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Exercices - Centre de masse
Centre de masse d'une barre homogène
On néglige les autres dimensions devant la longueur de telle manière que la masse m vaut : L
. m=ρ On applique la relation suivante :
Calculez
Centre de masse d'une surface triangulaire
Le centre de gravité d’un solide homogène est donné par : V OG OAdv
v
∫∫∫
i=
avec V = Volume du solide a
y = a - x
x dx a
z r
O
L z dz
dl . OA OG
. L
L
∫
i=
O
Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 2/4 L'épaisseur étant constante, on peut écrire :
S OG OA ds
s
∫∫
i=
avec S = Surface de la plaque triangulairex . x OA
ir
=
Calculer ds Calculez
S OG . x v
et en déduire xG
Centre de masse d'une plaque chanfreinée et percée d’un trou
Appelons S1 la plaque rectangulaire de dimensions L x l , S2 le cercle de rayon R dont le centre a pour coordonnées (a,b) et S3 le triangle de coté c
On cherche les coordonnées du centre de gravité G de la plaque.
On applique les définitions suivantes :
∑
∑
∑
∑
==
i i i G
i i i
G m
y y m
m et x x m
Avec M = masse totale du système =
∑
m iCalculez la masse M , puis xG et yG
A.N. L = 150 , l = 90 a = 120 , b = 60 , c = 30, R = 15
a
c c
b yr
G G
y
G x
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Centre de masse d'un secteur circulaire
Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d'angle (en radian) et de rayon :
Calculez la surface de l’élément de surface
Le centre de gravité d’un solide homogène est donné par :
V OG OA dv
v
∫∫∫
i=
avec V = Volume du solide
L'épaisseur étant constante, on peut écrire :
S OG OA ds
s
∫∫
i=
avec S = Surface de la plaqueLa position du centre de gravité de l'élément de surface ds est donné par :
z . sin . r x . cos . r
OA
ir r
θ +
θ
=
Si α=π alors .R2 2
S= 1π ; Calculez S en fonction de α et de R
donc : =
∫∫
θ +∫∫
θs s
z . ds . sin . r x . ds . cos . r OG
S r r
Faites le calcul de S OG en séparant chaque intégrale double en deux, la première avec les termes en r et dr puis la seconde avec les termes en θ et dθ
En déduire OG
Définir OG pour une plaque ayant la forme d’un quart de cercle :
Exercices-Centre-De-Gravite.docx Page 4/4 Vérifiez avec le théorème de Guldin
Centre de masse d'un cône
Calculez l’élément de masse dm = f(ρ,z,dz,R,h)
Calculez la masse m = f(ρ,R,h) ; on donne
3 h R V .
π 2
= et
OP z . z r
=
Calculez OG en fonction de h
Soit un cône de révolution d’axe z , d’angle au somment 2α ayant une masse m.
Le centre de gravité G est défini par :
dm . m OP OG 1
P
= ∫
Ecrire la relation liant l’angle α , r , z , R et h En déduire la relation r = f( z,R,h)
pour 2
=π
α , la surface est un quart de cercle de surface S.
Par rotation autour de l'axe zr
, le volume engendré est une demi-sphère de volume V.
Calculez S et V.
Le second théorème de Guldin nous donne la relation : rG
. S . . 2
V= π où rG est la distance du centre de gravité du quart de cercle par rapport à l'axe zr
. En déduire rG
