Chapitre 27
Variables aléatoires discrètes
Sommaire
27.1 Variable aléatoire discrète . . . 267
27.1.1 Dénition . . . 267
27.1.2 Evénements . . . 268
27.1.3 Système complet d'événements associé à une variable aléatoire discrète. . . 268
27.2 Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète . . . 269
27.2.1 Dénition . . . 269
27.2.2 Fonction de répartition . . . 270
27.3 Moments d'une variable aléatoire discrète . . . 271
27.3.1 Espérance . . . 272
27.3.2 Moments d'une variable aléatoire . . . 273
27.4 Lois usuelles . . . 275
27.4.1 Loi géométrique . . . 276
27.4.2 Loi de Poisson . . . 277 Dans ce chapitre, nous allons étendre la notion de variable aléatoire au cas d'un univers inni dénombrable.
Nous étendrons également les notions d'espérance et de variance. Ce chapitre est l'occasion de traiter des problèmes concrets grâce à la modélisation. Pour terminer, nous étudierons quelques lois particulières.
Dans tout ce chapitre,(Ω,F est un espace probabilisable ni.
Notation 27.1
27.1 Variable aléatoire discrète
27.1.1 Dénition
Les motivations d'introduction des variables aléatoires sont les mêmes que dans le Chapitre 18. Cependant, nous avons vu dans le Chapitre 25 l'intérêt de considérer un univers inni dénombrable. Voyons comment dénir et utiliser une variable aléatoire dans ce cas.
Soit (Ω,F) un espace probabilisable. On appelle variable aléatoire discrète sur (Ω,F) toute fonctionX : Ω7→Rvériant :
1. X(Ω)est ni ou dénombrable.
2. pour toutx∈X(Ω), on a{ω∈Ω, X(ω) =x} ∈ F.
SiX(Ω)est ni, on peut noterX(Ω) ={x1, . . . , xn}et on a déjà vu queX est une variable aléatoire (discrète)nie.
Si X(ω) est inni dénombrable, on peut noter X(Ω) = {xn, n ∈ N} ou X(Ω) = {xn, n∈Z}etX est une variable aléatoirediscrète innie.
Dénition 27.1 (Variable aléatoire discrète)
Cette année, on admettra toujours que le second point est vérié sans le démontrer.
De même, on admet que siX etY sont des variables aléatoire discrètes, alors, sous réserve de qu'elles sont bien dénies,λX+µY, X.Y, X/Y,max(X, Y)etmin(X, Y)en sont également.
Remarque 27.1
Exemple 27.1. On considère une urne contenant r boules rouges et b boules bleues. On eectue des tirages successifs avec remise jusqu'à obtenir pour la première fois une boule bleue. Soit X le nombre de tirages nécessaires (on pose X = 0si on n'obtient jamais de boule bleue, par convention).X est une variable aléatoire discrète innie etX(Ω) =N.
27.1.2 Evénements
Ce qui va nous intéresser par la suite sera de calculer des probabilités relatives àX. Il faut donc construire des événements à partir de X. Par dénition de la variable aléatoire X, on sait que pour x ∈ X(Ω), {ω∈Ω, X(ω) =x}=X−1({x})∈ F, c'est à dire qu'ils'agit d'un événement. On peut donc en calculer la probabilité.
Comme précédemment, pour éviter les surcharges d'écritures, on utilisera les notations usuelles suivantes.
1. L'événement{ω∈Ω, X(ω) =x}=X−1(x)est noté[X =x]. 2. L'événement{ω∈Ω, X(ω)≤x}=X−1(]−∞, x])est noté[X ≤x].
3. L'événement {ω ∈ Ω, x1 ≤ X(ω) ≤ x2} = X−1([x1, x2]) est noté [x1≤X ≤x2] ou [X ∈[x1, x2]].
4. etc...
Notation 27.2
Exemple 27.2. Donner des événements relatifs à l'exemple 1.
27.1.3 Système complet d'événements associé à une variable aléatoire dis- crète
Pour chaque variable aléatoire nie, il est possible de trouver un système complet d'événements au sens de la dénition du Chapitre 25.
27.2. LOI DE PROBABILITÉ D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Soit une variable aléatoire discrète X sur (Ω,F). On appelle alors système complet d'événe- ments associé àX le système complet d'événements([X=x])x∈X(Ω).
