/





 







 









 



K L K

C

S S

T i

Y X

j p S p j

T

avec: TT~ j/Si et T~

 

T

p

 . Où :

 



B , X*,X



K _X_* 

(4)

 

K 

C {des fonctions continues K}

 

x _x i , S X :

i   qui est une isométrie injective.

 



     



 ,x Xavec x,

S _x _x qui est un sous-espace

fermé deC

 

K .

 

K L



K,



C :

j _p est l'injection naturelle, et _p

 

j 1 (j/S est j restreint à S).

 

^ ^^

 ^L ^K^,

p jS ^p

S .

Comme conséquence, on a:



X,Y



_q



X,Y



p 

 et T_p



X,Y

  

,_q T _p

 

T où 0 pq.

Corollaire 2.6. Si T est 2-sommant alors T se factorise par

 



 K,

L etL₂



K,



. Preuve.

Reprenons le diagramme de la remarque 2.5 pour p = 2.

) , ( )

, (

~

/



 L K

K L

P S S

T i

Y X

p j

S p j

T



 









 









 





p est la projection deL₂



K,



dansS₂ de norme1. Le théorème suivant est l'analogue du théorème de Nachbin dans le cas linéaire.

Théorème 2.7. Soit un sous-espace d'un Banach X,



,,



un espace mesuré T:X₀L_



,Τ,



et un opérateur sous-linéaire continu. Alors il existe



, ,^



~:X L_  Τ

T sous-linéaire continu prolongeant



ⁱ^.^e^.^T^~^/ ^X ^T



T ₀ et T~  T .

Preuve. Soit uT. D'après le théorème de Nachbin (voir TAMS (1950) 68 page 28) il existe



, ,



~:XL_ Τ

u telle que u~  u _etu~/X₀u. Posons:



û~^; û~ û^,û~^/ ^X ûêtû ^T



sup T~









 ₀ .

Alors T~

est sous-linéaire continu. En effet, pour tout x dans X: T~

 

x sup u~

 

x

T u



supu~ x

T u



sup u x

T u

  T x et T~/X₀T,

 

x sup u~

 

x sup u

   

x T x T~

, X x

T u T u













0  .

Proposition 2.8. Soit X₀ un sous espace d'un Banach X etT₂



X₀,Y



. Alors il existe une extension sous-linéaire de T, soit T~:XY, 2-sommant et

 

T~

 

T

2 2 

 .

Preuve. D'après le corollaire 2.6, T se factorise parL_

 

K, et L₂



K,



.

) , ( )

, (

~

2 0



 L K

K L

B i

i

Y X

X

j T

















et par le théorème 2.7, i se prolonge en



^



L_ K, X

:

~i _avec i~ 1_et B ₂

 

T .

On pose T~Bj~i et on aura₂

 

T~  B ₂

 

j ~i ₂

 

T . 3. RESULTAT PRINCIPAL

Dans ce paragraphe, on étudie le problème relationnel entre les opérateurs sous-linéaires p-sommant de X espace de Banach dans Y espace de Banach complètement réticulé et les opérateurs linéaires inférieurs ou égaux à T. C'est une tentation logique de généralisation du corollaire 1.8 pour





p . Ce qui fait le résultat principal de ce papier.

Proposition 3.1. Soit X,Y deux espaces de Banach dont Y complètement réticulé et T:XYun opérateur sous- linéaire continu.

Si T_p



X,Y



, alors : uT, u_p



X,Y



. Preuve. Puisque T est p-sommant, donc d'après le théorème 2.4 il existe une probabilité de radon  sur



B_X_*,



X*,X

 

tel que:

     

^p

*

BX

p T x, pd

x u , X x

1



 



   











^.

D'après le théorème 1.7 on a pour tout x dans X et tout u dans T:

 

^x ^sup



^T

   

^x ^,^T ^x



u  

   

^p

*

BX

pT x, pd

1



 



   







D'où : uT, u_p



X,Y



Le résultat essentiel de ce travail est d'établir la réciproque de la proposition 3.1. Malheureusement nous n'y sommes pas arrivés dans le cas général même pour des espaces bien particuliers (voir par exemple la question 2).

