1/ Sur les côtés

Chapitre n°6 : «

Chapitre n°6 : « Le parallélogramme Le parallélogramme » »

I. L'essentiel

Rappels

Un quadrilatère est une figure fermée constituée de quatre segments appelés côtés.

Vocabulaire

• A, B, C et D sont les sommets.

•

• [AB], [BC], [CD] et [DA] sont les côtés.

• Noms possibles : ABCD, BADC, CDAB…

• Côtés opposés : [AD] et [BC] ; [AB] et [DC]

• Côtés consécutifs : [BA] et [AD] ; [DC] et [CB]…

• Diagonales : [AC] et [BD].

• Angles opposés : DAB et DCB. Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Construction à la règle et à l'équerre

On a construit deux paires de droites parallèles :

• d₁//d₂

• ^d1'//d₂'

Ces quatre droites forment quatre points : A, B, C et D.

ABCD est un parallélogramme.

Construction à la règle et au compas

• On suppose les points A, B et C déjà placés.

On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

• On prend l'écartement entre A et B et on pointe sur C pour former un premier arc de cercle.

• On prend l'écartement entre B et C et on

pointe sur A pour former un deuxième arc de cercle.

• On place le point D puis on trace le parallélogramme ABCD.

Autre exemple

A, B et C sont trois points quelconques. Construis le point D tel que BACD soit un parallélogramme.

II. Propriétés

1/ Sur les côtés

Propriété

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.

Figure pour illustrer.

Les côtés opposés sont :

• [IJ] et [LK]

• [LI] et [KJ]. Donc IJ=LK et IL=JK.

2/ Sur les diagonales

Rappels

• A et A' sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment [AA'].

• On rappelle aussi qu'un centre de symétrie est un point autour duquel la figure peut effectuer un demi-tour puis revenir à sa place initiale (voir page 156)

Activité

Il semble que les longueurs OB et OC soient égales. De même pour les DO et OA. Il semble donc que O soit le milieu des diagonales.

Définition

Le centre d'un parallélogramme est à l'intersection des diagonales

Propriétés

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

• Le centre du parallélogramme est aussi le centre de symétrie.

Exemple

• Les parallélogrammes sont : ABFE ;

ADEC.

• Dans ABFE les longueurs égales sont :

AB=EF AE=BF AH=HF EH=HB

• Dans ADEC les longueurs égales sont :

DG=GC AG=EG AD=CE DE=CA

3/ Sur les angles

Propriétés

Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure.

Exemple

Dans le parallélogramme ci- contre, on a :

• CBA=CDA

• BCD=BAD

(voir à la fin du chapitre pour l'autre propriété concernant les angles consécutifs)

III. Constructions de parallélogramme (exemples)

Méthode générale

• On fait une figure à main levée la plus réaliste possible.

• On élabore une stratégie de construction.

• On fait la figure aux instruments.

Exemple 1

Construire un parallélogramme ABCD tel que AD=4 cm et DAB=60°. AB=5 cm

• Figure à main levée :

• Je trace AD=4cm ; je fais un angle à 60° ; je trace AB=5cm. Pour construire le point

C, j'utilise le compas.

Exemple 2

Construire le parallélogramme IJKL tel que IJ=3,5 cm ; JK=4,7 cm et IK=2,8 cm

• A main levée

• Avec les instruments

A

C B

D 4 cm

60° 5 cm

I J

L K

3,5 cm

4,7 cm

2,8 cm

(échelle 1/2)

Exemple 3

Construire un parallélogramme EFGH tel que FH=9 cm et EG=5 cm. FOG=35°

• A main levée

• Aux instruments

IV. Propriétés réciproques

Propriété caractéristique n°1

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Application

C'est la construction au compas vue au début du chapitre

On a construit le parallélogramme ABCD tel que AB=CD et BC=AD E F

H G

9 cm^{5 cm} O ^35°

(échelle 1/2)

Propriété caractéristique n°2

Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme.

Propriété caractéristique n°3 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.

Pour jeudi 4/02

• Apprendre par cœur les propriétés caractéristiques

• n°58 p 216 Pour vendredi 4/02 Contrôle 1h !!!!!!!!!!!

(dans le paragraphe II 3/ sur les angles) Propriété

Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.

Exemple

On a CBABAD=14535=180 . Rappel

• Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme fait 180°.

• Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme fait 90°.