De plus, latribu engendrée par ce système complet d'événementsest appeléetribu associée à X et est notéeFX. On rappelle que cette tribu est l'ensemble des événements dont on peut dire s'ils se sont ou non réalisés lorsqu'on connait la valeur de X.
Dénition 27.2 (Système complet d'événements associé à X)
Exemple 27.3. Quel est le système complet d'événement associé àX dans l'exercice 1 ?
27.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
27.2.1 Dénition
Soit X une variable aléatoire discrète sur (Ω,F, P). La loi de la variable aléatoire X est l'applicationPX dénie surX(Ω)et à valeurs dans[0,1]dénie par
∀x∈X(Ω), PX(x) =P([X =x]).
Dénition 27.3 (Loi de probabilité de X)
Pour alléger l'écriture, on notera usuellementP(X =x)au lieu deP([X =x])et cette remarque se généralise à tous les événements dépendants de X.
Notation 27.3
Il arrive qu'on doive considérer des variables aléatoires discrètes à valeurs dansRmaispresque- sûrement à valeurs dans R. Dans l'exemple 1 par exemple, on "aurait dû" noter X = +∞
l'événement "on ne tire jamais de boule bleue". Dans de tels cas, on peut contourner le problème de deux manières diérentes :
1. Ecrire que, par convention, cet événement correspond à[X = 0]et donc considérer que X(Ω) =N.
2. Ecrire que, comme l'événement[X = +∞]est négligeable, on peut considérer (par léger abus de notation) queX(Ω) =N∗.
Remarque 27.2
Voyons maintenant les propriétés qui découlent de cette dénition. Nous devons, pour cela, séparer le cas X(Ω) ={xn, n∈N}et X(Ω) ={xn, n∈Z}.
Si X est une variable aléatoire innie discrète avecX(Ω) ={xn, n∈N}, alors : 1. Pour toutn∈N,PX(xn)∈[0,1].
2. La sérieX
PX(xn)converge et
+∞
X
n=0
PX(xn) = 1.
Propriété 27.1
Si X est une variable aléatoire innie discrète avecX(Ω) ={xn, n∈Z}, alors : 1. Pour toutn∈N,PX(xn)∈[0,1].
2. Les séries X
n≥0
PX(xn)et X
n≥1
PX(x−n)convergent et
+∞
X
n=0
PX(xn) +
+∞
X
n=1
PX(x−n) = 1.
Propriété 27.2
Lorsque la variable aléatoire discrète est inni, on ne présente pas la loi deX avec un tableau ! Il faudrait, en eet, pour cela, écrire un tableau avec une innité de colonnes !
Remarque 27.3 (Plus de tableau !)
Exercice 27.1. On considère une urne contenant une proportionp∈]0,1[de boules rouges et1−pde boules noires. On eectue des tirages successifs dans cette urne avec remise. On note X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules rouges.
1. DéterminerX(Ω).
2. DéterminerPX(k)pourk∈N− {0,1}.
3. Montrer queX est presque-sûrement à valeurs réelles.
4. Quelle est la loi deX?
27.2.2 Fonction de répartition
Nous avons vu, dans le Chapitre 18, l'intérêt d'introduire la fonction de répartition. Revoyons sa dénition et ses principales propriétés, adaptées au casX(Ω)inni.
SoitX une variable aléatoire discrète. On appellefonction de répartition de X l'application FX:R7→[0,1]dénie par
∀x∈R, FX(x) =PX(]−∞, x]) =P(X≤x).
Dénition 27.4 (Fonction de répartition)
27.3. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
On a les propriétés suivantes pour la fonction de répartition deX variables aléatoire discrète.
1. FX estcroissante, 2. lim
x→−∞FX(x) = 0et lim
x→+∞FX(x) = 1.
3. FX estcontinue à droite en tout pointxdeRc'est à dire lim
t→x+FX(t) =FX(x). 4. FX admet unlimite à gaucheen tout point xdeR
5. FX est donccontinue par morceaux surR.
Propriété 27.3 (Propriétés de la fonction de répartition)
Lorsque X(Ω) est inni, il n'admet pas forcément de minimum et de maximums. Ainsi, les propriétés du Chapitre 18 annonçant queFX vaut 0 ou 1 "à partir d'un certain rang" ne sont plus toujours vraies !
