Exercices de Math´ematiques
Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (II) Enonc´´ es
Enonc´ ´ es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soit u1, u2, . . . , un une famille de n vecteurs de E.
On d´efinit les vecteursvk=u1+· · ·+uk, pour k compris entre 1 et n.
Montrer que (u) est libre (resp. g´en´eratrice) ⇔ il en est de mˆeme de (v).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A, B deux polynˆomes de IK[X], non constants, et premiers entre eux.
Soit n dans IN. Montrer que les Pk =AkBn−k (avec 0≤k ≤n) forment une famille libre.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient α etβ deux scalaires disctincts. Soit n un entier naturel.
Montrer que lesPk = (X−α)k(X−β)n−k, o`u 0≤k ≤n, forment une base de IKn[X].
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c trois r´eels quelconques.
Montrer que fa :x7→sin(x+a),fb :x7→sin(x+b) et fc :x7→sin(x+c) sont li´ees.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E l’espace vectoriel de toutes les applications de IR dans IR.
On note fk :x7→ |x−k|. Montrer que la famille (f1, f2, . . . , fn) est libre.
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Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (II) Indications, r´esultats
Indications ou r´ esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Les vecteursvk sont combinaisons lin´eaires des uk, et r´eciproquement.
2. Exprimer une combinaison lin´eaire quelconque des uk sous la forme d’une combinaison lin´eaire des vk, et r´eciproquement.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ] Supposer qu’il existen+ 1 scalaires non tous nuls tels que
n
P
k=0
λkPk= 0.
Consid´erer l’indice k0 minimum tel que λk0 soit non nul.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ] Utiliser l’exercice pr´ec´edent.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ] Exprimerfa, fb, fc en fonction dex7→sinx et de x7→cosx.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ] Supposer qu’il existe (λ1, . . . , λn)6=−→
0 tel que que
n
P
k=1
λkfk = 0 (1).
Consid´erer l’indice r maximum tel que λr 6= 0. Se placer sur ]r−1, r[ puis sur ]r,+∞[.
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Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (II) Corrig´es
Corrig´ es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Les vecteursvk sont combinaisons lin´eaires des uk.
Il en d´ecoule que si v1, . . . , vn engendrent E, il en est de mˆeme deu1, . . . , un. D’autre part on a u1 =v1 et, pour tout k de {2, . . . , n}, uk =vk−vk−1. Les vecteurs uk sont donc combinaisons lin´eaires des vk.
On en d´eduit l`a aussi que si u1, . . . , un engendrent E, il en est de mˆeme dev1, . . . , vn. 2. Soit λ1, λ2, . . . , λn une famille de n nombres r´eels.
On constate que
n
P
k=1
λkvk =−→ 0 ⇔
n
P
j=1
µjuj =−→
0 , avec µj =
n
P
k=j
λk. Il en d´ecoule que si lesλk sont nuls, alors il en est de mˆeme desµj.
On a ´egalement λn=µn et, pour tout k de {1, . . . , n−1}, λk =µk−µk+1. On en d´eduit que si les µj sont nuls, alors il en est de mˆeme des λk.
Ainsi la famille u1, . . . , un est libre ⇔la famille v1, . . . , vn est libre.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ] Par l’absurde, on suppose que P0, P1, . . . , Pn sont li´es.
Il existe doncn+ 1 scalaires non tous nuls λ0, λ1, . . . , λn tels que
n
P
k=0
λkPk = 0.
On note k0 l’indice minimum tel que λk0 soit non nul.
L’´egalit´e
n
P
k=0
λkPk = 0 devient λk0Pk0 =−
n
P
k=k0+1
λkPk.
Apr`es division par le polynˆome non nulAk0, on trouve : λk0Bn−k0 =−
n
P
k=k0+1
λkAk−k0Bn−k. Supposonsk0 < n. Alors le second membre de cette ´egalit´e est divisible par A.
Ainsi le polynˆome A est un diviseur de Bn−k0. Mais A∧B = 1⇒A∧Bn−k0 = 1.
Il en d´ecoule que A est un polynˆome inversible (constant non nul), ce qui est faux.
Ainsi la seule possibilit´e est k0 =n, ce qui implique λnPn= 0 : c’est absurde car Pn 6= 0.
Conclusion : la famille P0, P1, . . . , Pn est libre.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il suffit d’appliquer l’exercice pr´ec´edent carα6=β ⇒(X−α)∧(X−β) = 1.
Ainsi lesn+ 1 polynˆomes P0, P1, . . . , Pn sont libres.
Ils sont ´el´ements de IKn[X] : ils en forment donc une base car dim IKn[X] =n+ 1.
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Familles libres, li´ees, g´en´eratrices (II) Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ] Pour toutx de IR, fa(x) = cosasinx+ sinacosx.
Ainsi l’applicationfa est combinaison lin´eaire de x7→sinx et de x7→cosx.
De la mˆeme mani`ere, fb etfc sont dans le plan engendr´e par x7→sinx et de x7→cosx.
Les trois applications fa, fb, fc ´etant dans un mˆeme plan, elles forment une famille li´ee.
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Supposons que (f1, . . . , fn) soit li´ee : Il existe (λ1, . . . , λn)6=−→
0 tel que que
n
P
k=1
λkfk = 0 (1).
Soit r maximum tel que λr 6= 0. (1) s’´ecrit : ∀x∈IR,
r−1
P
k=1
λk|x−k|+λr|x−r|= 0.
On se place sur ]r−1, r[ puis ]r,+∞[. On obtient, en notant a=
r−1
P
k=1
λk etb=
r−1
P
k=1
kλk : (∀x∈]r−1, r[, ax−b+λr(r−x) = (a−λr)x−b+rλr = 0
∀x∈]r,+∞[, ax−b+λr(x−r) = (a+λr)x−b−rλr = 0
Mais chacune de ces deux ´egalit´es (une fonction affine nulle sur un intervalle d’int´erieur non vide) n’est possible que si les coefficients de ces fonctions affines sont nuls.
Cela impliquea−λr= 0 et a+λr = 0 et donc λr = 0, ce qui est absurde.
Conclusion : Pour tout entiern ≥1, la famille (f1, f2, . . . , fn) est libre.
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