Mathématiques 2 1
Analyse, séance 1 : exercices
I NTRODUCTION AUX ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
Étude de problèmes canoniques
Objectifs
Etude de l’équation de la diffusion, équation modèle pour leséquations paraboliqueset de l’équation des ondes, qui est un des modèles pour leséquations hyperboliques. Utilisation de quelques méthodes analytiques pour résoudre des équations aux dérivées partielles simples.
Question 1
equation de la diffusion
On cherche une fonctionu(x, t)du point d’abscissex, au tempst,u ∈ C2([0,1]×[0, T])solution du problème
∂u
∂t =c∂2u
∂x2 x∈]0,1[
u(x,0) =u0(x) u(0, t) =u(1, t) = 0
(1)
•Montrer que
d dt
Z 1 0
u2dx=−c Z 1
0
2 ∂u
∂t 2
dx <0 On en déduit la décroissance dekuk22 : l’équation estdissipative.
•En déduire l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation.
•Exprimer la solution à l’aide d’un développement en série de Fourier
u(x, t) =X
k
akexp (−k2π2ct) sin (kπx) (2)
où la constanteakest définie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier deu0(x)
ak = 2 Z 1
0
u0(x) sin (kπx)dx
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Mathématiques 2 2
•On remplace dans (1) l’intervalle]0,1[parR. En utilisant une transformée de Fourier eny, exprimer la solution de (1) qui est nulle à l’infini
u(x, t) = Z +∞
−∞
u0(x−y) 1
p(4πct)exp
−y2 4ct
dy
•En déduire des propriétés qualitatives de la solution :
– Une perturbation localisée au tempst= 0est non nulle pour toutt >0, autrement dit la vitesse de propagation d’une perturbation est infinie (mais on peut noter que l’effet est négligeable si
x2
4ct est grand).
– La solution est C∞ pour tout tempst > 0 quelle que soit la régularité de la valeur initiale : l’équation est régularisante.
– La solution n’a pas de sens si on inverse le temps : pour t < 0 les expressions “explosent”, ce qui traduit l’instabilité fondamentale du “problème inverse” de la diffusion : trouver l’état initial connaissant l’état à un tempst >0
Question 2
L’équation des ondes
On cherche une fonctionu(x, t)du point d’abscissex au tempst,u ∈ C2([0,1]×[0, T]), solution du problème
∂2u
∂t2 =c2∂2u
∂x2 u(x,0) =u0(x)
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) =u(1, t) = 0
(3)
oùu0(x) ∈C2([0, L])est la position initiale. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la physique, pour modéliser des phénomènes vibratoires unidimensionnels : les cordes vibrantes (u(x, t) est la position du pointxau tempst), les ondes sonores dans un tuyau.... C’est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au tempst= 0l’état initial est donné (positionu0et vitesse nulle pour les cordes vibrantes), le problème est de déterminer l’évolution ultérieure.
•Démontrer la propriété deconservation de l’énergie totale:
L
Z
0
(∂u
∂t)2+c2(∂u
∂x)2dx=Cte (4)
•En déduire l’unicité de la solution et sa stabilité vis à vis d’une perturbation.
• On appelleharmoniques les solutions de l’équation des ondes qui représentent des mouvements dont tous les points oscillent en phase
u(x, t) =u(x)v(t)
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Montrer que les harmoniques sont de la forme
uk(x, t) =aksinkπxcos (kπct+φk)
Noter que les fonctionsaksinkπxqui définissent la forme des harmoniques sont par constructionles fonctions propresdu problème de statique associé.
•Exprimer la solution sous la forme d’une superposition d’harmoniques, i.e. ici d’un développement en série de Fourier
u(x, t) =X
k
akcos (kπct) sin (kπx)
où
ak = 2 Z 1
0
u0(x) sin (kπx)dx
Question 3
Oscillations forcées
On étudie les vibrations d’une corde tendue dont l’une des extrémités est soumise à une excitation périodique. On suppose que la corde est de longueur 1, que la position initiale est droite et que la vitesse initiale est nulle. On cherche donc une fonctionu(x, t)¯ ∈ C2([0,1]×[0, T]), position de la corde au point d’abscissexau tempst, solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = 0 u(x,0) =hx
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) = 0 u(1, t) =hcosωt
(5)
oùhest une constante positive.
•On pose
˜
u(x, t) =hxcosωt et
u(x, t) = ¯u(x, t)−u(x, t)˜ Montrer queuest solution du problème
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 =f(x, t) u(x,0) = 0
∂u
∂t(x,0) = 0 u(0, t) =u(1, t) = 0
(6)
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où nous avons posé
f(x, t) =−hxω2cosωt
•Exprimer la solution de (6) sous la forme d’un développement en série de Fourier par rapport àx, à tfixé
u(x, t) =X
k
ak(t) sinkπx
(L’idée générale est de développer la solution par rapport aux fonctionsfonctions propresdu problème de statique associé au problème de vibration.)
Posons
ck = 2hω2 π
(−1)k k et
ωk=kcπ Montrer1que la fonctionak(t)vérifie l’équation différentielle
a00k+ωk2ak=ckcosωt avec les conditions initiales
ak(0) =a0k(0) = 0
qui est l’équation d’un oscillateur linéaire soumis à une excitation périodique.
•En déduire que, siω6=ωk
ak(t) = ck(cosωt−cosωkt) ωk2−ω2 et, siω=ωk
ak(t) = cktsinωkt 2ωk
•Montrer que, siω6=ωk, les oscillations restent bornées sinon les oscillations “explosent”, la forme de la corde étant asymptotiquement celle de l’harmonique de rangk.
1Noter, pourx∈[−1,1], le développement en série de Fourier
x= 2 π
X
k
(−1)k+1sinkπx k
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