Corrig´ es des exercices

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Exercices de Math´ematiques

Projections et sym´etries vectorielles Enonc´´ es

Enonc´ ´ es des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes deE.

Montrer que sif etg commutent, alors Kerf et Imf sont stables par g.

Prouver que sif est un projecteur alors la r´eciproque est vraie.

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient pet q deux projecteurs de E.

Montrer que p+q est un projecteur de E ⇔p◦q =q◦p= 0.

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient pet q deux projecteurs de E.

Montrer que pet q ont mˆeme noyau ⇔p=p◦q etq =q◦p.

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit pun projecteur non nul de E.

Montrer que l’applicationfλ = Id +λp est injective ⇔ λ6=−1.

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel sur IK.

D´eterminer les couples (f, g) d’endomorphismes de E tels que :

f ◦g =f g◦f =g

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(2)

Projections et sym´etries vectorielles Indications, r´esultats

Indications ou r´ esultats

Indication pour l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]

Pour la r´eciproque, d´ecomposer u∈E en en u=f(v) +w, avec v ∈E et w∈Kerf.

V´erifier alors que (g◦f)(u) = (f ◦g)(u).

V´erifier quep+q est un projecteur si et seulement sip◦q+q◦p= 0.

Composer cette relation par p`a gauche, puis par p `a droite.

– V´erifier par exemple que p=p◦q⇒Kerq ⊂Kerp

– Si Kerp= Kerq, d´ecomposer u deE en u=v+w, avec v ∈Imq et w∈Kerq.

En d´eduire (p◦q)(u) =p(u).

D´ecomposeru∈E en u=v+w, avec v ∈Imp etw∈Kerp.

V´erifier quefλ(u) =−→ 0 ⇔

λ =−1 w =−→

0 ou

λ6=−1 u=−→

0

Indication pour l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ] Se donner un couple solution (f, g).

Montrer que f etg sont des projections vectorielles ayant mˆeme noyau.

Montrer que la r´eciproque est vraie.

(3)

Projections et sym´etries vectorielles Corrig´es

Corrig´ es des exercices

Corrigé de l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]

– Soitu dans Kerf. On a f(g(u)) = (f ◦g)(u) = (g◦f)(u) =g(f(u)) = g(−→ 0 ) =−→

0 . Ainsi g(u) appartient `a Kerf : le sous-espace Kerf est donc stable parg.

– Soitv un ´el´ement de Imf. Il existe udans E tel que v =f(u).

On en d´eduit queg(v) = g(f(u)) = (g◦f)(u) = (f ◦g)(u) =f(w), avec w=g(u).

Ainsi g(v) appartient `a Imf : le sous-espace Imf est donc stable par g.

– On suppose quef est un projecteur, et que Imf et Kerf sont stables par g.

Soit u un ´el´ement quelconque de E. Il s’agit de prouver que (f ◦g)(u) = (g◦f)(u).

On sait que E = Imf⊕Kerf, et que Imf = Invf.

Il existe doncv dans dans E etw dans Kerf tel que u=f(v) +w.

On en d´eduitf(u) =f²(v) +f(w) =f(v) +−→

0 =f(v) (on a utilis´e f² =f.) Ainsi (g◦f)(u) =g(f(v)). D’autre part, g(u) =g(f(v) +w) = g(f(v)) +g(w).

w est dans Kerf, qui est stable par f. Ainsi w⁰ =g(w)∈Kerf, donc f(g(w)) = −→ 0 . Le vecteur f(v) est dans Imf, donc dans Invf, qui est stable par g.

On en d´eduit quev⁰ =g(f(v)) est invariant par f.

Il en d´ecoule que (f◦g)(u) =f(v⁰) +f(w⁰) =v⁰ =g(f(v)) = (g◦f)(u).

Conclusion : les applications f et g commutent.

L’applicationp+q est lin´eaire. C’est donc un projecteur si et seulement si (p+q)² = 0.

Or (p+q)² = (p+q)◦(p+q) = p²+p◦q+q◦p+q² =p+p◦q+q◦p+q.

Ainsip+q est un projecteur si et seulement sip◦q+q◦p= 0.

Il est clair que cette condition est r´ealis´ee si p◦q=q◦p= 0.

R´eciproquement, il reste `a prouver qu’on a l’implicationp◦q+q◦p= 0⇒

p◦q = 0 q◦p= 0 On compose p◦q+q◦p= 0 parp `a gauche en utilisant p◦p=p.

On en d´eduit : p◦q+p◦q◦p= 0.

On compose p◦q+q◦p= 0 parp `a droite en utilisantp◦p=p.

On en d´eduit : p◦q◦p+q◦p= 0.

Par diff´erence des deux r´esultats obtenus, on trouvep◦q−q◦p= 0.

Compte tenu de p◦q+q◦p= 0, on trouve bien p◦q=q◦p= 0.

Conclusion : si p, q sont deux projecteurs, p+q est un projecteur⇔p◦q=q◦p= 0.

(4)

Projections et sym´etries vectorielles Corrig´es

Corrigé de l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ] – Supposons p=p◦q et q=q◦p.

L’´egalit´e p=p◦q implique Kerq⊂Kerp(si q(u) =−→

0 , alors p(u) =p(q(u)) =p(−→ 0 ) =−→

0 .) De la même manière, L’égalité q=q◦p implique Kerp⊂Kerq.

L’hypoth`ese implique donc Kerp= Kerq.

– R´eciproquement, on suppose que Kerp= Kerq.

Par symétrie du problème, il suffit de prouver que p=p◦q. Soit u un élément deE.

Le vecteur u se d´ecompose en u=v+w, avec v dans Imq = Invq etw dans Kerq = Kerp.

On a alors (p◦q)(u) =p(q(v)

|{z}

=v

) +p(q(w)

| {z }

=0

) = p(v) =p(v) +p(w)

| {z }

=0

=p(v+w) =p(u).

On a ainsi prouvé, l’égalitép◦q =p (ce qui achève la démonstration).

Soit uun vecteur de E, d´ecompos´e en u=v+w, avec v dans Imp= Invpet w dans Kerp.

On afλ(u) = u+λp(u) =v +w+λv= (1 +λ)v+w.

Doncf_λ(u) =−→ 0 ⇔

(1 +λ)v =−→ 0 w =−→

0

⇔

λ=−1 w=−→

0 ou

λ6=−1 u=−→

0 – Si λ6=−1 alors f_λ est injective car son noyau est r´eduit `a{−→

0}.

– Si λ=−1 alors Ker (f_λ) = Imp6={−→

0} car pn’est pas l’application nulle.

Dans ce cas fλ n’est pas injective.

Soit (f, g) un tel couple d’endomorphismes de E (il en existe, par exemple f =g = 0.)

On constate que f² = (f◦g)◦f =f◦(g◦f) =f ◦g =f et de même g² =g (les applications f etg jouent le même rôle) : f et g sont donc des projections vectorielles.

Maisf ◦g =f ⇒Kerg ⊂Kerf, et par sym´etrie Kerf ⊂Kerg.

Supposons r´eciproquement que f etg soient deux projecteurs de mˆeme noyau.

– Si xest un ´el´ement de Kerf = Kerg, alors (f◦g)(x) = −→

0 =f(x).

– Si xest ´el´ement de Img = Invg, alors (f ◦g)(x) =f(g(x)) = f(x).

Ainsi les applications linéaires f ◦g et g sont égales sur Kerg et sur Img : elles le sont donc sur Kerg⊕Img =E. On en déduit que f◦g =f, et par symétrie g◦f =g.

Conclusion : les solutions sont les couples (f, g) de projecteurs ayant le mˆeme noyau.