Dans tous les exercices, les écoulements seront considérés incompressibles et stationnaires. La vitesse sera uniforme sur toute section droite d'un tube de champ.
1.Circulation sanguine
Le sang est évacué du cœur par l’aorte de rayon a de de longueur L avec un débit volumique Q.
Pour obtenir des ordres de grandeur, il est supposé que l’aorte se divise ensuite en Na artères de rayon aa et longueur La, parcourues chacune par le débit volumique qa, puis en N′ a artérioles de rayon a ′a et longueur L′a (Figure ci-dessous). La vitesse moyenne du sang dans une artériole est v ′ a
. Rappel : pour les applications numériques a = 1 cm et L = 20 cm.
1.1 . Exprimer Na, puis N′ a en fonction de Q, qa, v ′a et a ′a .
1.2 . Application numérique : calculer Na et N′ a pour Q = 6 L.minute−1 , qa = 2.10−6 m3 .s −1 , a ′ a = 20 µm et v ′ a = 0, 5 cm.s −1 .
1.3 Exploitation de document
Grande circulation
Sur ce schéma sont représentés, pour chaque type de vaisseau sanguin :
·la vitesse moyenne du sang dans le vaisseau
· la somme des sections des vaisseaux de même nature
· le débit total de sang
Présenter un raisonnement argumenté permettant d’interpréter les courbes «surface de section cumulative» et «vitesse d’écoulement» fournies dans le schéma de la grande circulation ci-dessus.
Calculer les valeurs maximale et minimale des vitesses d’écoulement.
2. Navire à voile lors d'une régate
On considère deux navires identiques, assimilés à des parallélépipèdes de longueur L, terminés à l’avant et à l’arrière par deux dièdres .
On désigne par d la distance séparant leurs bords proches et par D la distance entre leurs plans de symétrie longitudinaux. On dit qu’ils naviguent de conserve.
On se placera dans un repère lié aux bateaux, dans ce repère, les navires sont immobiles et c’est la mer qui est animée d’une vitesse constante notée v .
Cependant, dans l’intervalle séparant les coques des navires, et jusqu’à la profondeur H, la vitesse de la mer est différente et on la note V .
L’eau est considérée comme un liquide parfait. On admettra que les écoulements sont laminaires et que le régime est permanent.
2.1. On considère un tube de courant délimité par deux plans horizontaux distants de 'z, deux surfaces verticales passant par les lignes de courant arrivant sur la proue de chaque bateau.
Calculer la vitesse V en fonction de v, d et D.
2.2. Déterminer l’expression de l’écart de pression entre le point A loin des navires et le point B.
2.3. On admet que la pression en tout point extérieur à la région comprise entre les navires est la même qu’en A.
Déterminer alors la force F G , perpendiculaire aux navires, qui s’exerce sur chaque bateau. Les points C et C’ sont symétriques par rapport à B.
2.4. Justifier qu’elle tend à les rapprocher l’un de l’autre. On négligera les forces s’exerçant aux voisinages des dièdres terminaux.
On donne : µ = 1000 kg/m3 , L = 50 m, h = 3 m, v = 5 m/s, d = 20 m et D = 25 m.
3. Risques encourus lors d’une transfusion sanguine Lors d’une perfusion (ou transfusion), la solution passe du flacon dans le vaisseau sanguin sous l’effet de la gravité. Le dispositif comprend généralement un tuyau et un
cathéter (aiguille).
Les flacons en verre présentent l’avantage d’une excellente innocuité chimique mais nécessitent la mise en place d’une entrée d’air.
Il faut que la pression à la sortie du cathéter soit suffisante pour réaliser la perfusion ou la transfusion, d’où l’intérêt de suspendre le bocal (ou la poche) à une certaine hauteur. Il est aussi important que le débit soit bien adapté.
Pour simplifier l’étude, on suppose dans un premier temps que le cathéter a le même diamètre que le tuyau et que la sortie du cathéter est dans l’air.
Ce dernier n’est donc pas implanté dans la veine du
patient. L’aérateur permet de maintenir une pression égale à la pression atmosphérique dans le flacon en permettant le contact en entre l’air ambiant et l’air dans le flacon.
3.1. Le sang s’écoule à travers le tuyau. En utilisant l’équation de Bernoulli, établir la relation
P(h) = Patm - ρgh, relation entre la pression P(h) dans le tuyau à une hauteur quelconque h et la pression atmosphérique Patm,.
3.2. Comment varie la pression le long du tuyau ? Expliquer comment peut survenir une embolie gazeuse lors d’une transfusion.
3.3. On appelle h1, la hauteur entre la surface libre du sang et le cathéter. Écrire l’équation de Bernoulli en considérant les points d’altitude h = 0 et h = h1.
3.4.
a)Expliquer pourquoi l'on peut négliger la vitesse du sang au niveau de la surface libre du sang dans le flacon.
b)En déduire la relation vérifiée par le débit volumique dans le tuyau noté Qv
3.5. D’après la relation précédente, il est possible d’agir sur deux paramètres pour accroître le débit volumique du sang au cours de la transfusion. En argumentant, indiquer le moyen à privilégier pour accroître le débit tout en limitant le risque d’embolie gazeuse.
