Stanislas
T.D. 17
Ensembles nis - Dénombrement
Dénombrabilité MPSI 1
2015/2016
Exercice 1. (Théorème de Cantor-Bernstein)SoientXetY deux ensembles non vides. On suppose qu'il existe deux applications injectives f : X→Y etg : Y →X. On va prouver qu'il existe un bijection deX surY.
1. On suppose dans cette question queX etY sont des ensembles nis.
a)Montrer que |X|=|Y|.
b)En déduire qu'il existe une bijection de X dansY. 2. Montrer le théorème lorsquef(X) =Y.
On suppose dans toute la suite quef(X) 6=Y. Notons ϕ=f ◦g. On dénit par récurrence les ensembles A0=Y\f(X) puis pour toutn∈N,An+1 =ϕ(An). On note A= S
n∈N
An.
3. Montrer queA est stable parϕ, i.e.ϕ(A)⊂A.
4. Montrer que les ensemblesA0, . . . , An, . . . sont deux à deux disjoints.
5. Montrer que siy∈Y\A, il existe un unique x∈X tel que f(x) =y. On notera abusivement x=f−1(y).
6. Soitx∈X. Montrer que si f(x)∈A, alors x∈g(A).
7. On dénit la fonctionh : Y →X parh(y) =g(y) siy∈Aeth(y) =f−1(y)si y6∈A. a)Montrer que h est bien dénie.
b)Montrer que hest injective.
c)Montrer que h est surjective.
8. Conclure.
Exercice 2. (Dénombrabilité)On dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec N.
1. Exemples d'ensembles dénombrables.
a)Prouver queN×Nest un ensemble dénombrable.
b)Prouver queZest dénombrable.
c)Prouver queQest dénombrable.
2. Opérations sur les ensembles dénombrables.
a)Soient n∈N? et (Ai)i∈J1,nK une famille d'ensembles dénombrables. Montrer que le produit cartésien ×n
i=1Ai est dénombrable.
b)Soit(Ai)i∈Nune suite d'ensembles dénombrables. Montrer que la réunion S
i∈N
Ai est dénom- brable.
3. Un ensemble non dénombrable.
a)Montrer que [0,1]n'est pas dénombrable.
b)En déduire que Rn'est pas dénombrable.
Dans la littérature, il arrive qu'on dénisse un ensemble dénombrable comme étant un ensemble ni ou en bijection avecN. Les propriétés précédentes restent vraies dans ce cadre.
Stanislas A. Camanes
