Corrigé du contrôle continu 2015/2016

ISCAE SAE3 2015-2016 Sidi Mohamed Maouloud

Contrôle continu Econométrie 2

Exercice 1.

On désire modéliser une variable w à l’aide de 3 variables x, y, et z. Pour ce faire, on dispose de 60 observations. On tente d’ajuster par régression divers modèles et l’on obtient les résultats suivants :

Modèle Equation SCR

A 𝑤 = 𝑏₀+ 𝜖 70

B 𝑤 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑦 + 𝜖 20 C 𝑤 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑦 + 𝑏₃𝑧 + 𝜖 10 D 𝑤 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑧 + 𝜖 13

1. Quel modèle devrait-on retenir? Indiquez vos calculs et faites les tests nécessaires.

2. Que vaut le R2 de ce modèle ? Solution

1.

- Test de A contre B On a 𝐹 =⁶⁰⁻²⁻¹

2

𝑆𝐶𝑅_𝑟−𝑆𝐶𝑅_𝑐

𝑆𝐶𝑅_𝑐 =⁶⁰⁻²⁻¹

2

70−20

20 = 142.5 et 𝑓_0.95,2,57 = 3.16 donc le test est significatif et on choisit le modèle B

- Test de B contre C On a 𝐹 =⁶⁰⁻³⁻¹

1

𝑆𝐶𝑅_𝑟−𝑆𝐶𝑅_𝑐

𝑆𝐶𝑅_𝑐 =⁶⁰⁻³⁻¹

2

20−10

10 = 27 et 𝑓_0.95,1,56 = 4.01 donc le test est significatif et on choisit le modèle C

- Test de D contre C On a 𝐹 =⁶⁰⁻³⁻¹

2

𝑆𝐶𝑅_𝑟−𝑆𝐶𝑅_𝑐

𝑆𝐶𝑅_𝑐 =⁶⁰⁻³⁻¹

2

13−10

10 = 8.1 et 𝑓_0.95,2,56 = 3.16 donc le test est significatif et on choisit le modèle C

Donc finalement le meilleur est le modèle C 2. Le 𝑅² de ce modèle vaut

𝑅²= 1 −𝑆𝐶𝑅

𝑆𝐶𝑇= 1 −10

70= 0.86

car la somme des carrés totale est égale à la somme des carrés des résidus du modèle sans variable (modèle A)

Exercice 2.

On estimer le modèle 𝑧 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝑥 + 𝑏₂𝑦 + 𝜖. Pour ce faire on dispose de la matrice de variances- covariances suivante :

𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 8 −6 −1 𝑥 −6 8 1 𝑦 −1 1 4

De plus on a 𝑧 = 𝑥 = 𝑦 = 0 et on dispose de 30 observations pour l’estimation du modèle.

1. Estimer les paramètres du modèle 2. Calculer le 𝑅² du modèle

3. Déterminer selon le critère de Klein s’il y a un problème de multi colinéarité. Détailler vos calculs 4. Calculer le coefficient de corrélation 𝑟_𝑧,𝑥. Est-il significatif ? détailler les différents éléments du

test

ISCAE SAE3 2015-2016 Sidi Mohamed Maouloud 5. Calculer le coefficient de corrélation partielle 𝑟_{𝑧,𝑥|𝑦}. Est-il significatif ? détailler les différents

éléments du test

6. Calculer les facteurs d’inflation de la variance Solution

1. On sait que 𝑏 ₁ 𝑏 2

= 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1 𝜎𝑋𝑍

𝜎_𝑌𝑍 = 8 1 1 4

−1 −6

−1 = 1 31

4 −1

−1 8 −6

−1 = 1 31

−23

−2 Et que 𝑏 ₀= 𝑧 − 𝑏 ₁𝑥 − 𝑏 ₂𝑦 = 0 car 𝑧 = 𝑥 = 𝑦 = 0

Don on a 𝑏 ₀ = 0, 𝑏 ₁= −0.74 et 𝑏 ₂= −0.06 2. On a

𝑆𝐶𝐸 = ^𝑛_𝑖=1 𝑧 _𝑖− 𝑧 ²= ^𝑛_𝑖=1 𝑧 _𝑖 ² car 𝑧 = 0

= ^𝑛_𝑖=1 𝑏 ₁𝑥_𝑖+ 𝑏 ₂𝑦_𝑖 ² = 𝑏 ₁^{2 𝑛}_𝑖=1𝑥_𝑖²+ 𝑏 ₂^{2 𝑛}_𝑖=1𝑦_𝑖²+ 2𝑏 ₁𝑏 ₂ ^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖𝑦_𝑖 = 𝑛 𝑏 ₁²𝜎_𝑋²+ 𝑏 ₂²𝜎_𝑦²+ 2𝑏 ₁𝑏 ₂𝜎_𝑥𝑦 car 𝑥 = 𝑦 = 0

= 𝑛 𝑏 ₁ 𝑏 ₂ 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦² 𝑏 ₁

𝑏 ₂ Or 𝑏 ₁

𝑏 ₂ = 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1 𝜎_𝑋𝑍

𝜎_𝑌𝑍 , ce qui implique que

𝑆𝐶𝐸 = 𝑛 𝜎𝑋𝑍 𝜎_𝑌𝑍 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌

𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦² 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1 𝜎_𝑋𝑍