Remarque 27.4
L'intérêt principal de la fonction de répartition, c'est qu'elledénit entièrement la loi deX.
La fonction de répartition FX caractérise la loi deX. Cela signie qu'on peut retrouver la loi deX en connaissant seulementFX. En eet :
∀x∈R, P(X=x) =FX(x)−FX(x−), ou l'on a noté FX(x−)la limite à gauche deFX enx.
Propriété 27.4 (FX caractérise la loi de X)
Cette formule prolonge celle que nous avons vue dans le cas X(Ω) ni. On pourra en retenir queP(X=x) = 0pourx /∈X(Ω) etP(X=k) =FX(k)−FX(k−1)pourk∈X(Ω).
Remarque 27.5
Deux variables aléatoires ont la même loi si et seulement si elles ont la même fonction de répartition.
Corollaire 1
27.3 Moments d’une variable aléatoire discrète
Dans cette partie, nous ne considérons plus que des variables aléatoires discrètes innies. Nous allons étendre les dénitions de variances et espérances. Nous verrons que dans ce cas, toute variable aléatoire n'admet pas forcément une espérance ou une variance.
27.3.1 Espérance
Dénition et premiers exemples
SoitX une variable aléatoire discrète innie.
1. Si on peut noter X(Ω) = {xn, n∈N} : on dit que X admet une espérance si la série XxnP(X =xn)estabsolument convergente. La somme de cette série est alors appelée espérance deX et est notéeE(X):
E(X) =
+∞
X
n=0
xnP(X =xn) := X
x∈X(Ω)
xnP(X =xn).
2. Si on peut noterX(Ω) ={xn, n∈Z} : on dit queX admet une espérancesi les séries X
n≥0
xnP(X =xn) et X
n≥1
x−nP(X =x−n) sontabsolument convergentes. L' espérance deX, notéeE(X)est dans ce cas :
E(X) =
+∞
X
n=0
xnP(X =xn) +
+∞
X
n=1
x−nP(X =x−n) :=X
n∈Z
xnP(X=xn) Dénition 27.5 (Espérance)
Exercice 27.2. En reprenant le problème de l'exercice 1, montrer que X admet une espérance et la calculer.
Exercice 27.3. On considère le jeu suivant : un joueur lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu'à l'apparition du premier pile. Lorsque cela se produit, la banque fournit 2n euros au joueur. On poseX la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quel est le gain moyen remporté par le joueur ?
Les variables aléatoires sans espérance ne sont pas "rares". On veillera donc à bien vérier la convergence absolue de la série avant d'écrire la somme innie pour calculer l'espérance !
Remarque 27.6
Une variable aléatoire discrète innie est ditecentréesi elle admet une espérance et que celle-ci est nulle.
Dénition 27.6
Théorème de transfert
Le théorème de transfert vu dans le Chapitre 18 s'étend facilement au cas de l'univers inni.
27.3. MOMENTS D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
On considère une variable aléatoire discrète innie X et une fonction f :X(Ω)→R.
Dans ce contexte,Y =f(X)admet une espérance si et seulement si la sérieX
f(x)P(X=x) (x∈X(Ω)) converge absolumentet dans ce cas,
E(f(X)) = X
x∈X(Ω)
f(x)P(X =x).
Théorème 27.1 (Théorème de transfert)
Soit X une variable aléatoire innie discrète admettant une espérance et (a, b)∈ R2. Alors, aX+badmet une espérance et :
∀(a, b)∈R2, E(aX+b) =aE(X) +b.
Corollaire 2
27.3.2 Moments d'une variable aléatoire
Dénition
On peut généraliser la notion d'espérance de la manière suivante.
SoitX une variable aléatoire discrète innie etr∈N. On dit queX admet un moment d'ordre rsiXr admet une espérance. Dans ce cas, le moment d'ordrerdeX est le réel
mr(X) =E(Xr) = X
x∈X(Ω)
xrP(X =x).
Dénition 27.7 (Moment d'ordre r de X)
Il est clair quel'espérance deX est lemoment d'ordre 1 deX. De même, le moment d'ordre 0 est toujours égal à 1.
