DENOMBREMENT
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Partie 1 : dénombrement
Exercice 1 : on considère les ensembles 𝐸 = {𝑜; 𝑢; 𝑖} et 𝐹 = {𝑜; 𝑘}
1) Déterminer les ensembles 𝐸 ∪ 𝐹, 𝐸 ∩ 𝐹 et 𝐸 × 𝐹.
2) a) Déterminer toutes les paires existantes à partir de l’ensemble 𝐸.
b) Pouvait-on prévoir le nombre de paires existantes ?
Exercice A : dénombrement
On considère les ensembles 𝐴 = {𝑎; 𝑏, 𝑐} et 𝐵 = {𝑚; 𝑎; 𝑡; ℎ}
1) Déterminer les ensembles 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 et 𝐴 × 𝐵.
2) a) Déterminer toutes les paires existantes à partir de l’ensemble 𝐴.
b) Pouvait-on prévoir le nombre de paires existantes ?
Exercice 2 : on donne l’ensemble des couples {(𝑑, 𝑣); (𝑑, 𝑔); (𝑑, 𝑖); (𝑘, 𝑣); (𝑘, 𝑖); (𝑘, 𝑔)}.
Déterminer de quels ensembles 𝐴 et𝐵 il est le produit cartésien.
Exercice 3 : on considère l’ensemble 𝐸 des chiffres de 0 à 3 et l’ensemble 𝐹 composé des deux lettres 𝑎 et 𝑏.
1. Déterminer tous les sous-ensembles de 𝐸 comportant 2 éléments.
2. Combien y a-t-il de sous-ensembles de 𝐸 à 3 éléments ? 3. Déterminer 𝐸 × 𝐹.
Exercice 4 : la cantine d’un lycée propose un menu à composer au choix. Les élèves peuvent choisir entre 4 entrées, 3 plats chauds, puis du fromage ou un yaourt, et enfin un fruit ou un dessert.
a) Combien de menus peuvent-ils composer ?
b) Il n’y a plus de fruits. Combien de menus peuvent alors être composés ?
Exercice B : monsieur Patate
Monsieur Patate possède 3 chapeaux, 5 nez et 4 paires de chaussures.
La petite Cristina choisit au hasard un chapeau, un nez et une paire de chaussures.
De combien de façons différentes peut-on habiller Monsieur Patate ?
Exercice 5 :
a) Combien de quadruplets de chiffres peut-on constituer ?
b) Le refrain de la chanson « Digicode » de Oldelaf comporte une erreur à corriger :
« Il y avait pour entrer juste un digicode Deux lettres et dix chiffres incommodes Un détail que t’avais sûrement oublié
4 milliards de possibilités. »
Clip d’Oldelaf
Exercice 6 : combien de numéros de téléphone à dix chiffres peut-on composer ?
Exercice 7 : en informatique, on utilise le système binaire pour coder les caractères. Un bit (binary digit : chiffre binaire) est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1. Un octet est composé de 8 bits.
Combien de caractères un octet peut-il coder ?
Exercice 8 : à l’issue d’un concours inter-lycées, les 15 représentants d’une équipe d’une équipe et les 12 d’une autre se serrent la main.
Combien de poignées de mains ont été échangées ?
Partie 2 : arrangements et permutations
Arrangements :
Exercice 9 : dans une compétition sportive, on attribue une médaille d’or, une médaille d’argent et une
médaille de bronze aux trois premiers arrivés. Sachant qu’au départ, il y a 38 athlètes, combien de distributions possibles de médailles y a-t-il ?
Exercice C : arrangement et athlétisme
Aux championnats du monde d’athlétisme, 8 coureurs prennent le départ de la finale du 200 m.
a) Combien de podiums différents sont envisageables ?
b) Sachant qu’un français fait partie des 8, combien de podiums sont possibles avec lui ?
Exercice 10 : Blanche-Neige a trouvé 3 doudous différents dans le bac à linge sale de la maison des 7 nains.
Après lavage, elle veut les remettre dans leurs lits respectifs mais ne sait absolument pas les noms des propriétaires des doudous.
Quelle est la probabilité qu’elle retrouve à quels nains appartiennent les bons doudous ?
Exercice 11 : à l’aide des lettres du mot CANOE (qu’on n’a en un seul exemplaire), on souhaite écrire des mots de trois lettres, ayant un sens ou non.
Combien de mots peut-on composer ? Permutations :
Exercice 12 : Sacha, Ondine et Pierre reviennent de leur chasse dans les hautes herbes de Johto avec 12 nouveaux Pokémons (6 mâles et 6 femelles) parmi lesquels 5 Pichu, 3 Mimigal et 4 Crocrodil.
