Chap.2 :
dénombrement
Partie 1 : dénombrement
Définition : ensemble
Un ensemble 𝐸 est une collection d’objets distincts 𝑥 qu’on appelle éléments.
On dit que 𝑥 appartient à 𝐸 (respectivement 𝑥 n’appartient pas à 𝐸) : on note 𝑥 ∈ 𝐸 (𝑥 ∉ 𝐸).
Définition : cardinal d’un ensemble
Le cardinal d’un ensemble 𝐸 est le nombre d’éléments composant 𝐸. On le note 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐸).
Exemples : avec 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}, 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐸) = 3 ; ℕ, ℤ, ℝ et ℚ ont une infinité d’éléments.
Remarques :
• Pour lister un ensemble d’éléments isolés les uns des autres, on utilise des accolades.
• L’ensemble qui ne contient aucun élément s’appelle l’ensemble vide. On le note ∅.
• Deux ensembles 𝐴 et 𝐵 dont l’intersection est vide sont dits disjoints : on écrit 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
• L’ordre n’intervient pas : {𝑎; 𝑏} = {𝑏; 𝑎} et il n’y a pas répétition d’un élément : {𝑎; 𝑎} = {𝑎}.
Définition : partie
On appelle partie d’un ensemble 𝐸 un ensemble 𝐹 tel que tous les éléments de 𝐹 appartiennent aussi à 𝐸.
On dit que 𝐹 est inclus dans 𝐸 et on note 𝐹 ⊂ 𝐸 (on dit aussi que 𝐹 est un sous-ensemble de 𝐸).
La réunion 𝐴 ∪ 𝐵 de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble des éléments appartenant à 𝐴 ou à 𝐵.
L’intersection 𝐴 ∩ 𝐵 de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble des éléments appartenant à 𝐴 et à 𝐵.
Exemple : l’ensemble 𝐹 = {𝑎; 𝑏} est inclus dans l’ensemble 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}.
On a 𝐹 ⊂ 𝐸 et 𝐹 est une partie de 𝐸.
Avec 𝐴 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒} et 𝐵 = {𝑏; 𝑒; 𝑓; 𝑔}, on a : 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑔} et 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑏; 𝑒}.
Remarque :
• Une partie à 1 élément s’appelle un singleton, une partie à 2 éléments une paire.
• L’ensemble !(𝐸) est l’ensemble de toutes les parties de 𝐸, c’est-à-dire tous les sous-ensembles possibles de 𝐸.
Exemple : l’ensemble des parties de 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐} est !(𝐸) = {∅; {𝑎}; {𝑏}; {𝑐}; {𝑎; 𝑏}; {𝑎; 𝑐}; {𝑏; 𝑐}; 𝐸}.
Définition : 𝒑-uplet ou 𝒑-liste
On appelle 𝒑-uplet ou 𝒑-liste d’un ensemble 𝐸 une collection ordonnée d’objets qu’on appelle, selon les cas, coordonnées, composantes ou termes. Un 𝑝-uplet s’écrit avec des parenthèses.
Remarques :
• Un 2-uplet s’appelle un couple, un 3-uplet s’appelle un triplet.
• L’ordre intervient : (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎)
• Les objets peuvent être identiques : (𝑎, 𝑎) existe, comme pour les coordonnées.
Définition : produit cartésien.
L’ensemble noté 𝐸 × 𝐹, appelé produit cartésien, est l’ensemble des couples (𝑥; 𝑦) tels que : 𝑥 ∈ 𝐸 et 𝑦 ∈ 𝐹
Exemple : 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐} et 𝐹 = {𝑓; 𝑔}. Alors 𝐸 × 𝐹 = {(𝑎, 𝑓); (𝑎, 𝑔); (𝑏, 𝑓); (𝑏, 𝑔); (𝑐, 𝑓); (𝑐, 𝑔)}
Remarque : 𝐸H est le produit cartésien de 𝑝 ensembles 𝐸.
Définition : dénombrement
Dénombrer, c’est compter le nombre d’éléments que contient un ensemble fini, c’est-à-dire en déterminer le cardinal.
Propriété : principe additif
Soient 𝐸 et 𝐹 deux ensembles disjoints à respectivement 𝑛 éléments et 𝑝 éléments.
Alors 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐸 ∪ 𝐹) = 𝑛 + 𝑝.
Exemple : soient 𝐴 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒} et 𝐵 = {𝑓; 𝑔; ℎ}. Le nombre d’éléments de 𝐴 ∪ 𝐵 est 5 + 3 = 8.
Propriété : principe multiplicatif
Soient 𝐸 et 𝐹 deux ensembles à respectivement 𝑛 éléments et 𝑝 éléments.
Alors 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐸 × 𝐹) = 𝑛 × 𝑝.
