On définit le sous espaceH1g(I

Université de Rouen M1 MFA

Année 2006-2007

Équations aux dérivées partielles et analyse numérique Contrôle continu du 10 janvier 2007, durée 2h

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Exercice 1. Soit l’intervalleI =]0, 1[et soit f un élément deL²(I). Considérons le problème aux limites avec conditions de Neumann homogène sur une partie du bord et Dirichlet homogène sur l’autre partie du bord à savoir

P(f)⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

−u^′′−u^′= f dansI, u(0) =0, u^′(1) =0.

On définit le sous espaceH¹_g(I) = {v ∈H¹(I);v(0) =0}, espace naturel de résolution du problèmeP(f). On admettra que cet espace est un sous espace vectoriel fermé deH¹(I)et que l’ensemble des fonctionsC^∞ à support compact dans]0, 1]est dense dansH¹_g(I).

(a) -i- Soitφ∈ C^∞(]0, 1])à support compact dans]0, 1]. Montrer que

∫₀¹φ²(s)ds≤ 1

2∫₀¹(φ^′(s))²ds -ii- En déduire que pouru∈H¹_g(I)on a

∥u∥²_L²(I)≤ 1

2∥u^′∥²_L²(I).

(b) Donner la formulation variationnellePV(f)du problèmeP(f). (c) Soita(u,v)la forme bilinéaire définie surH¹_g(I)par

a(u,v) = ∫_Iu^′(x)v^′(x)dx− ∫_Iu^′(x)v(x)dx.

-i- La forme bilinéaireaest-elle symétrique ? (il ne suffit pas ici d’écrire oui ou bien non, toute réponse devra être justifiée, i.e. montrer qu’effectivementaest symétrique ou bien exhiber un contre-exemple)

-ii- Montrer que la forme bilinéaireaest continue et coercive surH¹_g(I). -iii- Montrer l’existence et l’unicité d’une solution variationnelleudePV(f).

(d) Montrer que siu∈ C²(I)est solution variationnelle dePV(f)alorsuvérifie l’équation différentielle

−u^′′−u^′= f p.p. dans I, u(0) =0, u^′(1) =0.

(e) On souhaite écrire la méthode des éléments finis P1pour le problèmePV(f). On prendra f ≡1 pour simplifier. Étant donnén∈N, on poseh= _n+1¹ et on considère le cas de nœuds équidistants x_i = ihpour 0≤ i ≤n+1. Le sous-espaceV_h des éléments finis sera le sous-espace vectoriel de H¹_g(I)composé des fonctions continues sur[0, 1], affines sur chacun des intervalles[xi,xi+1]; la base sera composée des fonctions canoniquesωideV_h.

-i- Préciser le sous-espace vectorielV_h, sa dimension et dessiner les fonctions de base.

-ii- Montrer que le problème discret « trouveru_hdansV_htel quea(u_h,v) = ∫I f vdx,∀v ∈ V_h» admet une unique solution, notéeu_h, dansV_h.

-iii- Écrire le système linéaire associé au problème discret, sous la formeA_hU_h=F_h. Calculer les coefficients de la matriceA_het du vecteurF_h, préciser la taille des objets.

-iv- La matriceA_hest-elle symétrique ? -v- Pourquoi la matriceA_hest-elle inversible ?

-vi- En supposant qued(V_h,H¹_g(I))tende vers 0 quandhtend vers 0, quel est le comportement de

∥u−u_h∥H¹(I)quandhtend vers 0 ?

1

2

Exercice 2. Soit l’intervalleI=]0, 1[et soit f un élément deL²(I). Considérons le problème aux limites avec conditions de Neumann homogène

P(f)⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

−u^′′= f dansI, u^′(0) =u^′(1) =0.

(a) Montrer que si∫⁰¹f(x)dx ≠0 alors ce problème n’admet pas de solution variationnelle dansH¹(I). [indication : on pourra utiliser la fonction testφ=1]