I – Polygones convexes réguliers Définition 1 : Soient 3,‡˛

Leçon 44 Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier ; exemples (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone…)

Pré-requis

Isométries, déplacements (conservent les angles), antidéplacements (renversent les angles) Conservation des barycentres par les isométries

Groupes Cadre

On se place dans le plan P affine euclidien orienté.

Notations ) , 0 ( θ

r est la rotation de centre O et d’angle θ ]

[ AB

med est la médiatrice du segment [ AB ]

I – Polygones convexes réguliers

Définition 1 : Soient n∈N,n≥3 et O∈P

Soient M₀,M₁,...,M_n−1 n points distincts deux à deux de P

L’ensemble P_n =

{ [

M0M1

] [

, M1M2

] [

,..., M_n−2M_n−1

] [

, M_n−1M0

] }

est un polygone convexe régulier de centre O à n cotés s’il existe une rotation r de centre O et d’angle

n π

± 2 telle que :

{

0,1,..., −2

}

: ( )= ₊1

∈

∀k n r M_k M_k et r(M_n−1)=M₀

Les segments

[

MkMk+1

]

sont appelés arêtes ou côtés du polygone.

Remarque : Il suffit d’étudier le cas où le polygone convexe régulier est direct, c'est-à-dire le cas où l’angle de la rotation est

n π

2 . En effet, quite à renuméroter les sommets de P_n, on peut toujours se ramener à ce cas là.

Notation : On note P_n =M₀M₁...M_n−1 le polygone convexe régulier direct.

Propriété 1 : Avec les notations de la définition :

1) Pour tout k∈

{

^0,1,...,n−¹

}

, M appartient au cercle de centre O et de rayon _k OM ₀ 2) Pour tout k∈

{

^0,1,...,n−²

}

,

(

^OMk,OMk+1

)

⁼²_n^π

^{[ ]}

^2π

3) O est l’isobarycentre des sommets M₀,M₁,...,M_n−1 Preuve : 1) et 2) sont évidents par définition de la rotation r

3) Soit G l’isobarycentre de P_n =M₀M₁...M_n−1

D’après la définition, r est une isométrie qui laisse invariant les sommets de P_n, r(G) est donc l’isobarycentre de P_n

On a r(G)=G, donc Gest un point fixe de r. Or par définition de r, son seul point fixe est O. Donc G=O.

II – Isométries du plan conservant un polygone convexe régulier à n côtés

Notation : Dans cette partie, P désigne un polygone convexe régulier direct à n cotés de centre O . _n A – Etude de Is(P_n)

Définition 2 : On dit qu’une isométrie conserve le polygone P_n si l’image de tout côté de P_n est un côté de P_n.

Notations : Is(P_n)={isométries du plan qui conservent P_n}

=

+(P_n)

Is {déplacements du plan qui conservent P } _n

− = ) (P_n

Is {antidéplacements du plan qui conservent P } _n

Proposition 1 :

(

Is⁽Pn^),o

)

est un groupe.

Preuve :

(

Is⁽Pn^),o

)

est un sous-groupe du groupe des isométries du plan

(

^Is(P),o

)

^car

-

(

Is⁽Pn^),o

)

n’est pas vide : il contient l’identité

- Soit f ∈Is(P_n), f(P_n)=P_n ⇒P_n =(f⁻¹o f)(P_n)= f⁻¹(P_n)⇒ f⁻¹∈Is(P_n) - Soient f,g∈Is(P_n), (f og)(P_n)= f(P_n)=P_n donc f og∈Is(P_n)

Proposition 2 : Si f ∈Is(P_n) alors l’image par f de tout sommet de P_n est un sommet de P_n.

Preuve : f est une isométrie qui conserve le polygone P_n, elle envoie un côté sur un côté donc forcement un sommet sur un sommet.

Conséquence 1 : L’isobarycentre des sommets de P_n est invariant par f . Preuve : Les sommets sont conservés donc l’isobarycentre est inchangé.

Conséquence 2 : f est soit l’identité, soit une rotation de centre 0 , soit une réflexion d’axe passant par 0 . Preuve : Ce sont les isométries de P ayant 0 comme point fixe.

Remarque : La proposition et ses conséquences sont également vraies pour un polygone quelconque.

Proposition 3 : Soit f une isométrie, si l’image par f de tout sommet de P est un sommet de _n P alors _n f ∈Is(P_n).

Preuve : Soient M et _k M_k+1 deux sommets consécutifs de P . D’après la définition de _n P , on sait qu’il existe _n une rotation r telle que r(Mk)=Mk₊₁

De plus, par f , les sommets de P sont conservés donc l’isobarycentre de _n P est invariant par f et _n donc f est soit l’identité, soit une rotation de centre 0 , soit une réflexion d’axe passant par 0 (par les conséquences 1 et 2 dans le cas d’un polygone quelconque).