Exemples :
• Pour 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐} et 𝐹 = {𝑓; 𝑔}, le nombre d’éléments de 𝐸 × 𝐹 est 3 × 2 = 6.
• On lance deux dés à six faces.
On note 𝐸 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} l’ensemble des résultats possibles pour un dé.
Alors 𝐸P est l’ensemble des couples possibles pour deux dés. On a par exemple : (1, 2) ∈ 𝐸P, (6, 3) ∈ 𝐸P, (5, 5) ∈ 𝐸P. Il existe 6 × 6 = 36 couples appartenant à 𝐸P.
Remarque : on peut généraliser les deux propriétés ci-dessus à plus de deux ensembles.
Propriété : nombre de 𝒑-uplets d’un ensemble à 𝒏 éléments.
Le nombre de 𝑝-uplets d’un ensemble à 𝑛 éléments est 𝑛H. On écrira : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐸R) = 𝑛H
Exemple : dans 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}, le nombre de couples est 3P = 9.
En effet, les couples sont (𝑎, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑎), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏).
Partie 2 : arrangements et permutations
a) Factorielle Définition : factorielle 𝒏
On appelle factorielle 𝒏 le produit de tous les nombres entiers de 1 à 𝑛.
On note : 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1.
Remarques : 0! = 1 (convention) 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1)! (𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1) × 𝑛!
b) Arrangement Définition : arrangement
Soit 𝐸 un ensemble de 𝑛 éléments.
Un arrangement de 𝑝 éléments de 𝐸 est un 𝑝-uplet d’éléments distincts de 𝐸.
Remarque fondamentale : dans un arrangement, l’ordre compte et les éléments ne se répètent pas.
Exemple : on considère l’ensemble 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑜; 𝑝; 𝑟}. Les triplets (𝑏, 𝑜, 𝑎) et (𝑟, 𝑎, 𝑝) sont des
arrangements de 3 éléments de 𝐸. (𝑏, 𝑜, 𝑎) et (𝑎, 𝑜, 𝑏) sont deux arrangements différents de 3 éléments.
Le quintuplet (𝑝, 𝑟, 𝑜, 𝑏, 𝑎) est un arrangement de 5 éléments de 𝐸.
Le sextuplet (𝑏, 𝑎, 𝑟, 𝑏, 𝑎, 𝑟) n’est pas un arrangement de 𝐸 (pas de répétitions !).
Propriété : nombre d’arrangements
Le nombre d’arrangements de 𝑝 éléments de 𝐸 (avec 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐸) = 𝑛 ≥ 𝑝) est (Z[H)!Z!
Exemples :
• Dans l’exemple précédent, calculons le nombre d’arrangements à 3 éléments de 𝐸 : il y a 5 choix pour la 1ère lettre, 4 choix pour la 2ème (pas de répétitions) et 3 choix pour la 3ème. On a donc, d’après le principe multiplicatif : 5 × 4 × 3 = 60 arrangements possibles, ou : (\[])!\! = \!
P!= 60
• Soit 𝐸 = {𝑎: 𝑏: 𝑐: 𝑑}. Tous les couples d’éléments distincts possibles sont (𝑎, 𝑏), (𝑏, 𝑎), (𝑎, 𝑐), (𝑐, 𝑎), (𝑎, 𝑑), (𝑑, 𝑎), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑑), (𝑑, 𝑏), (𝑐, 𝑑), (𝑑, 𝑐).
Le nombre d’arrangements de 2 éléments est donc : (_[P)!_! =_!P!=_×]×P×`P×` = 12.
c) Cas particulier : la permutation Définition : permutation
Soit 𝐸 un ensemble de 𝑛 éléments. Une permutation de 𝐸 est un arrangement à 𝑛 éléments de 𝐸.
Propriété : nombre de permutations
Le nombre de permutations d’un ensemble à 𝑛 éléments vaut 𝑛!
Exemple : soit 𝐸 = {𝑎; 𝑏; 𝑐}. (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑎, 𝑐, 𝑏), (𝑏, 𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑐, 𝑎), (𝑐, 𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑏, 𝑎) sont tous les triplets possibles. Cela correspond à 3 choix pour la première composante, puis 2 choix pour la deuxième, et un dernier choix pour la troisième. On a 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
On peut représenter cette situation par un arbre :
Partie 3 : combinaisons
Définition : combinaison.
Soit 𝐸 un ensemble de 𝑛 éléments.
Une combinaison de 𝑝 éléments de 𝐸 (𝑝 ≤ 𝑛) est un sous-ensemble de 𝐸.
Remarque fondamentale : dans une combinaison, l’ordre n’a pas d’importance.
Exemple : on considère l’ensemble 𝐸 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.
Le sous-ensemble {1 ; 2 ; 3} est appelée une combinaison de 𝐸 à 3 éléments.