Pour les présenter au professeur Orme, il décide de les installer les uns à côté des autres sur dix places adjacentes.
a) Sacha propose que chacun choisisse une place au hasard.
Combien y a-t-il alors de façons de les installer ?
b) Ondine préfère que toutes les Mimigal restent ensemble et soient assises côte-à-côte.
Combien y a-t-il alors de façons de les installer ?
c) Pierre dit qu’il serait préférable que les mâles se placent ensemble, et que les femelles fassent de même.
Combien y a-t-il alors de façons de les installer ?
Exercice D : permutation et places à un concert 7 amis (4 garçons et 3 filles) se rendent à un concert.
Ils s’assoient les uns à côté des autres dans la même rangée.
1) Quel est le nombre de possibilités ?
2) Combien y en a-t-il avec les garçons d’un côté et les filles de l’autres ? 3) Combien y en a-t-il avec les filles et les garçons intercalés ?
Exercice 13 : BONUS
1) Dénombrer les anagrammes du mots MATRICE.
2) Combien y en a-t-il qui commencent et finissent par une consonne ? 3) Combien y en a-t-il qui commencent et finissent par une voyelle ?
4) Combien y en a-t-il qui commencent par une consonne et finissent par une voyelle ? 5) Combien y en a-t-il qui commencent par une voyelle et finissent par une consonne ?
Partie 3 : combinaisons
Exercice 14 : au bridge, chaque joueur possède une main de 13 cartes extraites d’un jeu de 52 cartes.
1) Combien de mains peut-on distribuer ?
2) Combien de mains ne contiennent qu’un seul cœur ?
Exercice 15 : au scrabble, un jouer tire au hasard 7 lettres parmi 100 lettres et 2 jokers.
Combien de tirages possibles existe-t-il ?
Exercice 16 : au poker, chaque joueur reçoit une main de 5 cartes parmi 52.
Combien de mains possibles y a-t-il ?
Exercice 17 : dans une classe de lycée, on interroge 20 élèves au hasard. 14 déclarent aimer les maths, 7 déclarent aimer la physique et 4 déclarent aimer les deux matières. On choisit au hasard 4 de ces élèves parmi les 20. Parmi tous les choix possibles :
a) Combien comporte 4 élèves qui aiment les maths ?
b) Combien comporte exactement 2 élèves qui n’aiment que les maths et 2 autres qui n’aiment que la physique ?
Exercice 18 : de combien de façons peut-on choisir 3 femmes et 2 hommes parmi 10 femmes et 5 hommes ? Exercice 19 : une classe composée de 18 filles et 16 garçons va élire les 4 délégués (on ne distingue pas les délégués et leurs adjoints).
a) Combien existe-t-il de possibilités pour cette élection ?
b) Wilfried dit qu’elle ne souhaite pas être élue si Tancred est élu. Dans ces conditions, combien existe-t-il de possibilités ?
Coupe de pouce : on pourra déjà envisager le nombre de possibilités où Wilfried et Tancred sont délégués ensemble.
Exercice E : combinaisons et élection de délégués
Dans une classe de 32 élèves, on compte 19 garçons et 13 filles.
On doit élire 2 délégués.
1) Quel est le nombre de choix possibles ?
2) Et si on impose que soient élus un garçon et une fille, que devient le résultat ?
Exercice 20 : une grille de loto comporte 49 numéros. Pour jouer, on doit choisir 6 numéros. De combien de manières peut-on remplir une grille ?
Exercice 21 : lors d’une compétition de e-sport, on compte 12 joueurs professionnels parmi les 30 participants.
On désire réaliser un sondage sur les habitudes de jeux : pour cela, on choisit un échantillon de 4 personnes parmi les participants.
1) Combien d’échantillons différents y a-t-il ?
2) Combien d’échantillons ne contenant aucun joueur professionnel y a-t-il ? 3) Combien d’échantillons contenant au moins un joueur professionnel y a-t-il ?
Exercice 22 : une boîte contient six jetons blancs numérotés de 1 à 6 et trois jetons noirs numérotés de 7 à 9.
On tire trois jetons sans remise de la boîte.
1) Combien d’ensembles différents de trois jetons peut-on former ? 2) Combien de nombres différents de trois chiffres peut-on former ?
3) Combien d’ensembles différents de trois jetons dont deux sont blancs et un est noir peut-on former ? Exercice 23 : un quartier résidentiel vient de sortir de terre et il compte 335 appartements. Parmi ceux-ci, on compte 155 appartements qui comportent une cave dont 55 comportent aussi un garage. 20 appartements seulement ne comportent ni cave, ni garage.
1) Représenter la situation par un diagramme.
2) Combien d’appartements comportent un garage mais n’ont pas de cave ? 3) Combien d’appartements comportent une cave ou un garage ?