Mais sous certaines conditions, on arrive à montrer la réciproque, ce que nous allons voir dans le théorème 3.2 qui constitue le résultat essentiel de ce papier.

Théorème 3.2. Soient X, Y deux espaces de Banach dont Y complètement réticulé et T:XYun opérateur sous- linéaire continu. Supposons qu'il existe C0et un filtre d'opérateurs

 

u_i iI Ttels que:

(5)

^{ i }I,_p

 

u_i C et

 

x T

 

x u

, X

x i i

 .

Alors: T_p



X,Y



et _p

 

T C.

Preuve. Puisque u_iest p-sommant, donc il existe une probabilité _i sur B_X_* telle que

, X x



   

^p

*

BX p i

i x C x, d

u

1



 



    





Comme on a pour tout x dans X: u

 

x T

 

x

i i

donc:

   

^p

BX p i

i C x d

x T X x

1

*

, lim

, 



 



    









^.

La boule unité B_X_*est faiblement compact donc

iconverge faiblement vers une probabilité  et sur B_X_* et par conséquent:

   

^p

*

BX

pd , x C

x T , X x

1



 



   









Ce qui entraîne : _p

 

T C.

4. QUESTIONS OUVERTES

On termine ce papier par poser quelques questions relatives à ce travail où on a montré l'équivalence suivante:

T est p-sommant  uT, u est p-sommant sous les conditions du théorème 3.2. La première est de montrer l'équivalence sans conditions et la deuxième est de généraliser le théorème de Grothendieck.

Question 1. Peut-on montrer l'équivalence citée en introduction ? C'est-à-dire soit T:X Yun opérateur sous-linéaire borné entre X Banach et Y complètement réticulé tel que uT, u est p-sommant. Est-ce que T est p-sommant?

Question 2. On note par l_p pour 0 p, l'espace vectoriel des suites muni de la norme si 1 p(qui devient un espace de Banach complètement réticulé) et de la quasi-norme si 0 p1.

   

N

p

n p n n n

1

sup







 

 

Soit maintenant T:l₁l₂un opérateur sous linéaire borné. Est-ce que T est 1-sommant comme dans le cas linéaire?

Pour le cas linéaire, c'est le théorème de Grothendieck.

Il existe une constante universelle notée KG tel que pour tout u:l₁l₂ linéaire continu, on a:

 

u K_G u

₁

KG = 1,7852… (cas réel), KG = 1,57…(cas complexe).

Pour plus de détails sur ces constantes voir [9,10,6].

Remerciements

Les auteurs sont très reconnaissant au referee pour avoir relevé plusieurs erreurs dans la version originale et indiqué de précieuses suggestions qui ont permis d'améliorer ce papier.

REFERENCES

[1]- Pietsch A., Absolut p-summierende in Abbildungen in normierten Räumen, Studia Math., 28 (1967), pp. 333-353.

[2]- Pietsch A., Operator ideals, North-Holland, Amsterdam (1978).

[3]- Krivine J.L., Théorème de factorisation dans les espaces réticulés, Séminaire Maurey-Schwartz, 1974-1975, exposé n°XXII et XXIII.

[4]- Lindenstrauss J. and Tzafriri L., Classical Banach spaces, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1996).

[5]- de la Barrière R.P., Convex Analysis, Vector and Set-Valued Measures, Publication de l'Université Paris VI, n°33, (1980).

[6]- Pisier G., Factorization of linears operators and the geometry of Banach spaces, CBMS (Regional conferences of the AMS) 60, (1986), Rep. with corrections 1987.

[7]- Schwartz L., Geometry and Probability in Banch spaces, Lectures Notes in Mathematics n°852, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York.

[8]- Kadison N., A representation theory for commutative topological algebra, Mem. Amer. Math. Soc., 17.

[9]- Grothendieck A., Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Math. Sao Paulo, (1956).

[10]- Rietz R., A proof of the Grothendieck inequality, Israël, J.

Math., 19, (1974), pp. 271-276.

si 0 p si p