Chapitre 2
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Ensembles et Dénombrement
- rap-pels
I Vocabulaire des ensembles et des applications
1 Ensembles
Élément / appartenance : Quandxest dans l’ensemble E, on notex∈E. On dit quexest unélémentdeE ou quexappartientàE.
Inclusion :On dit que l’ensembleAestinclusdans l’ensembleBet on noteA⊂B si tous les éléments de A sont aussi dans B. On dit également que A est un sous ensembledeB.
Réunion :SiAetBsont deux sous ensembles d’un ensembleE, on appelleréunion des ensemblesAetB et on noteA∪B l’ensemble contenant tous les éléments deAet B. Ainsi
x∈A∪B ⇐⇒ x∈A oux∈B
Intersection : Si A et B sont deux sous ensembles d’un ensemble E, on appelle intersectiondes ensembles A et B et on note A∩B l’ensemble ne contenant que les éléments qui sont à la fois dansAet dans B. Ainsi
x∈A∩B ⇐⇒ x∈Aet x∈B
Ensembles disjoints / incompatibles : Si A et B sont deux sous ensembles d’un ensembleE, on dit qu’ils sontdisjointsouincompatiblessiAetBn’ont aucun élément en commun. On noteA∩B=∅.
Il ne faut pas confondre "disjoints" et "distincts". (Distincts signifiant simplement A6=B.)
Complémentaire :SiAest un sous ensemble d’un ensembleE, on appellecomplé- mentaire deAdansEl’ensemble notéCEAouAcouA, constitué de tous les éléments¯ deE qui ne sont pas dansA. Ainsi, six∈E,
x∈A¯ ⇐⇒ x6∈A
SiE est l’univers, on dira souvent simplement"complémentaire deA"au lieu de"com- plémentaire deA dansE".
Partition : SoitF =
Ai i∈I une famille de sous ensembles d’un ensembleE. On dit queFest unepartitiondeEsi et seulement si
Ai∩Aj =∅ sii6=j, oùi, j∈I S
i∈I
Ai=E
Produit cartésien de n ensembles. Soit F =
Ai i=1,...,n une famille de sous en- sembles d’un ensembleE. On noteA1×. . .×An l’ensemble formé de tous lesn-uplets (x1, . . . , xn)oùx1∈A1, . . . , xn ∈An.
2 Applications
Injection : On dit qu’une application f : E → F est injective s’il n’existe au maximum qu’un antécédent parf pour chaque élément deF, autrement dit,
f(x) =f(y) ⇒ x=y
Surjection : On dit qu’une application f : E → F est surjective s’il existe au minimum un antécédent parf pour chaque élément de F, autrement dit,
y∈Y ⇒ ∃x∈Etel que y=f(x)
Bijection :On dit qu’une applicationf :E→F estbijectives’il existe exactement un antécédent parf pour chaque élément deF, autrement dit,
y∈Y ⇒ ∃!x∈Etel que y=f(x) c’est-à-dire quef est injective et surjective.
Composée de deux bijections : Si f :E →F et g : F → Gsont bijectives, alors g◦f est bijective.
Image d’une partie :Sif :E→F etA⊂E, on notef(A) =
f(x)|x∈A ⊂F. 1
Image réciproque d’une partie : (à titre culturel...)Si f :E →F et B ⊂ F, on note
f−1(B) =
x|f(x)∈B ⊂E
Application réciproque : Si f : E → F est une application bijective, on note f−1:F →E l’unique application telle que
f−1◦f(x) =x ∀x∈E
II Dénombrement
1 Notion de cardinal
Cardinal :On appellecardinald’un ensemble finiEle nombre d’élément contenus dansE. On note ce nombre card(E)ou] E.
Cardinal et bijection : SiE est un ensemble fini etf :E→F une bijection, alors F est fini et card(E) =card(F).
Cardinal d’un produit cartésien :SiA1, . . . , An sont des ensembles finis, on a card(A1×. . .×An) =card(A1)×. . . .×card(An)
Cardinal de l’ensemble des parties : Si E est un ensemble fini. On note P(E) = {A⊂E}, c’est-à-dire l’ensemble constitué de tous les sous ensembles deE. Son cardinal est
card(P(E)) = 2n, oùn=card(E)
2 Formules
Nombre d’arrangements :Pourn, p∈N∗,p6n, on appellenombre d’arrangements depnombres parminle nombre d’éléments de l’ensemble
(i1, . . . , ip)|ik ∈J1;nK∀k= 1, . . . , pet où lesik sont deux à deux distincts c’est
n!
(n−p)!
Nombre de permutations : Pourn∈N∗, on appellenombre de permutations den élémentsle nombre d’éléments de l’ensemble
(i1, . . . , in)|ik∈J1;nK∀k= 1, . . . , net où lesik sont deux à deux distincts c’est
n!
Nombre de combinaisons :Pourn, p∈N∗,p6n, on appellenombre de combinai- sons depnombres parmisnle nombre d’éléments de l’ensemble
{i1, . . . , ip} |ik ∈J1;nK∀k= 1, . . . , pet où lesik sont deux à deux distincts c’est
n p
= n!
p!(n−p)!
Formule du binôme par dénombrement :Soientx, y∈Retn∈N. On rappelle que (x+y)n =
n
X
k=0
n p
xkyn−k
Démonstration :
(x+y)n = (x+y)(x+y). . .(x+y)
| {z }
nfois
Le dévelopement de l’expression de droite par distributivité donne toutes les sommes des monômes du typexkyn−k : lorsqu’on a choisi dans quelle parenthèse prendre les k”x”, on prend obligatoirement les ”y” dans lesn−k parenthèses restantes.
Il s’en suit donc que l’on a autant de monômes xkyn−k que de choix desk ”x”
possibles dans lesnparenthèses, c’est-à-dire nk .
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