Théorie des ensembles et SGBD-R Résumé et exercices - matin

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IPI – Module MAT-120 – Théorie des ensembles et SGBDR – Bertrand Liaudet - page 1/37

Théorie des ensembles et SGBD-R

Résumé et exercices - matin

Bertrand LIAUDET

SOMMAIRE

SOMMAIRE 1

ENSEMBLES ET RELATION ENTRE LES ENSEMBLES 2

A - Théorie 2

1 – Qu’est-ce qu’un ensemble ? 2

2 - Représentation graphique 3

3 – Définir un ensemble 4

4 – Relation entre un élément et son ensemble : « appartient » ou « est un » 5

5 – Relations entre ensembles 6

6 – Notions connexes : abstrait, concret – concept, genre, espèce - héritage,

spécialisation 12

B – Exercices et applications en logique 15

1 – Exercices : définir des ensembles 15

2 – Exercices : Trouver des ensembles – Première approche de la modélisation des BD 16 3 – Exercices : relations entre ensembles avec des éléments 17 4 – Exercices : relations entre ensembles et démonstration graphique 18

5 – Exercices : relations d’espèces à genre 20

6 – Cardinalité et diagrammes de Venn 21

7 – Syllogisme : diagrammes de Venn et Euler avec ajouts contemporains 27

Dernière édition : septembre 2019

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ENSEMBLES ET RELATION ENTRE LES ENSEMBLES

A - Théorie

1 – Qu’est-ce qu’un ensemble ? Définition générale d’un ensemble

Nous appelons ensemble toute réunion E d’objets de notre conception, déterminés et bien distincts, que nous nommons éléments de E.

Un ensemble est une collection d’objets qu’on appelle éléments.

Un ensemble est une multitude qui peut être comprise comme un tout.

L’appartenance : la relation entre un élément et son ensemble d’appartenance Si e1 est un élément de E, on dit que :

e1 appartient à E On écrit en mathématique :

e1  E1

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2 - Représentation graphique

Un ensemble se représente graphiquement avec une ellipse ou sous la forme d’un tableau.

On peut mettre ses éléments dedans. C’est pratique.

On doit pouvoir mettre des éléments dedans pour que ce soit un ensemble !

Ellipse Tableau A l’horizontale :

F

A la verticale :

F F

x1 x2 x3 x4

x1 x2 x3 x4 F

x1 x2 x3 x4

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3 – Définir un ensemble

Il y a plusieurs façons de définir un ensemble.

Définition en extension

Définir un ensemble en extension, c’est donner la liste de tous ses éléments.

On présente en général les éléments entre accolades séparés par une virgule.

E1 = {e1, e2, e3} e1  E1 E2 = {4, 8, 16, 32} 2  E2 Définition en semi-extension pour les ensembles ordonnés : avec « … » :

N = {0, 1, 2, 3, …} : c’est la série de entiers allant à l’ de 1 en 1.

Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. C’est la série des entiers allant de - à + de 1 en 1.

L’ensemble des nombres pairs : {0, 2, 4, 6, …}. C’est la série des entiers pairs allant à l’infini (de 2 en 2).

Définition en compréhension en français

E = l’ensemble des entiers multiples de 3. C’est une définition en compréhension en français.

Définition en compréhension en mathématiques

E = {3k / k  N }. C’est une définition mathématique en compréhension. On la lit ainsi : E égale l’ensemble des 3 fois k tel que k appartient à N (donc 3x0, 3x1, 3x2, etc.)

On peut aussi écrire : E = {x / x  N et x%3 = 0 }. On la lit ainsi : E égale l’ensemble des x tel que x appartient à N et x modulo 3 = 0.

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4 – Relation entre un élément et son ensemble : « appartient » ou « est un » Définition

Quel que soit l’ensemble E, quel que soit « e » élément de l’ensemble E, on peut dire : e appartient à E

Formulation intuitive

Quel que soit l’ensemble E, on peut trouver un nom, «CeQuOnVeut » par exemple (au singulier ou au pluriel), tel que E soit un ensemble de « CeQuOnVeuts » (ici au pluriels) . A partir de là, quel que soit « e » élément de l’ensemble E, on peut dire :

e « est un.e » CeQuOnVeut ou

e appartient à l’ensemble des CeQuOnVeuts Exemples

➢ Soit N l’ensemble des entiers. Le «CeQuonVeut » c’est « Entier ».

