Exercices de Math´ematiques
Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (I) Enonc´´ es
Enonc´ ´ es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que la famillea= (9,−3,7), b = (1,8,8), c= (5,−5,1) est li´ee.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Peut-on d´eterminer λ et µ dans IR tels que le vecteur u = (−2, λ, µ,3) appartienne au sous- espace vectoriel de IR4 engendr´e par a= (1,−1,1,2) et b = (−1,2,3,1) ?
Mˆeme question avecu= (λ,1, µ,1), a= (1,2,3,4), etb = (1,−2,3,−4).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Dans l’espace vectoriel de toutes les applications de IR dans IR, montrer que la famille form´ee des applications fλ :x7→expλx (avecλ ∈IR) est libre.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que la famille form´ee des applicationsfλ :x7→cosλx (avec λ∈IR+) est libre.
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Exercices de Math´ematiques
Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (I) Indications, r´esultats
Indications ou r´ esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ] On trouve 3a−2b−5c=−→
0 .
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Le vecteur uest dans le plan engendr´e par a, bsi et seulement si λ= 13
3 et µ= 22 3 . Si
a = (1,2,3,4)
b = (1,−2,3,−4) le vecteur u= (λ,1, µ,1) n’est jamais dans le plan engendr´e par a, b.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ] Supposer que P
λ∈IR
αλfλ = 0, o`u la famille (αλ)λ∈IR est `a support fini.
Si lesαλ ne sont pas tous nuls, consid´erer leλ0 maximum tel que αλ0 6= 0.
Multiplier par exp(−λ0x) et faire tendre x vers +∞.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Se ramener `a un sous-famille finie fλk (o`uλ1, λ2, . . . , λn sont distincts deux `a deux.) Proc´eder ensuite par r´ecurrence surn ≥1.
Dans le passage du rang n au rangn+ 1, utiliser une double d´erivation.
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Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (I) Corrig´es
Corrig´ es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ] On doit trouver (α, β, γ)6=−→
0 tel que αa+βb+γc= 0.
αa+βb+γc=−→
0 ⇔α(9,−3,7) +β(1,8,8) +γ(5,−5,1) =−→ 0 ⇔
9α+β+ 5γ = 0 3α−8β+ 5γ = 0 7α+ 8β+γ = 0
⇔
9α+β+ 5γ = 0 6α+ 9β = 0 26α+ 39β = 0
⇔
9α+β+ 5γ = 0 2α+ 3β = 0
Ce syst`eme admet des solutions non nulles parmi lesquellesα = 3, β =−2, γ =−5.
On a donc 3a−2b−5c=−→
0 : la famille a, b, cest li´ee.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On r´esout u=xa+yb, d’inconnues x, y, de param`etres λ, µ.
u=xa+yb ⇔(−2, λ, µ,3) =x(1,−1,1,2) +y(−1,2,3,1)⇔
x−y =−2
−x+ 2y=λ x+ 3y=µ 2x+y= 3
⇔x= 1
3, y = 7
3, λ= 13
3 , µ= 22 3
Le vecteur uest donc dans le plan engendr´e par a, bsi et seulement si λ= 13
3 et µ= 22 3 . Dans le cas o`u u= (λ,1, µ,1), a= (1,2,3,4), et b= (1,−2,3,−4), la r´eponse est n´egative.
En effet a etb sont dans l’hyperplanH ={w= (x, y, z, t), t = 2y}.
Il en est donc de mˆeme de leurs combinaisons lin´eaires.
Or u= (λ,1, µ,1) n’est jamais dansH. Il ne peut donc ˆetre dans le plan engendr´e par a, b.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On se donne une famille (αλ)λ∈IR `a support fini. On suppose que P
λ∈IR
αλfλ = 0.
On suppose par l’absurde que lesαλ ne sont pas tous nuls.
La famille des αλ ´etant `a support fini, il existe un λ0 maximum tel que αλ0 6= 0.
L’´egalit´e P
λ∈IR
αλfλ = 0 devient alorsαλ0fλ0 =− P
λ<λ0
αλfλ. Autrement dit :∀x∈IR, αλ0exp(λ0x) = − P
λ<λ0
αλexp(λx).
En multipliant par exp(−λ0x) on obtient : ∀x∈IR, αλ0 =− P
λ<λ0
αλexp((λ−λ0)x).
Dans cette somme (finie) on a toujoursλ−λ0 <0.
Quand on fait tendre x vers +∞ on trouve donc αλ0 = 0, ce qui est absurde.
Conclusion : la famille des (fλ)λ∈IR est une famille libre.
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Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (I) Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il revient au mˆeme de prouver que toute sous-famille finie form´ee de n fonctions fλk (o`u λ1, λ2, . . . , λn sont distincts deux `a deux dans IR+) est libre.
On proc`ede par r´ecurrence surn ≥1.
C’est vrai si n= 1 car fλ n’est pas la fonction nulle.
Soit n un entier ≥1. On suppose que la propri´et´e est vraie si n ≥1.
On se donne doncλ1, . . . , λn, λn+1 distincts deux `a deux dans IR+. Soient α1, . . . , αn+1 tels que
n+1
P
k=1
αkfλk = 0.
On d´erive deux fois et on obtient
n+1
P
k=1
λ2kαkfλk = 0.
Par combinaison des deux ´egalit´es on trouve :
n
P
k=1
µkαkfλk = 0 avec µk =λ2k−λ2n+1. On en d´eduit µ1α1 =· · ·=µnαn = 0 en utilisant l’hypoth`ese de r´ecurrence.
Maisµ1, . . . , µn sont non nuls. Donc α1 =· · ·=αn = 0.
L’´egalit´e
n+1
P
k=1
αkfλk = 0 donne alors αn+1 = 0.
On a ainsi d´emontr´e la propri´et´e au rang n+ 1, ce qui ach`eve la r´ecurrence.
Conclusion : la famille des (fλ)
λ∈IR+ est une famille libre.
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