Le sous-ensemble {2 ; 5} est appelée une combinaison de 𝐸 à 2 éléments.
{1 ; 2} et {2 ; 1} correspondent à la même combinaison de 𝐸.
Propriété : nombre de combinaisons.
Le nombre de combinaisons à 𝑝 éléments dans un ensemble 𝐸 à 𝑛 éléments, noté b𝑛
𝑝c, vaut : 𝑛!
𝑝! × (𝑛 − 𝑝)!
Remarque : Le nombre b𝑛
𝑝c de combinaisons de 𝑝 parmi 𝑛 porte aussi le nom de coefficient binomial en référence à une loi de probabilité, la loi binomiale, définie à l’aide des coefficients b𝑛
𝑝c . A suivre…
Propriétés : combinaisons particulières.
b𝑛
0c = b𝑛
𝑛c = 1 b𝑛
1c = b 𝑛
𝑛 − 1c = 𝑛 b𝑛 𝑝c = b
𝑛 𝑛 − 𝑝c
Propriété : relation et triangle de Pascal On a la relation b𝑛
𝑝c + b 𝑛
𝑝 + 1c = d𝑛 + 1 𝑝 + 1e Démonstration :
b𝑛
𝑝c + b 𝑛 𝑝 + 1c =
𝑛!
𝑝!(𝑛 − 𝑝)!+ 𝑛!
(𝑝 + 1)!(𝑛 − 𝑝 − 1)!
= 𝑛!
𝑝!(𝑛 − 𝑝 − 1)! (𝑛 − 𝑝)+ 𝑛!
𝑝! (𝑝 + 1)(𝑛 − 𝑝 − 1)!
= 𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝 − 1)!d 1
𝑛 − 𝑝+ 1
𝑝 + 1e = 𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝 − 1)!d𝑝 + 1 + 𝑛 − 𝑝 (𝑛 − 𝑝)(𝑝 + 1)e = 𝑛!
𝑝! (𝑛 − 𝑝 − 1)!d 𝑛 + 1 (𝑛 − 𝑝)(𝑝 + 1)e = 𝑛! (𝑛 + 1)
𝑝! (𝑝 + 1)(𝑛 − 𝑝 − 1)! (𝑛 − 𝑝) = (𝑛 + 1)!
(𝑝 + 1)!(𝑛 − 𝑝)!
= d𝑛 + 1 𝑝 + 1e
Remarques :
• On peut faire le lien avec les identités remarquables :
(𝑎 + 𝑏)P = 𝑎P + 2𝑎𝑏 + 𝑏P et (𝑎 + 𝑏)] = 𝑎]+ 3𝑎P𝑏 + 3𝑎𝑏P+ 𝑏]
• A la calculatrice : il est possible de vérifier les résultats à l'aide d'une calculatrice : la fonction se nomme "combinaison" ou "nCr".
• Le triangle de Pascal illustre cette situation :
𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
𝟎 1
𝟏 1 1
𝟐 1 2 1
𝟑 1 3 3 1
𝟒 1 4 b4
2c = 6 4 1
𝟓 1 5 10 10 5 1
𝟔 1 6 15 20 15 6 1
b𝟑𝟏c + b𝟑
𝟐c = b𝟒
𝟐c b𝟓 𝟑c + b𝟓
𝟒c = b𝟔 𝟒c
Propriété : nombre de parties d’un ensemble à 𝒏 éléments.
Le nombre de parties d’un ensemble à 𝑛 éléments est 2Z. De plus, ∑ b𝑛
Z 𝑝c
Hno = 2Z. On a donc 𝑐𝑎𝑟𝑑 !(𝐸) = 2Z
Démonstration :
Par dénombrement, on compte le nombre de parties d’un ensemble à 𝑛 éléments.
Il y a b𝑛
0c parties à 0 élément, b𝑛
1c parties à 1 élément, … et plus généralementb𝑛
𝑝c parties à 𝑝 éléments, pour tout entier 𝑝 compris entre 0 et 𝑛. Donc on obtient la somme des b𝑛
𝑝c pour 𝑝 allant de 0 et 𝑛.
Par ailleurs, pour construire un sous-ensemble de 𝐸, on considère 𝑛 étapes où à chaque élément de 𝐸, on décide de le choisir ou de ne pas le choisir pour l’inclure dans le sous-ensemble.
Il y a donc deux possibilités par étape et il y a 𝑛 étapes.
Il y a donc 2 × 2 × … × 2 (𝑛 facteurs) possibilités de construire un sous-ensemble de 𝐸, soit 2Z.
Exemple : soit : 𝐸 = {1, 2, 3}. Alors toutes les parties de 𝐸 sont : ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.
Elles sont au nombre de 8 et en effet : 2] = 8.
𝒏 𝒑