On peut donc dire : 3 appartient à N, 3 est un Entier, 3 appartient à l’ensemble des Entiers.

➢ Soit A l’ensemble des entiers multiples de 3. Le « CeQuonVeut » c’est « Entier multiple de 3 ».

On peut donc dire : 12 appartient à A, 12 est un entier multiple de 3, 12 appartient à l’ensemble des entiers multiples de 3.

➢ Soit C l’ensemble des chats. Le « CeQuonVeut » c’est « Chat ».

Soit félix, un chat. On peut donc dire : félix appartient à C, félix est un Chat, félix appartient à l’ensemble des Chats.

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5 – Relations entre ensembles 1 : Inclusion : sous-ensemble

E  F  ∀x

(

x  E => x  F

)

E inclus dans F est équivalent à : pour tout x, si x appartient à E alors x appartient à F.

➢ Exemple avec un diagramme de Venn :

Un diagramme de Venn montre les ensembles, leurs éléments et les relations entre les ensembles.

➢ Formulation intuitive

Soit E l’ensemble des « NomDeE », soit F l’ensemble des « NomDeF ».

Si E  F alors NomDeE est un NomDeF

Si x  E alors x est un NomDeE et x est un NomDeF

➢ Exemple

Soit C l’ensemble des Chats. Soit A l’ensemble des Animaux.

C  A donc un Chat est un Animal.

Si félix est un Chat, alors félix est un Animal.

E F

x1 x2 x3 x4 E= {x2, x3} F= {x1, x2, x3, x4}

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➢ Théorie des ensembles et arithmétique (science des nombres) Ensemble des entiers : N = {0, 1, 2, …}

Ensemble des entiers relatifs : Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2. … }

Ensemble des nombres décimaux : D = Z  Ensemble des nombres avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule.

Ensemble des nombres rationnels : Q = D  Ensemble des nombres qui s’expriment sous la forme d’un quotient de 2 nombres décimaux.

Ensemble des nombres réels : R = Q  Ensemble des nombres avec un nombre fini ou infini de chiffres derrière la virgule.

N  Z  D  Q  R

7 est un Entier, un Entier relatif, un nombre décimal, un nombre rationnel et un nombre réel.

7 -7 7, 5 1/3 PI

N Z D Q R

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2 : Intersection

E  F = { x / x  E et x  F }

E inter F est égale à l’ensemble des x tels que x appartient à E et x appartient à F

➢ Exemple avec un diagramme de Venn : E E  F F

3 : Union

E  F = { x / x  E ou x  F

)

E union F est égal à l’ensemble des x tel que x appartient à E ou x appartient à F.

➢ Exemple avec un diagramme de Venn : E F

x1 x2 x3 x4 x5 x6 E  F = { x3, x4 }

x1 x2 x3 x4 x5 x6 E  F = { x1, x2, x3, x4, x5, x6 }

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4 : Partition

Si E = {A  B  C} et A  B = , A  C = , B  C =  Alors A, B et C forment une partition de E.

➢ Exemple avec un diagramme :

➢ Formulation intuitive :

Une partition décompose un ensemble en sous-ensembles disjoints et recouvrant tout l’ensemble de départ.

A B C

E

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5 : Différence

E - F = { x / x  E et x  F }

E moins F est égale à l’ensemble des x tels que x appartient à E et x n’appartient pas à F

➢ Exemple avec un diagramme de Venn : E F

<--(E – F)-->

x1 x2 x3 x4 x5 x6 E - F = { x1, x2 }

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6 : Complémentaire

➢ Principes

Le complémentaire d’un ensemble E fait référence obligatoirement à un autre ensemble dans lequel il est inclus.

On peut parler du complémentaire de E dans F, qu’on écrit :EF. Dans ce cas, cela signifie que E est inclus dans F.