4. Siphon
On considère un siphon de diamètre d=10 mm alimenté par un réservoir d’essence de grandes dimensions par rapport à d et ouvert à l’atmosphère. On suppose que :
- le fluide est parfait.
- le niveau du fluide dans le réservoir varie lentement.
- l’accélération de la pesanteur g=9.81 m.s-2.
- le poids volumique de l’essence:ϖ = 6896 N . m-3. - H=ZA–ZS =2,5 m.
4.1) En appliquant la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant que l'on traceraventre les points A et S, calculer la vitesse d’écoulement VS
dans le siphon( VA négligeable devant <VS)
4.2) En déduire le débit volumique DV.
4.3) Donner l’expression de la pression PB au point B en fonction de h, H, ϖ et Patm. Faire une application numérique pour h=0.4 m.
4.4) h peut elle prendre n’importe quelle valeur ? Justifier votre réponse.
5. Conduite forcée d'une centrale hydraulique
La centrale hydraulique est alimentée par une conduite d’eau cylindrique de diamètre constant D , dite conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce barrage est suffisamment
importante pour que l’on considère l’eau qu’il contient comme immobile. L’extrémité aval de la conduite, notée A, est reliée à une tubulure de section décroissante, appelée injecteur.
L’axe vertical repérant l’altitude z est orienté vers le haut. L’altitude du point A est, par convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre de l’eau et l’axe de l’injecteur et h la différence de niveau entre l’entrée de la conduite et la sortie, en A (la différence de niveau entre la surface libre et l’entrée de la conduite est donc h H h ).
L’eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique ; elle sort de l’injecteur à l’air libre, sous la pression atmosphériqueP0, supposée indépendante de l’altitude.
Le jet est cylindrique d’axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite puis d dans l’injecteur. Ce jet frappe la turbine et l’anime d’un mouvement de rotation. On considère les écoulements comme permanents et la vitesse et la pression sont uniformes sur toute section droite . On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l’altitude de l’accélération de la pesanteur g.
5.1- On suppose que l’extrémité aval de la conduite n’est pas reliée à l’injecteur ; l’eau sort à l’air libre au point A. En justifiant l’utilisation de la relation de Bernoulli entre le point A et
un point quelconque de la canalisation et en considérant la conservation du débit, exprimer la pression P z1
à l’intérieur de la conduite sous la forme1
00
1 z P z P
z
, avec 0 P0 z g . a) Calculer z0.
b) La pression de vapeur saturante de l’eau à la température ambiante est Psat 3 10 Pa3 .Montrer qu’au-delà d’une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression n’est plus applicable.
Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes sortes de perturbation (attaque des matériaux, bruits …).
5.2 – Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale horizontale de la conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de diamètre de sortie d D. on suppose que l’extrémité aval de la conduite n’est pas reliée à l’injecteur ; l’eau sort à l’air libre au point A. En justifiant l’utilisation de la relation de Bernoulli entre le point A et un point quelconque de la canalisation et en considérant la conservation du débit, exprimer la pression P z1
à l’intérieur de la conduite sous la forme1
00
1 z P z P
z
, avec 0 0
z P
g
.
Calculer z0.
La vitesse en sortie de l’injecteur, notée c, est c 2gH . Calculer c.( résultat admis) Établir que la vitesse en A est
2
2 .
V d gH
D
Préciser la relation utilisée.
5.3- En utilisant la relation de Bernoulli entre A et C, déterminer l'expression de la pression en A.
5.4 –Reprendre le raisonnement de la question 1 et montrer que la pression P(z) à l'intérieur de la conduite munie d’injecteur s'écrit
5.5-On admet que l'entrée de la conduite est pratiquement à l’altitude H. Montrer que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si dest inférieur à un certain d0
dont on établira l’expression en fonction de D,P0, H, g et . Vérifier que d0 26 cm.
6. Régime fluvial , régime torrentiel d'un canal
Le canal, à fond horizontal, est rectiligne sur une grande longueur. Il possède une section
rectangulaire de largeur L et de profondeur h. L’écoulement est stationnaire et parfait et sa vitesse v est uniforme sur toute section droite.
6.1. Exprimer le débit volumique D à travers une section du canal en fonction de L, h et v.
6.2. En utilisant la relation de Bernoulli au voisinage d'une ligne de courant bien choisie , montrer que la quantité : h+ v2
2g est une constante le long du canal. On la notera h0. 6.3.
a)Exprimer D en fonction de h, g, L et h0. Pour L et h0 fixées
b)On donne l’allure de la courbe de D en fonction de h.
Préciser la valeur maximale Dmax et la hauteur critique hC
h Air libre
correspondante.
6.4. On se place dans le cas où D < Dmax . Il existe deux valeurs possibles h1 et h2 de h, avec h1 < hC < h2 < h0.
Quelle hauteur correspond au régime torrentiel? au régime fluvial?( On s'aidera de l'image ci- dessous)