Remarque 27.7
SoitX une variable aléatoire discrète innie etr∈N. On dit queX admet un moment centré d'ordrerlorsqueX etE(X−E(X))radmettent une espérance. Dans ce cas, le moment centré d'ordrerdeX est le réel
µr(X) =E[(X−E(X))r]. Dénition 27.8 (Moment centré d'ordre r)
Soient X une variable aléatoire discrète innie etr∈N.
1. SiXr admet une espérance alors pour toutk∈J0, rK,Xk admet une espérance.
2. X admet un moment d'ordrersi et seulement siX admet un moment centré d'ordrer. Propriété 27.5
C'est surtout lorsquer= 2 que cette dénition nous intéresse.
Variance d'une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire discrète innie admettant un moment d'ordre 2. On appelle variance de X le moment centré d'ordre 2 de X. Autrement dit, la variance de X est le réel positif:
V(X) =µ2(X) =E
(X−E(X))2 . Dénition 27.9 (Variance de X)
L'écart-type d'une variable aléatoireX est le réel positif σ(X) =p
V ar(X).
Dénition 27.10 (Ecart-type d'une variable aléatoire)
On a démontré, via la Propriété 5, quesi une variable aléatoire admet une variance alors, elle admet une espérance.
Remarque 27.8
Une variable aléatoire discrète innie est diteréduitesi elle admet un moment d'ordre 2 et si sa variance vaut 1.
Dénition 27.11
En pratique, comme dans le cas d'un univers ni, on calculera les variances via la formule de Huygens qui s'étend facilement.
SoitX une variable aléatoire discrète innie admettant un moment d'ordre 2. Alors V(X) =E(X2)−E(X)2.
Théorème 27.2 (Formule de Huygens)
Enn, la variance n'est pas linéaire mais la propriété suivante nous montre comment elle agit sur les combinaisons linéaires.
27.4. LOIS USUELLES
Soit X une variable aléatoire discrète innie admettant un moment d'ordre 2 et (a, b)∈ R2 alors(aX+b)admet un moment d'ordre 2 et
∀(a, b)∈R2, V ar(aX+b) =a2V ar(X).
Propriété 27.6 (Variance et combinaison linéaire)
Comme nous l'avons déjà, vu, il est courant de faire un "changement d'échelle" pour travailler avec des variables aléatoires centrées et réduites et alléger les calculs.
Soit X une variable aléatoire innie discrète admettant une variance non nulle. La variable aléatoire
X∗=X−E(X) σ(X) est centrée et réduite.
Propriété 27.7
Exercice 27.4. Montrer que la variable aléatoire dénie dans l'exercice 1 admet une moment d'ordre 2 et calculer sa variance.
27.4 Lois usuelles
Nous avons vu la théorie à connaître sur les variables aléatoires en général. Cependant, de nombreuses variables aléatoires rencontrées dans les modèles mathématiques (et donc dans les exercices) suivent un petit nombre de lois, nommées en conséquencelois usuelles. Dans cette partie, nous allons étudier les lois usuelles discrètes innies qui sont au programme.
Pour chaque loi usuelle, il faudra connaître par c÷ur : 1. la notation (et ses paramètres éventuels)
2. la loi de probabilité (et en particulierX(Ω)) 3. l'espérance et la variance
4. le ou les cas typiques d'utilisation
5. la rédaction classique pour justier son utilisation.
6. la commande Scilab pour simuler la loi.
On utilisera le symbole,→pour signier qu'une variable aléatoire suit une loi usuelle.
Notation 27.4
27.4.1 Loi géométrique
Soitp∈]0,1[. Une variable aléatoireX suit uneloi géométrique de paramètre psi
X(Ω) =N∗
∀n∈N∗,P(X=n) =p(1−p)n−1. On note alorsX ,→ G(p).
Dénition 27.12 (Loi géométrique)
On peut se contenter, dans la dénition, deX presque-sûrement à valeurs dansN∗. Remarque 27.9
Modélisation : On considère une expérience consistant en une suite innie d'épreuves mu- tuellement indépendantes, chaque épreuves ayant deux issues possibles : succès avec probabilité pet échec avec probabilité1−p. La variable aléatoire égale au nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès suit la loi géométrique de paramètrep.