On peut parler du complémentaire de E « tout court », qu’on écrit :E. Dans ce cas, on fait référence à un ensemble U (pour Univers) dans lequel E est inclus.

➢ Définition

Le complémentaire de E dans F est égal à l’ensemble des x tels que x appartient à F et x n’appartient pas à E.

CFE = EF = { x / x  F et x  E }

EF = F – E : c’est tout dans F sauf E.

➢ Exemple avec un diagramme de Venn :

F E

x1 x2 x3 x4 x5 x6 CFE = EF = {x1, x2, x5, x6}

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6 – Notions connexes : abstrait, concret – concept, genre, espèce - héritage, spécialisation 1 : Ensemble abstrait – Object concret

Un ensemble est une notion abstraite.

Les éléments de l’ensemble sont concrets (ce sont les objets).

Chats Chats

2 : Notion de concept

Un ensemble définit un concept, c’est-à-dire la définition d’un objet en général.

félix tom gros minet félix tom gros minet

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3 : Espèce et genre : est un - héritage

➢ La relation d’inclusion peut être interprétée comme une relation d’espèce à genre.

Chats  Animaux

Chats est l’espèce, Animaux est le genre.

félix, tom et gros_minet sont les éléments.

➢ C’est une relation « est un » félix est un Chat,

félix est un animal (relation d’élément à espèce et à genre.

Un Chat est un Animal (ou tous les chats sont des animaux).

Chats Animaux

félix tom gros_minet

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➢ Héritage

La relation d’espèce à genre est une relation d’héritage : l’espèce hérite des caractéristiques du genre.

On représente l’héritage avec une flèche à triangle :

➢ Définir : un genre et une différence

Pour définir quelque chose, il faut trouver un genre d’appartenance et une caractéristique particulière qui permet de distinguer une partie dans le genre (on appelle cela une distinction).

Par exemple : un chat c’est un animal qui fait « miaou ». Genre : animal. Distinction : « miaou », son cri.

Chats Chiens Animaux Animaux

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B – Exercices et applications en logique

1 – Exercices : définir des ensembles

➢ 1

Soit E l’ensemble des entiers multiples de 3 plus petit que 40.

Donnez une définition de E en semi-extension.

Donnez une définition mathématique de E en compréhension (proposez 2 versions).

Quel est le cardinal de E ?

➢ 2

Soit E = {10, 15, 20, …, 440, 445, 450 } Donnez une définition en français de E.

➢ 3

Soit E l’ensemble des entiers impairs entre 11 à 20.

Donnez une définition de E en extension.

Donnez une définition mathématique de E en compréhension.

➢ 4

E = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256}

Définir en compréhension l’ensemble E

Donnez une définition en français de E.

➢ 5

Définir en extension A l’ensemble des multiples de 7 compris entre 100 et 500.

Définir en compréhension l’ensemble A Quel est le cardinal de A ?

➢ 6

A = {-3 ;-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3}

Définir en compréhension B, ensemble des carrés des éléments de A.

Quel est le cardinal de B ?

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2 – Exercices : Trouver des ensembles – Première approche de la modélisation des BD

➢ 1

Une entreprise a des employés qui travaillent dans différents départements. Un employé est embauché à une certaine date et a une fonction et un salaire. Les fonctions dans l’entreprise sont fixées par l’entreprise.

• Quels sont les ensembles qu’on peut concevoir à partir de cette description ?

• Imaginez quelques éléments à mettre dans chaque ensemble.

➢ 2

Une bibliothèque gère des adhérents qui peuvent emprunter des livres.

➢ 3

Une émission de télévision est diffusée sur une chaine et une seule caractérisée par son numéro et son canal. Les émissions ont des animateurs. Un animateur peut participer à plusieurs émissions.

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3 – Exercices : relations entre ensembles avec des éléments 1

Soit A={ 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 }, B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9} C = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 10}

➢ Dessiner les 3 ensembles et leurs relations.