𝜎_𝑌𝑍 car la matrice 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌

𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1

est symétrique. Ainsi

𝑆𝐶𝐸 = 𝑛 𝜎𝑋𝑍 𝜎_𝑌𝑍 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎𝑋𝑌 𝜎𝑦2

−1 𝜎_𝑋𝑍 𝜎_𝑌𝑍 De plus 𝑆𝐶𝑇 = 𝑛𝜎_𝑧².On a donc

𝑅²=𝑆𝐶𝐸 𝑆𝐶𝑇=

𝑛 𝜎𝑋𝑍 𝜎_𝑌𝑍 𝜎_𝑋² 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑋𝑌 𝜎_𝑦²

−1 𝜎_𝑋𝑍 𝜎_𝑌𝑍

𝑛𝜎_𝑧² = −6 −1 4 −1

−1 8

−1 −6

−1

8 = 0.66

3. On a 𝑟_𝑥𝑦 = ^𝜎𝑋𝑌

𝜎_𝑋𝜎_𝑌 et 𝑟_𝑥𝑦² = ^{𝜎𝑋𝑌2}

𝜎_𝑋²𝜎_𝑌² = ¹

8∗4= 0.03 et 𝑅²= 0.66 donc d’après le critère de Klein il n’y a pas de problème de multicolinéarité.

4. On a 𝑟_𝑧𝑥 = ^𝜎𝑋

𝜎_𝑋𝜎_𝑧= ⁻⁶

8∗8= −0.75. La statistique de test associée est 𝐹 = ^{𝑛−2 𝑟𝑥𝑧2}

1−𝑟_𝑥𝑧² = 36 et le seuil théorique associé est 𝑓_0.95,1,28 = 4.2. Donc ce coefficient de corrélation est significatif.

5. On a

𝑉 𝑧

𝑥 |𝑦 = 𝑉 𝑧

𝑥 − 𝐶𝑜𝑣 𝑧

𝑥 , 𝑦 𝑉 𝑦 ⁻¹𝑐𝑜𝑣 𝑦 ,𝑧 𝑥 = 8 −6

−6 8 − −1

1 4 ⁻¹ −1 1 = 8 −6

−6 8 − 1/4 −1/4

−1/4 1/4 = 7.75 −6.25

−6.25 7.75 Donc 𝑟_{𝑧𝑥 |𝑦} = ^−6.25

7.75∗7.75= −0.81

ISCAE SAE3 2015-2016 Sidi Mohamed Maouloud La statistique du test de significativité de ce coefficient est 𝐹 = ^{𝑛−3 𝑟𝑧𝑥 |𝑦}

2

1−𝑟_{𝑧𝑥 |𝑦}² =51.5 et le seuil théorique est 𝑓_0.95,1,27 = 4.21. Donc ce coefficient de corrélation partielle est significatif

Exercice 3.

Une entreprise cherche à savoir si la relation entre ses ventes et ses dépenses publicitaires a changé à partir du 3^er trimestre de 1999. Pour cela elle dispose de l’historique de ventes et de dépenses publicitaires du 1^er trimestre de 1997 au dernier de 2001. On dispose des résultats suivants

1997q1 à 2001q4 1997q1 à 1999q2 1999q3 à 2001q4

Variable Coefficient

C 104.8959

PUB 1.298215

Sum squared resid 67326.91

Variable Coefficient

C 140.0627

PUB 0.539987

Sum squared resid 16080.20

Variable Coefficient

C -434.3478

PUB 8.050096

Sum squared resid 38675.58 1. Quel test doit-on effectuer? Expliquer de façon détaillée ce test

2. Effectuer ce test et conclure par rapport à la question posée

Solution.

1. On doit utiliser un test de stabilité de Chow. On pose 𝑎₀¹ et 𝑎₁¹ les coefficients du modèle sur la période 1, 𝑎₀² et 𝑎₁² les coefficients du modèle sur la période 2. Ce test a pour hypothèse

𝐻₀∶ 𝑎₀¹= 𝑎₀² 𝑒𝑡 𝑎₁¹= 𝑎₁² 𝐻₁∶ 𝑎₀¹≠ 𝑎₀² 𝑜𝑢 𝑎₁¹ ≠ 𝑎₁² La statistique de test est

𝐹 =𝑛 − 2𝑝 − 2 𝑝 + 1

𝑆𝐶𝑅 − 𝑆𝐶𝑅₁− 𝑆𝐶𝑅₂ 𝑆𝐶𝑅₁+ 𝑆𝐶𝑅₂

Avec n le nombre d’observations sur toute la période p le nombre de variables explicative, 𝑆𝐶𝑅, 𝑆𝐶𝑅₁ 𝑒𝑡 𝑆𝐶𝑅₂ sont les sommes des carrés des résidus resp pour toute la période, pour la période 1 et pour la période 2.

On rejette 𝐻₀, au seuil 𝛼 si 𝐹 > 𝑓1−𝛼;𝑝+1,𝑛−2𝑝−2

2. On a

𝐹 =16

2 67326.91 − 16080.20 − 38675.58

16080.20 + 38675.58 = 1.84

Et 𝑓_0.95;2,16 = 3.63. Donc le test n’est significatif. Les données ne permettent pas de conclure à une instabilité des coefficients du modèle.