Chapitre 7
Exemples d’´ etude de groupes finis
7.1 G´ en´ eralit´ es
Th´eor`eme 7.1.1. Tout groupe fini est isomorphe `a un sous-groupe d’un groupe sym´etrique.
D´efinition 7.1.2. SoitA une partie d’un groupeG. Le sous-groupe engendr´e parA est le plus petit sous-groupe qui contient A.
Proposition 7.1.3. SoientG un groupe not´e multiplicativement, et A une partie deG.
Le sous-groupe engendr´e par A est l’ensemble des x1x2. . . xn , o`u pour tout i, soit xi est dans A, soit x−1i est dans A.
Proposition 7.1.4. Soit A une partie d’un groupe fini G not´e multiplicativement. Un sous-ensemble H ⊂G est le sous-groupe engendr´e par A si et seulement si :
tous les ´el´ements de H s’´ecrivent comme produit des ´el´ements de A, et pour tout h∈H , et tout a∈A, on a : ha∈H.
7.2 Etude de groupes d’isom´ etries de l’espace conservant une figure
Cas du t´etra`edre et du cube.
7.3 Le jeu de taquin 7.4 Le cube de Rubik
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