➢ Déterminer graphiquement et en extension : A  (B  C )

➢ Déterminer graphiquement et en extension : (A  B)  (A  C)

➢ Que constatez-vous ? 2

Soit E={1 ; 2 ; … ; 6, 7}, A = {1 ; 3 ; 5 ; 7} B = {2 ; 4 ; 6} et C={1 ;3 ; 6}

➢ Dessiner les 4 ensembles et leurs relations

➢ Déterminer graphiquement et en extension

A  B A  C B  C A  B A  C B  C

➢ Déterminer A E , B E , C E

3

Sachant que :

A  B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 8}

B  C = {3 ; 4 ; 5 } A  B  C = {3 } A  B = {3 ; 8 } A  C = {2 ; 3 }

B  C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}

A  C = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8}

Déterminez A, B et C en extension et représentez-les graphiquement.

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4 – Exercices : relations entre ensembles et démonstration graphique Série 1 : Propriétés associant  et 

Loi d’absorption 1 : E  ( E  F ) = E Loi d’absorption 2 : E  ( E  F ) = E

Distributivité de  sur  : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) Distributivité de  sur  : E  ( F  G ) = ( E  F )  ( E  G ) Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F ) - Card ( E  F )

E  F =  => Card ( E  F ) = Card ( E ) + Card ( F )

➢ Exercice : démontrez graphiquement les propriétés ci-dessus.

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Série 2 : Propriétés du complémentaire

E = E E E =  E E = U

Loi de Morgan : E  F = E  F Loi de Morgan : E  F = E  F E – ( F  G ) = ( E - F )  ( E - G ) E – ( F  G ) = ( E - F )  ( E - G )

➢ Exercice : démontrez graphiquement les propriétés ci-dessus.

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5 – Exercices : relations d’espèces à genre

➢ 1

Soit un ensemble de personnes P = {p1, p2, …, p9, p10}

p1, p3, p5, p6 et p7 sont adhérents à la bibliothèque de la ville.

p1, p2, p3, p7, p10 travaillent à la bibliothèque de la ville.

➢ Représentez graphiquement les ensembles et leurs éléments

➢ Quelles relations existe-t-il entre ces ensembles ? (inclusion, intersection)

➢ Y a-t-il une ou plusieurs relations d’héritage, si oui, lesquelles ?

➢ 2

Construire les relations d’espèces à genre des concepts suivants : hêtre, homme, diamant, substance immatérielle, feuille, daim, minéral, arbre, substance, végétal, animal, athée, marxiste, argile, substance matérielle.

➢ 3

Construire les relations d’espèces à genre des concepts suivants : polygone, carré, triangle équilatéral (3 côtés de longueurs identiques), parallélogramme, triangle isocèle (2 côtés de longueurs identiques), quadrilatère, figure plane, losange, triangle, figure, rectangle, triangle scalène (3 côtés de longueurs différentes), trapèze.

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6 – Cardinalité et diagrammes de Venn Présentation

John Venn, mathématicien anglais du 19^ème siècle, utilise les relations ensemblistes pour résoudre des petits problèmes de cardinalités.

Exemple

200 élèves participent à une journée de sport. 3 sports sont au programme : le foot, la natation et la course à pieds. Chaque élève peut participer à 1, 2 ou 3 sports.

Avec les indices ci-dessous, dire combien d’élèves participent à un sport et un seul et lequel, à 2 sports et lesquels, à trois sports.

➢ 10 élèves sont blessés et ne participent pas

➢ 18 participent au 3 sports

➢ 103 ne font que 2 sports

➢ 79 font du foot et de la natation

➢ 19 ne font que le la course

➢ 129 font de la natation dont 40 que de ça .

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Méthode

➢ 1 : On commence par représenter les choses sous forme ensembliste : U = les élèves

Foot : les élèves qui font du foot Nat : les élèves qui font de la natation Course : les élèves qui font de la course

U = les élèves

Foot Nat

Course

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➢ 2 : La représentation définit une partition avec 8 sous-ensembles

U = les élèves

Foot Nat

Course Se1

Se2 Se3

Se4 Se5

Se6 Se7

Se8

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➢ 3 : On prend les informations et on les traduit en cardinalités

➢ 200 élèves : U=200

➢ 10 élèves sont blessés et ne participent pas : Se1=10

➢ 18 participent au 3 sports : Se8=18

➢ 103 ne font que 2 sports : Se5 + Se6 + Se7 = 103

➢ 79 font du foot et de la natation : Se5 + Se8 = 79, donc Se5 = 61

➢ Etc.

