Universit´e Pierre et Marie Curie License LM345 Ann´ee 2010-2011 PIMA
Correction Contrˆole continu num´ero 2.
Exercice 1.
SoitXune variable exponentielle de param`etreθ >0. On poseY =bXc. D´eterminer la loi deY.
Xest une variable al´eatoire `a valeur dansR+(car de loi exponentielle), doncY =bXcest `a valeurs dans N. La loi deY, variable al´eatoire discr`ete, est d´etermin´ee par la famille desP(Y =k),k∈N.
Or,{Y =k}={k≤X < k+ 1}. D’o`u,
P(Y =k) =P(k≤X < k+ 1)
= Z k+1
k
θe−θxdx
=e−θk(1−e−θ)
=
e−θ k
(1−e−θ).
Y suit la loi g´eom´etrique surNde param`etree−θ. Exercice 2.
SoientX, Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi normale centr´ees r´eduites. Quelle est la loi de YX
? Que dire de son esp´erance.
Remarquons tout d’abord que XY est d´efinie presque surement carP(X = 0) = 0. Pour d´eterminer la loi de la variable al´eatoire YX on a besoin de la loi du couple(X, Y). Icic,XetY sont ind´ependantes, chacune de densit´e √1
2πe−x
2
2 . On sait donc que la loi de la variable couple est ´egalement `a densit´e
f(X,Y)(x, y) = 1
√2πe−x
2
2 1
√2πe−y
2 2 .
Nous allons d´eterminer cette loi `a l’aide de la m´ethode de la fonction muette. Soit doncf une fonction bor´elienne born´ee
E
f Y
X
= 1 2π
Z
R
Z
R
fy x
e−x2+y
2 2 . L’expressionf(yx)e−x2+y
2
2 ´etant invariante par l’application(x, y)7→ (−x,−y), il suffit de calculer cette int´egrale sur le demiplan (puis de la multiplier par2) :
1 2π
Z ∞
0
Z
R
f(y
x)e−x2+y
2 2
Soit
ϕ: ]0,∞[×R −→ ]0,∞[×R (x, y) 7→ (u, v),(x,xy).
ϕest unC1diff´eomorphisme car diff´erentiable et inversible d’inverse ϕ−1 : ]0,∞[×R −→ ]0,∞[×R
(u, v) 7→ (u, v),(u, uv).
applicationC1 ´egalement.
1
Le calcul du Jacobien D(x,y)D(u,v) est donn´e par
D(x, y) D(u, v) =
∂x/∂u ∂x/∂v
∂x/∂u ∂x/∂v
=
1 0 v u
=u
La valeur absolue du Jacobien,|D(x,y)D(u,v)|, est donc ´egale `au(caru≥0).
Donc en appliquant la formule du changement de variable, on obtient 1
2π Z ∞
u=0
Z
v∈R
f(v)e−u2(1+v2)2 ududv.
f ´etant born´ee ete−u2(1+v2)2 u ´etant l’ expression d’une fonction int´egrable sur ]0,∞[×R. Le th´eor`eme de Fubini s’applique et
1 2π
Z ∞
u=0
Z
v∈R
f(v)e−u2(1+v2)2 ududv= 1 2π
Z
R
f(v) Z ∞
u=0
ue−u2(1+v2)2 dudv
= 1 2π
Z
R
f(v) −1
1 +v2e−u2(1+v2)2 ∞
u=0
dudv
= 1 2π
Z
R
f(v) 1 1 +v2dv
Or,
E
f Y
X
= 2. 1 2π
Z
R
f(v) 1 1 +v2dv
= 1 π
Z
R
f(v) 1 1 +v2dv
Donc la variable al´eatoire poss`ede la densit´e v 7→ π(1+v1 2) : elle suit la loi de Cauchy. Nous avions vu (TD 5 exerice 3) que la loi de Cauchy n’admet pas de moment d’ordre 1. La variable al´eatoire YX n’est donc pas int´egrable et donc son esp´erance n’est pas d´efinie.
2