Si f =id , f(M_k+1)=M_k+1 =r(M_k)=ro f(M_k)

Si f est une rotation de centre 0 , f(M_k+1)= f or(M_k)=ro f(M_k) car deux rotations commutent Si f est une réflexion, alors f = f⁻¹ et f or est une réflexion.

) ( )

( )

( ) ( ) ( )

(M_{k 1} f r M_k f r ¹ M_k r ¹ f ¹ M_k r ¹ f M_k

f o o ^{− −} o ^{− −} o

+ = = = =

Dans les trois cas, l’image par f de deux sommets consécutifs sont des sommets consécutifs donc chaque côté de P est envoyé sur un côté de _n P . _n

Remarque : La réciproque ne s’étend pas à tout polygone.

Exemple : Soit ABC un triangle équilatéral direct de centre 0 .

Le quadrilatère ABOC n’est pas invariant par la rotation de centre 0 et d’angle 3 2π

mais l’ensemble des sommets l’est.

En effet : r(O)=0,r(A)=B,r(B)=C,r(C)=A et r(ABOC)=BCOA≠ ABOC

B – Etude de Is⁺(P_n)

Proposition 4 :

(

^Is+(Pn),o

)

est un sous-groupe de

(

Is⁽Pn^),o

)

Preuve : Is⁺(P_n)=Is(P_n)∩Is⁺(P)

(

^Is+(Pn),o

)

est un groupe comme intersection de deux sous-groupes de

(

^Is(P),o

)

Proposition 5 : ^Is+(Pn)=

{

^{id,r,r²,...,rn−1}

}

^{où = }_^{ }_^

O n r

r ²π

,

Remarque : 



 



= 

n O k r

r^{k 2} π

,

Preuve : Soit ^R=

{

^{id,r,r²,...,rn−1}

}

- R⊂Is⁺(P_n) : r est une rotation telle que r(P_n)=P_n donc r∈Is⁺(P_n) et comme Is⁺(P_n) est un groupe pour la composition, on a r^k∈Is⁺(P_n) ∀k∈

{

^0,...,n−¹

}

- Is⁺(P_n)⊂R : soit f ∈Is⁺(P_n), nécessairement f est l’identité ou une rotation de centre 0 posons ^f =^r(^O,θ)

puisqu’une rotation est entièrement déterminée par son centre, un point et son image, il existe ^k∈

{

^0,...,n−1

}

^{tel que} f(M₀)=Mk (l’image d’un sommet est un sommet) ainsi,

n OM k

OM _k π

θ =⁽ 0^{, )}=² , donc r^k

k n O r

f = 2 )= . ,

( π

avec k∈

{

^0,...,n−¹

}

Remarque :

(

Is⁺⁽Pn^),o

)

est un groupe cyclique d’ordre n, il est engendré par r. Ainsi,

(

Is⁺⁽Pn^),o

)

est isomorphe à

(

^Z_nZ^,+

)

C – Etude de Is⁻(P_n)

Remarque : La composée de deux antidéplacements étant un déplacement,

(

^Is−(Pn),o

)

n’est pas un groupe.

Théorème 2 : Soit s∈Is⁻(P_n), on a : ^Is−(Pn)=

{

^{so f f ∈Is+(Pn)}

}

Preuve : La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement donc pour tout f ∈Is(P_n), so f ∈Is⁻(P_n).

Réciproquement, si g∈Is⁻(P_n), alors il existe s∈Is⁻(P_n)tel que g=sos⁻¹og avec s⁻¹og∈Is⁺(P_n) car la composée de deux antidéplacements est un déplacement. Donc ^g∈

{

^{so f f ∈Is+(Pn)}

}

^.

Proposition 6 : Is−⁽Pn⁾=

{

s∆^,s∆ or^,...,s∆orⁿ⁻¹

}

où 



 



=  O n r

r ²π

, et s_∆ est la réflexion d’axe (OM₀) Preuve : Soit k∈

{

^0,...,n−¹

}

M_k∈C(O,OM₀) et s_∆(M₀)=M₀ car M0∈∆ donc s_∆(C(O,OM₀))=C(O,OM₀) D’où s_∆(M_k)∈C(O,OM₀)

De plus,

(

^{OM0,Os∆(Mk)}

) (

^=−OM0,OMk

)

^=−2k_n^π

^{[ ]}

^2π

Donc s_∆(M_k)=r^−k(M₀)=M_n−k, d’où s_∆(M_k)∈P_n

On a donc s_∆∈Is⁻(P_n) et d’après le théorème 2 on finit la démonstration.

D – Conclusion

) ( ) ( )

(P_n Is P_n Is P_n

Is = ⁺ ∪ ⁻

n P Is Card P

Is

Card( ⁺( _n))= ( ⁻( _n))= n

P Is

Card( ( _n))=2 , ( ( ),o) Pn

Is est engendré par r d’ordre n et s_∆d’ordre 2 Preuve : Card(Is⁺(P_n))=n

Montrons que tous les éléments de ^Is+(Pn)=

{

^{id,r,r²,...,rn−1}

}

sont distincts.

