Fonction exponentielle - Résumé 3 pdf

Définition et problème universel La fonction exp est définie sur R comme l’unique fonctionf solution de l’équation dif- férentielle d’ordre 1 : f^′ = f satisfaisant à la condition f(0) =1.

Remarque : On montre que cette fonction ne peut s’annuler, donc est positive surR puis qu’elle est unique.

Comportement asymptotique

• lim

x→+∞e^x= +∞.

• lim

x→−∞e^x=0

y = 0 est asymptote horizontale àC_exp au voisinage de−∞

Carte d’identité de la fonction « exp »

x exp^′(x)

exp(x)

−∞ +∞

+

00

+∞ +∞ 0

1 1

e

T0: y=x+1 T₁: y=ex

e

1 1 O

T₀ T1

y=e^x

exp : R−→^R∗+=]0 ;+∞[

x7−→^exp(x) =e^x((notation d’Euler) Avantage :La notation d’Euler rend les pro- priétés algébriques « naturelles » donc faciles à manipuler et à mémoriser

La fonction exponentielle

de base e

oùe≈2, 718 à 10⁻³près

expest une fonctiondérivable surR. Elle est donccontinuesurR.

∀^x∈^{R, exp′}(x) =exp(x).

Conséquence : comme , ∀^x ∈^{R, ex}>_{0, la} fonctionexpeststrictement croissante surR

Propriétés algébriques

• ∀^x,y∈^{R, ex}×^ey=e^x+y

• ∀^x∈^R, n∈^Z (e^x)ⁿ =e^{n x}

• ∀^x,y∈^{R, e}

x

e^y =e^x−y

Cas particulier :∀^x∈^R, _e¹_x =e^−x

• ∀^x∈^R, √

e^x=e^12x

Limites de référence à connaître et à reconnaître !

Croissance comparée

• lim

x→+∞

e^x

x = +∞ • lim

x→−∞x e^x=0 Variation en 0

• lim

x→0

e^x−1 x =1

B sans ces théorèmes, on aurait des formes indéterminées

www.alloacademy.com

Résolution d’équations et d’inéquations

• e^a =e^b ⇔ ^a=b

On dit que la fonction exp réalise une bijection deRdans]0 ;+∞[

• Si a>_{0, e}^x=a ⇔ ^X=lna

• Si a6_{0, e}^x=a n’admet pas de solution

• Changements de variables :les plus fréquents étantX=e^xouX=e^−x Le but est de se ramener à un problème simple (second degré, . . .)

• e^a>_e^b ⇔ ^a>_b

Car la fonction exp est croissante surR.

Composée avec l’exponentielle

exp◦^{u : x}7−→^{u u}(x)7−→^{exp exp}[u(x)] =e^u(x)

• exp[u(x)] existessi x∈^Du

• exp◦^uest dérivable partout où la fonctionuest dérivable.

∀^x∈ ^Du^′, (exp◦^u)^′(x) =exp^′[u(x)]×^u′(x)

• On note : (e^u)^′=u^′e^u.

Exemple : ∀^x∈^{R∗, si f}(x) =e^1x alors f^′(x) =−_x¹₂^e1x

Culture : quelques fonctions « avatars » de exp 1) Fonction exponentielle de basea>₀

exp_a : R−→]0 ;+∞[ x7−→^ax=e^xlna

Il s’agit d’un cas particulier de fonction composée avec u : x7−→^u(x) =xlna.

2) Fonction cosinus hyperbolique ch : R−→]0 ;+∞[

x7−→^chx= ^e

x+e^−x 2 3) Fonction sinus hyperbolique

sh : R−→]0 ;+∞[

x7−→^shx= ^e

x−^e−x 2

Vous disposez en terminale S de tous les outils pour vous faire une idée précise de ces fonctions ou famille de fonctions.

www.alloacademy.com