➢ 4 : Finissez l’exercice !

Se5=61

U = les élèves = 200

Foot Nat

Course Se1=10

Se2 Se3 = 40

Se4

Se6 Se7

Se8=18

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Exercices – Cardinalités et diagramme de Venn

➢ 1

Un contrôleur de fabrication a cherché, dans un lot de 100 pièces, le nombre de pièces présentant un défaut de solidité, un défaut de finition ou un défaut de dimension.

Ses résultats sont les suivants : – Défaut de finition : 30 pièces – Défaut de solidité : 23 pièces – Défaut de dimension : 50 pièces

– Défaut de finition et de solidité : 10 pièces – Défaut de solidité et de dimension : 20 pièces.

– Défaut de dimension et de finition : 8 pièces

– Défaut de finition, de solidité et de dimension : 5 pièces.

La direction de l'entreprise met en doute les compétences de ce contrôleur : ses doutes sont-ils justifiés ? Pourquoi ?

Pour résoudre le problème, on part de l’ensemble des pièces puis on définit graphiquement une partition. On définit ensuite le cardinal de chaque partie en commençant par les plus évidentes.

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➢ 2

Dans un avion se trouvent : — 9 enfants de sexe masculin, — 5 enfants français,

— 9 hommes adultes,

— 7 enfants non français de sexe masculin, — 11 français dont 6 de sexe masculin, — 12 enfants non français,

— 2 femmes adultes non françaises.

Combien y a-t-il de passagers dans l'avion ?

Pour résoudre le problème, il faut commencer par définir une partition de l’ensemble de départ.

Ensuite, on applique la même méthode que précédemment pour définir le cardinal de chaque partie en commençant par les plus évidentes.

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7 – Syllogisme : diagrammes de Venn et Euler avec ajouts contemporains Présentation

➢ Définition d’un syllogisme

Le syllogisme classique permet à partir de deux propositions d’en déduire une troisième.

➢ Exemple

Tous les humains sont mortels.

Les Grecs sont humains.

Donc les Grecs sont mortels.

➢ Représentation ensembliste de l’exemple

On a 3 ensembles : M (les mortels), H (les humains) et G (les Grecs).

Chaque proposition peut se traduire de façon ensembliste.

Tous les humains sont mortels : On le note H  M

Les Grecs sont humains : On le note G  H

C’est pareil que tous les Grecs sont humains

Tous les Grecs sont mortels : On le note G  M

Humains Mortels

Grecs Humains

Grecs Mortels

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➢ Bilan

Le syllogisme correspond à la situation suivante : G  H  M donc G  M

➢ Classification

La théorie met en évidence 256 syllogismes possibles et une bonne maîtrise des syllogismes suppose que l’on soit capable d’en isoler 19 qui sont concluants. On va présenter les 4 premiers à titre d’exemple.

La théorie des syllogismes se base sur une théorie de la proposition. On va donc commencer par présenter cette théorie en rapport directement avec la théorie des ensembles.

Humains Mortels

Grecs

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Les 6 sortes de propositions

➢ Présentation

Il existe 3 sortes de propositions : universelles, singulières ou particulières. Chacune d’elle peut être affirmative ou négative, ce qui fait 6 sortes de propositions en tout.

➢ 1 : Proposition universelle affirmative

Tous les humains sont mortels est une proposition dite « universelle ».

On peut la noter H  M

On sait que H  M  ∀x

(

x  H => x  M

)

: cf. § Relations entre ensemble, inclusion Traduction ensembliste :

➢ 2 : Proposition universelle négative

« Aucun homme n’est immortel » est une proposition universelle (valable pour tous les hommes) et négative : c’est un « n’être pas ».

