le 22 Janvier 2008 UTBM MT12 Arthur LANNUZEL
Correction Examen final Printemps 2005
Exercice 1 (6 points)
Soit la fonction f d´efinie par : (
f(x, y) = xx22+y.y2 si (x, y)6= (0,0) f(x, y) = 0 si (x, y) = (0,0) 1 - Montrer que f est continue sur R2?
[f est clairement continue sur R2− {(0,0)} en tant que fraction rationnelle de plusieurs variables.
V´erifions que f est continue en {(0,0)} : On a 0 ≤ |xx2+y2.y2| ≤ k(x,y)kk(x,y)k32 donc f converge vers 0 lorsque (x, y) tend vers (0,0).
f est donc continue sur R2.]
2 - Quelles sont ses d´eriv´ees partielles, si elles existent ? Sont-elles continues ? [Sur R2− {(0,0)} ∂f∂x(x, y) = 2xy(x(x2+y2+y2)−x2)22y2x = (x2xy2+y32)2 et
∂f
∂y(x, y) = x2(x2(x+y2+y2)−x2)22y2y = (xx42−x+y22y)22.
Calculons les d´eriv´ees partielles en (0,0) : f(h,0)−f(0,0)
h = 0 converge vers 0 = ∂f∂x(0,0) et f(0,h)−fh (0,0) = 0 converge vers 0 = ∂f∂y(0,0).
Montrons que ces d´eriv´ees partielles ne sont pas continues :
limx→0,x6=0 ∂f∂x(x, x) = 12 et limx→0,x6=0 ∂f∂x(x,0) = 0 (2 limites diff´erentes) donc ∂f∂x non continue en (0,0).
limx→0,x6=0 ∂f
∂y(x, x) = 0 et limx→0,x6=0 ∂f
∂y(x,0) = 1 (2 limites diff´erentes) donc
∂f
∂y non continue en (0,0). ]
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
1) Montrer que, pour n ∈ N l’int´egrale g´en´eralis´ee f(n) = R+∞
0 xn.e−xdx est d´efinie (avec ∀x∈R, x0 = 1) .
[Le probl`eme est en +∞ : il existe A ∈ R+ tel que e−x < xn+21 , donc sur [A,+∞[, 0 < xn.e−x < x12. Or x12 est integrable sur [A,+∞[, donc xn.e−x l’est
´
egalement. Donc l’int´egrale converge ∀n ∈N.]
1
2) Calculer f(0), f(1), f(2).
[f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 2.]
3) Trouver une relation entref(n) et f(n−1) pour n ≥1.
[f(n) = n.f(n−1) (int´egration par parties).]
4) En d´eduire la valeur de f(n).
[par r´ecurrence, on montre f(n) = n!.]
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) (10 points) Soit A=
2 −1
−1 2
.
1) Calculer les valeurs propres de A? A est-elle diagonalisable ? Donner une base de R2 form´e de vecteurs propres de A.
[λ1 = 1, λ2 = 3. On a deux valeurs propres distinctes de multiplicit´e 1 donc A est diagonalisable. B = {
1 1
,
−1 1
} est une base de R2 de vecteurs propres de A.]
2) Soient y1 :R−→R et y2 :R−→R deux fonctions `a d´eriv´ee continue.
R´esoudre le syst`eme diff´erentiel suivant :
y10(t) = 2.y1(t)−y2(t) y20(t) = −y1(t) + 2.y2(t) [Le syst`eme est ´equivalent `a Y0 = A.Y avec Y =
y1 y2
. On a donc Y0 = P DP−1Y avec P =
1 −1 1 1
, D =
1 0 0 3
. En posant Z =
z1 z2
= P−1.Y, on obtient le syst`eme Z0 = D.Z. Les solutions sont {Z =
C1.et C2.e3.t
, C1, C2 ∈R}.
On obtient alors les solutions du syst`eme :S ={Y = P.
C1.et C2.e3.t
, C1, C2 ∈ R}]
3) Soit λ ∈R, X =
x1 x2 x3 x4
∈R4 et B =
0 0 1 0
0 0 0 1
2 −1 0 0
−1 2 0 0
∈ M4(R).
a - Montrer que le syst`eme d’´equation B.X =λ.X est ´equivalent aux ´equations : x3 = λ.x1
x4 = λ.x2
etA.
x1 x2
=λ2. x1
x2
. [Il suffit de faire les produits pour obtenir l’´equivalence.]
2
b - En d´eduire que les valeurs propres de B sont {1,−1,√ 3,−√
3} et que B est diagonalisable.
[ D’apr`es la question pr´ec´edente (B−λ.I4).X = 0 est ´equivalent `aλ2 valeur propre de A. Les valeurs propres de B sont donc {λ ∈ R, λ2 = 3 ou λ2 = 1}]
Donner une base de R4 form´ee de vecteurs propres de B.
[On trouve facilement (bien comprendre comment est construite la matrice B et utiliser la premi`ere partie ou r´esoudre les syst`emes) :
V1 =
1 1 1 1
vecteur propre associ´e `a λ1 = 1.
V2 =
1 1
−1
−1
vecteur propre associ´e `a λ2 =−1.
V3 =
1
√−1 3
−√ 3
vecteur propre associ´e `a λ3 =√ 3.
V4 =
1
−1
−√
√ 3 3
vecteur propre associ´e `a λ1 =−√ 3.]
4) On cherche `a r´esoudre le syst`eme d’´equations diff´erentielles : (E)
y100(t) = 2.y1(t)−y2(t) y200(t) = −y1(t) + 2.y2(t) avec y1 et y2 des fonctions `a d´eriv´ee seconde continue.
On pose X(t) =
y1(t) y2(t) y10(t) y20(t)
.
Montrer que X0(t) = B.X(t) est ´equivalent au syst`eme (E).
[Il suffit de faire les produits pour obtenir l’´equivalence.]
R´esoudre le syst`eme d’´equations diff´erentielles (E).
[De la mˆeme fa¸con que pour la premi`ere partie, on a, en posant Z =P−1.X
avec P =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 √
3 −√ 3 1 −1 −√
3 √
3
et D =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 √
3 0
0 0 0 −√
3
, l’´equation
Z0 = D.Z, ce qui nous donne z1 = C1.et, z2 = C2.e−t, z3 = C3.e
√
3.t, z4 = C4.e−
√
3.t avec C1, C2, C3, C4 ∈R.
D’o`u, en multipliant par P, l’ensemble des solution de (E) : S ={
y1 y2
= C1.et +C2.e−t+C3.e
√
3.t+C4.e−
√ 3.t
C1.et+C2.e−t −C3.e
√3.t−C4.e−
√3.t
!
, Ci ∈R}.]
3
