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le 29 Novembre 2006 UTBM PM18

M´edian

Correction rapide

Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main

Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente

Il sera tenu compte dans la correction de la présentation et de la rédaction correcte des démonstrations.

Exercice 1 - 10 points

1) D´eterminer, dans chacun des cas suivants, les ensembles de points : a - {a∈R,^|a−5|_|a+5| = 1},

[(2 point) Dans R, ^|a−5|_|a+5| = 1⇐⇒ |a−5| =|a−(−5)| ce qui est v´erifi´e ssi a est au centre de l’intervalle [−5,5], donc a = 0 est la seule solution.]

b - {z ∈C,^|z−5|_|z+5| = 1},

[(2 point) DansC, ^|a−5|_|a+5| = 1⇐⇒ |z−5|=|z−(−5)|. En travaillant avec les image M₅, M−5 et M_z, on constate que ^|a−5|_|a+5| = 1 ⇐⇒ |z−5| =|z−(−5)| est vérifié ssiM_z est sur la médiatrice du segmentM₅M−5. Donc{z ∈C,^|z−5|_|z+5| = 1}

est l’ensemble des imaginaires purs]

c - {(x, y)∈R²,^|x−5|_|y+5| = 1},

[(2 points) 4 cas se pr´esentent : cas 1 : x ≥ 5 et y > −5

Dans ce cas ^|x−5|_|y+5| = ^x−5_y+5. Donc ^|x−5|_|y+5| = 1 ⇐⇒ x − 5 = y + 5, donc S₁ = {(x, x−10) ∈ R², x >5} est un ensemble de solutions.

cas 2 : x ≥ 5 et y < −5

Dans ce cas ^|x−5|_|y+5| = _−y−5^x−5 . Donc ^|x−5|_|y+5| = 1 ⇐⇒ x − 5 = −y − 5, donc S₂ = {(x,−x)∈ R², x >5} est un ensemble de solutions.

cas 3 : x ≤ 5 et y > −5

Dans ce cas ^|x−5|_|y+5| = ^−x+5_y+5 . Donc ^|x−5|_|y+5| = 1 ⇐⇒ −x + 5 = y + 5, donc S₂ = {(x,−x)∈ R², x <5} est un ensemble de solutions.

cas 4 : x ≤ 5 et y < −5

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Dans ce cas ^|x−5|_|y+5| = ^−x+5_−y−5. Donc ^|x−5|_|y+5| = 1 ⇐⇒ −x + 5 = −y − 5, donc S2 = {(x, x−10) ∈R², x < 5} est un ensemble de solutions.

L’ensemble des solutions est S = S₁ ∪S₂ ∪S₃∪S₄. ]

2) Discuter suivant les valeurs du param`etre m ∈ R, le nombre de racines r´eelles des

´

equations suivantes (Préciser dans quels cas ces polynômes ont deux racines distinctes de signe opposé) :

a - (m−3)x²+ (2m−1)x+m+ 2 = 0,

[(1 points) 1) Si m = 3 équation du premier degré, qui donne une racine réelle, x= 1.

2) Sinon, ´equation du second degr´e : ∆ = 25 >0, toujours deux racines.

Dans le deuxième cas, pour que les deux racines soient de signes opposés, il faut et il suffit que le produit des racines soit négatif, ou encore ^m+2_m−3 < 0. Ce qui donne −2 < m < 3.]

b - mx²−2(8m+ 1)x+ 4(4m+ 1) = 0.

[(1 points) supposons m 6= 0 (sinon, polynôme du premier degré). ∆ = 48m+ 192m²+ 4 qui est lui même de discriminant négatif. ∆ est donc toujours positif et le polynôme a toujours deux racines distinctes. Leur signe est opposé ssi ^4m+1_m < 0, donc ssi −¹₄ < m < 0.]

3) D´eriver sur R la fonction d´efinie par f(x) = e^x.^sin(x). [(2 point) f⁰(x) = e^x.^sin(x).(sin(x) +x.cos(x)).]

Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 5 points 1) En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?

Soit P(n) la propriété ”n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.”

* P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la mˆeme couleur que lui-mˆeme.

* Supposons P(n). Soit n+ 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.

Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; lesn nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les n autres. La proposition est donc vraie au rang n+ 1.

* On a donc démontré que des crayons de couleur sont tous de la même couleur.

[(2 points) Problème dans la deuxième étape. Le raisonnement ne fonctionne qu’à partir de n = 2.]

2) Démontrer par récurrence qu’à partir de n assez grand (que l’on précisera), 2ⁿ > n+ 1.

[(3 points) Vrai pour n = 2. Supposons vrai pour n ≥ 2. Montrons-le pour n+ 1. 2ⁿ⁺¹ > 2.(n+ 1) =n+ 2 +n > n+ 2. Donc vrai pour n+ 1. Le résultat est montré par récurrence pour n≥ 2.]

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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points

Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe des ensembles de nombres rationnels qui ont une borne sup´erieure non rationnelle.

Si une question pose problème, admettre le résultat et passer à la suivante !

1) Montrer que

n entier impair=⇒n² entier impair.

[(1 point) Si n= 2.k+ 1 alors n² = 4.k² + 4.k+ 1 qui est impair.]

2) on veut montrer que √

26∈Q, c.a.d. que √

2 = ^p_q avec p, q ∈Z est impossible.

On suppose que √

2 = ^p_q (quitte `a simplifier par 2, on supposera que pou q est impair).

a - Montrer que, avec cette hypoth`ese, on aurait p pair (utiliser le 1).

[(1 point) Si √

2 = ^p_q alors p² = 2.q² d’où le résultat d’après le 1).]

b - En d´eduire qu’on aurait ´egalement q pair.

[(1 point) D’après a), p = 2.k donc 4.k² = 2.q², donc q² = 2.k². D’où le résultat d’après 1).]

c - En d´eduire que √

2 = ^p_q est impossible.

[(2 point) On avait suppos´e p impair ou q impair d’o`u une contradiction.

√2 = ^p_q est donc impossible.]

QUESTIONS SUPPL´EMENTAIRES :

3) SoitE(.)la partie entière (c.a.d. ∀x∈R, E(x) = max{n ∈Z, n ≤x}”le plus grand entier inférieur ou égal à x”).

On consid`ere l’ensemble {a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ...} avec a_n = ^E(

√2.10ⁿ) 10ⁿ . a - Sachant que √

2 = 1.414213562..., calculer a₀, a₁, a₂, a₃ [(1 point) a₀ = 1, a₁ = 1.4, a₂ = 1.41, a₃ = 1.414.]

b - conclure.

[(2 point) Il est clair que √

2 majore {a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ...}. De plus |√ 2 − an| < 10⁻ⁿ qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Donc √

2 est la borne supérieure de{a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ...}. Cet ensemble est un ensemble de rationnels mais la borne supérieure est irrationnelle d’après la première partie. ]

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