1 0

1 1

0 0

0) , ( ) ,..., ( )

( = = ⁻ = n₋

n M M

r M M r M M id

Card(Is⁻(P_n))=n

Car Is⁻(P_n) est en bijection avec Is⁺(P_n) : d’après théorème 2 et proposition 6

III – Exemples

Notation : s_∆ la réflexion d’axe (OM₀)

Remarque : Pour tout k∈

{

^0,1,...,n−¹

}

, s_∆^or(O,θ)^kest une réflexion d’axe passant par O différente de l’identité (car tous les éléments de Is(P_n) sont distincts). Il suffit donc de connaître l’image d’un des points de P_n pour déterminer de quelle réflexion il s’agit.

A – Le triangle équilatéral

Ici : n=3, 



 



= 

3 ,2π O r

r et 



 



= 

3 ,4

2 π

O r r

Proposition 7 :

{

1 2

}

2

3) , , , , ,

(P = id r r s_∆ s_∆ s_∆

Is où ∆1=(OM₁) ^et ∆2=(OM₂) Dessin :

Preuve : ∆=med

[

M1M2

]

s or

∆ : M₀ as_∆(M₁)=M₂ donc s_∆ or =s_{∆1 avec 1 [ ] ( )}

1 2

0M OM

M

med =

=

∆ s or²

∆ : M₀ as_∆(M₁)=M₁ donc s_∆or² =s_∆2 avec ∆2=med[M₀M₁]=(OM₂)

B – Le carré

Ici : n=4, 



 



= 

,π2 O r r

Proposition 8 : ^Is(P4)=

{

^id,r,r2,r3,s∆^,s∆^1,sD,sD1

}

où ∆1=(OM₁)^, D=med^[M0M3^] et D1=med[M₀M₁] Dessin :

Preuve : ∆=med[M₁M₃]=(M₀M₂) s_∆or _:

3 1

0 s (M ) M

M a _∆ = donc s_∆ or=s_{D avec [ ]}

3 0M M med D= s or²

∆ : M₀ as_∆(M₂)=M₂ donc s_∆or² =s_∆1 avec ∆1=med[M₀M₂]=(OM₁) s_∆or³ : M₀ as_∆(M₃)=M₁ donc s_∆or³ =s_D1 avec D1=med[M₀M₁]

C – L’hexagone

Ici : n=6, 



 



= 

6 ,2π O r r

Proposition 9 : ^Is(P6)=

{

^{id,r,r2,r3,r4,r5,s}∆^,s∆^1,s∆^2,sD,sD1,sD2

}

où ∆1=(OM₂)^, ∆2=(OM₁)^, D=med^[M0M5^], D1=med[M₀M₃] et D2=med[M₀M₁] Dessin :

Preuve : M₀M₂M₄ est un triangle équilatéral et ∆=med[M₂M₄] Donc d’après la proposition 7 : s_∆or² =s_∆1 avec ∆1=(OM₂)

s_∆or⁴ =s_∆2 avec ∆2=(OM₄)=(OM₁) ∆=med[M₁M₅]=(M₀M₃)

s or

∆ : M₀ as_∆(M₁)=M₅ donc s_∆ or=s_{D avec [ ]}

5 0M M med D= s or³

∆ : M₀ as_∆(M₃)=M₃ donc s_∆or³ =s_D1 avec D1=med[M₀M₃] s or⁵ : M as (M )=M donc s or⁵ =s avec D2=med[M M ]

D – L’octogone

Ici : n=8, 



 



=  ,π4 O r r

Proposition 10 : ^Is(P8)=

{

^{id,r,r2,r3,r4,r5,r6,r7,s}∆^,s∆^1,s∆^2,s∆^{3,sD,sD1,sD2,sD3}

}

où ∆1=(0M₇), ∆2=(OM₂)^, ∆3=(OM₁)^, D=med^[M0M7^], D1=med[M₀M₅], D2=med[M₀M₃] et D3=med[M₀M₁]

Dessin :

Preuve : M₀M₂M₄M₆ est un carré et ∆=med[M₂M₆]=(M₀M₄)

Donc d’après la proposition 8, s_∆or² =s_∆1 avec ∆1=med[M₀M₆]=(OM₇) s_∆or⁴ =s_∆2 avec ∆2=(OM₂)

s_∆or⁶ =s_∆3 avec ∆3=med[M₀M₂]=(OM₁) ∆=med[M₁M₇]=med[M₃M₅]

s or

∆ : M₀ as_∆(M₁)=M₇ donc s_∆or=s_{D avec [ ]}

7 0M M med D= s or³

∆ : M₀ as_∆(M₃)=M₅ donc s_∆or³ =s_D1 avec D1=med[M₀M₅] s or⁵

∆ : M₀ as_∆(M₅)=M₃ donc s_∆or⁵ =s_D2 avec D2=med[M₀M₃] s_∆or⁷ : M₀ as_∆(M₇)=M₁ donc s_∆or⁷ =s_D3 avec D3=med[M₀M₁]