On peut la noter H  I = 

On sait que H  I =   ∀x

(

x  H => x  I

)

: cf. § Relations entre ensemble, intersection, ensembles disjoints.

Traduction ensembliste :

Humains Immortels

Humains Mortels

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➢ 3 : Proposition singulière affirmative

« cantor » est un humain est une proposition dite « singulière » et affirmative.

On peut la noter : cantor  H Traduction ensembliste :

➢ 4 : Proposition singulière négative

Cantor n’est pas un enfant est une proposition dite « singulière » et négative.

On peut la noter : cantor  E Traduction ensembliste :

Humains

cantor

Enfants cantor

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➢ 5 : Proposition particulière affirmative

« Certains francophones sont français » est une proposition particulière (valable pour certains francophones, mais pas tous) et affirmative.

On peut la noter FP  F

On sait que FP  F = { x / x  FP et x  F } : cf. § Relations entre ensemble, intersection.

Les francophones français sont à l’intersection des deux ensembles.

On ne sait pas s’il y a des Francophones non Français. Certains le sont, peut-être tous, ou pas.

On peut aussi proposer le schéma suivant :

Il existe un objet francophone qui est Français.

On met la caractéristique « francophone » en italique pour la distinguer du nom d’un objet.

Francophones Français

Français francophone

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➢ 6 : Proposition particulière négative

« Certains francophones ne sont pas français » est une proposition particulière (valable pour certains francophones, mais pas tous) et négative (« ne sont pas »).

On peut la noter FP - F

On sait que FP - F = { x / x  FP et x  F } : cf. § Relations entre ensemble, différence.

Les francophones non français sont à l’intersection des deux ensembles.

On ne sait pas s’il y a des francophones français. Certains ne le sont pas, peut-être tous, ou pas.

On peut aussi proposer le schéma suivant :

Il existe un objet francophone qui n’est Français.

On met la caractéristique « francophone » en italique pour la distinguer du nom d’un objet.

Francophones Français

Français francophone

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Les 4 premiers syllogismes classiques

➢ BARBARA

On a 3 propositions universelles affirmatives, codées A, d’où le code latin BARBARA Tous les humains sont mortels (A)

Les Grecs sont humains (A)

Donc tous les Grecs sont mortels (A)

➢ CELARENT

On a 2 propositions universelles négatives, codées E, d’où le code latin CELARENT Aucun Européen n’est Américain (E)

Les Français sont Européens (A)

Donc aucun Français n’est Américain (E)

Humains Mortels

Grecs

Américains Européens

Français

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➢ DARII

On a 2 propositions particulières affirmatives, codées I, d’où le code latin DARII Les Français sont Européens (A)

Certains francophones sont Français (I)

Donc certains francophones sont Européens (I)

➢ FERIO

On a 1 universel négative (E), 1 particulière affirmative (I) et une particulière négative (O), d’où le code latin FERIO.

Aucun Français n’est Américain (E) Certains étudiants sont français (I)

Donc certains étudiants ne sont pas Américains (O)

Français Européens

francophone

Américains Français

étudiant

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➢ Synthèse

BARBARA CELARENT

DARII FERIO

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Exercices – série 1 – Syllogismes et diagrammes de Venn Pour chacun des couples de proposition ci-dessous :

➢ Faites le diagramme de Venn correspondant.

➢ Dites à quel figure de syllogime il correspond.

➢ Dites ce que vous pouvez en déduire.

Aucun animal à branchies n’est une baleine.

Tous les poissons ont des branchies.

Tous les actes explicitement interdits par la loi sont répréhensibles Certains commerces sont explicitement interdits par la loi

Tous les aliénés sont déments Tous les fous sont aliénés Aucun poisson n’a de jambes

Quelques animaux sont des poissons

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Exercices – série 2

Même exercice que le 1.

Tous les chats comprennent le français Certains poulets sont des chats.

Tous les dieux sont immortels Certains personnages sont des dieux Aucune baleine n’est un poisson

Certains animaux avec des nageoires sont des baleines Aucun animal respirant avec des poumons n’est un poisson Toutes les baleines sont des animaux respirant avec des poumons