Rédaction :, on écrira On appelle succès l'événement .... de probabilité p. Alors la variable aléatoire X qui compte le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès en ré- pétant indépendamment l'expérience de Bernoulli associée suit la loi géométrique de paramètre p. .
Méthode 27.5 (Modélisation et rédaction pour utiliser la loi géométrique)
Exemple 27.4. 1. Un exemple typique d'utilisation est le suivant : on lance une pièce truquée pour laquelle le côté Face est obtenu avec la probabilitép. SoitX la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier pile.X est une loi géométrique de paramètresp. 2. On considère une urne contenant 2 boules blanches et 1 boule noire. On tire indéniment une boule
dans cette urne avec remise. SoitX la variable aléatoire donnant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule noire. AlorsX suit une loi de géométrique de paramètrep= 13.
Soitp∈[0; 1]etX ,→ G(p). AlorsX admet une espérance et une variance, et E(X) = 1
petV(X) = 1−p p2 . Propriété 27.8 (Paramètres d'une loi géométrique)
Exercice 27.5. Donner la fonction de répartition de la loi de géométrique de paramètre p. La tracer pour p= 13.
Exercice 27.6. Ecrire une fonction Scilab permettant de simuler une variable aléatoireX ,→ G(p). Exercice 27.7.
1. Audrey lance un dé jusqu'à obtenir un résultat supérieur ou égal à 5. On note N la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires. Quelle est la loi de N?Quelle est la probabilité qu'Audrey ait besoin de moins de 10 lancers pour réussir ? En moyenne, combien de lancer doit-elle eectuer pour réussir ?
27.4. LOIS USUELLES
2. On modélise le nombre de secondes nécessaires à la désintégration d'une particule radioactive par une loi géométrique de paramètre p. Montrer que pour (t1, d)∈N∗, P(X > t1) = (1−p)t1, puis quePX>t1(X > t1+d) =P(X > d). Interprétation ?
Exercice 27.8. - A retenir
SoitXune variable aléatoire innie discrète telle queX(Ω) =N∗. Montrer queX suit une loi géométrique de paramètre psi et seulement si :
1. P(X= 1)∈]0,1[.
2. ∀(n, k)∈(N∗)2, PX>n(X > n+k) =P(X > k). Le paramètre de la loi géométrique est alorsp=P(X = 1).
27.4.2 Loi de Poisson
Soit X une variable aléatoire discrète innie. Soit λ ∈]0,+∞[. On dit que X suit la loi de Poisson de paramètres λlorsque
X(Ω) =N
pour toutk∈N, on aP(X =k) =e−λ λk!k. On note alorsX ,→ P(λ).
Dénition 27.13 (Loi de Poisson)
Modélisation et rédaction : La loi de Poisson sert, la plupart du temps à modéliser des phénomènes "rares".
Il n'existe pas vraiment de cas typique ou de rédaction modèle pour cette loi. Elle sera toujours introduite par l'énoncé de l'exercice.
Méthode 27.6 (Modélisation et rédaction pour utiliser la loi Binomiale)
SoitX une variable aléatoire innie suivant la loi de Poisson de paramètre λ. AlorsX admet une variance et une espérance et :
E(X) =V(X) =λ.
Propriété 27.9 (Paramètres de la loi de Poisson)
Exercice 27.9. Donner la fonction de répartition de la loi de Poisson.
Exercice 27.10. Ecrire une fonction Scilab permettant de simuler une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
Exercice 27.11. 1. Chaque jour, un vendeur d'un journal local a X acheteurs. On admet queX suit une loi de Poisson de paramètre λ= 8. Le bénéce de la vente d'un journal est d'un euro.
Quel est le bénéce moyen ? Quelle est la probabilité que le vendeur gagne 3 euros ? 9 euros ? 2. Soitp= 0.1%la proportion de patients qui font une réaction allergique à la prise de médicaments.
On donne ce médicament à un grand nombre (n= 1000) de patients.
a) Quelle est la loi de la variable aléatoireN donnant le nombre de patients faisant une réaction allergique ? Donner une expression de la probabilité queN soit inférieure ou égale à 3.
b) Pour simplier les calculs, on chercher à approcherNpar une autre variable aléatoireN0suivant une loi de poisson. Comment choisir le paramètre ? Calculer alorsP(N0≤3). Commenter.
