Feuille d’exercices 6

U.P.N - Sup Galil´ee Ann´ee scolaire 2011-2012 Formation Ing´enieurs

Harmonisation Math´ematiques

Feuille d’exercices 6

Calcul matriciel et r´eduction

Exercice 1

Calculer par des m´ethodes adapt´ees les inverses des ma- trices ci-dessous :

A=

2 3 1 −1

, B=





1 0 1

1 3 0

0 −1 1



,

C=









1 a 0 0

0 1 a 0

0 0 1 a

0 0 0 1









, a∈R.

Exercice 2

Soit f ∈ L(R²) tel quef(e1) =−e2 et f(e2) =e1−2e2

o`uC={e1, e2} d´esigne la base canonique deR². 1. ExpliciterA=M_C(f).

2. SoitBune autre base deR² donn´ee par B=

1

−1

, 1

0

.

Donner la matrice de passage P de C `a B. Calculer B =MB(f), en utilisant la matrice de passageP.

3. Calculer B²,B³ puisBⁿ (n∈N) par r´ecurrence. En d´eduireAⁿ.

4. Expliciter f

x y

, fⁿ

x y

, fⁿ(e₁) et fⁿ(e₂),

pour n∈Net (x, y)∈R².

Exercice 3

SoitEun espace vectoriel rapport´e `a la baseB={e1, e2} et soitfdansL(E) telle quef(e1) =−e2etf(e2) =−e1. 1. Trouver les valeurs propres et une base de vecteurs propres pourA=M_B(f).

2. DiagonaliserA.

Exercice 4

Soient f ∈ L(R³) etBc la base canonique deR³. Soit la matrice

A=M_Bc(f) =





0 1 0

0 −1 0

−1 −1 −1



.

1. Trouver les valeurs propres et une base de vecteurs propres pourA.

2.Diagonaliser A. En d´eduireAⁿ pourn∈N.

Exercice 5

Diagonaliser la matrice

A=





2 −1 −7

0 1 −1

0 2 −2



.

Exercice 6

On consid`ere la matriceA= ⁻¹₃ ⁻²₄ .

1.CalculerA²−3A+I. En d´eduire queAest inversible et donner son inverse.

2. Pourn≥3, d´eterminer le reste de la division euclidi- enne deXⁿ parX²−3X+ 2.

3.En d´eduire l’expression de la matriceAⁿ.

Exercice 7

Soient (un) et (vn) les suites r´eelles d´efinies par r´ecurrence par les formules

u0 = 2 v0 =−1 et

un+1 = 2un + 3vn

vn+1 = un + 4vn

, ∀n∈N.

1.Pour toutnentier, on pose

Xn = un

vn

.

D´eterminer une matriceAtelle queX_n+1=AX_n. 2. En utilisant une r´ecurrence, exprimerX_n en fonction deX₀ et deA.

3.CalculerAⁿ pour tout entiern≥1.

3. Donner une expression de un et devn en fonction de n∈N.

1

Exercice 8

Soit la matrice M ∈ M3(R) d´efinie par

M =





0 1 0

−3 2 −2

1 −1 1



.

1. Ecrire´ M sous la formeM =I3+N o`uN ∈ M3(R).

2. CalculerN²,N³ puisNⁿ pour toutn≥4.

3. En d´eduire l’expression deMⁿ, pour toutn∈N^∗. 4. On consid`ere les suites r´eelles (x_n)_n∈N, (y_n)_n∈N et (zn)n∈Nd´efinies par :

x₀ y0 z₀

=₁

0 0

et∀n∈N,







xn+1 = yn

yn+1 = −3xn+ 2yn−2zn

zn+1 = xn−yn+zn

En utilisant les questions pr´ec´edentes, donner les expres- sions dexn,yn et zn en fonction de l’entiern.

Exercice 9

Soit f l’endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique est

M =





2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2



.

1. D´eterminer Kerf et Imf. Montrer que ce sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deR³.

2. Construire une base de R³ qui soit la r´eunion d’une base de Kerf et d’une base de Imf. Donner la matrice def dans cette nouvelle base.

3. Montrer que f est la compos´ee de deux endomor- phismes simples deR³.

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