Tables d’association, tables de hachage

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Conception de structures de donn´ ees

Cours 8 Tables de hachage

3 juin 2013

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Tables d’association, tables de hachage

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Tables Collisions Implantation

Table d’association

Besoin : un structure de données contenant des informations identifiables (indexées) à partir de clés (pas des entiers).

Exemples : annuaire, dictionnaire, bases de donn´ees,...

Contrainte :la structure doit être dynamique; on veut pouvoir ajouter ou supprimer des éléments d’informations (rapidement).

Type abstrait : table d’association qui offre les op´erations suivantes :

Trouver l’information associée à une clé donnée.

Ajouter une nouvelle association (paire) entre une cl´e et une information.

S’il existe déjà une information associée à la clé dans la table, alors la nouvelle information remplace l’ancienne.

Sinon, une nouvelle association est ajout´ee `a la table.

B Jamais 2 informations distinctes associées à la même clé.

Retirer une cl´e de la table (avec l’information associ´ee).

Graphiquement

Univers des clés possibles

clés réelles

Données

k1

k2

k3 k4

k5

d1 d2

d3

d4 d5

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Exemple

Compter les mots dans un texte (Le Corbeau et le Renard) :

clés réelles

Données

corbeau

le bec

4 un

5

7 renard

2

...

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Complexit´ es compar´ ees

Il est possible d’implanter facilement une table d’association en utilisant un tableau, une liste ou un arbre dont les éléments sont des paires {clé, donnée}.

Complexit´e

Op´eration tableau tab. tri´e DList arbre (AVL) Chercher O(n) O(logn) O(n) O(logn)

Ins´erer O(n) O(n) O(n) O(logn)

Supprimer O(n) O(n) O(n) O(logn) Taille ? limitée limitée illimitée illimitée Complexités des différentes implantations possibles.

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Adressage direct

Conditions idéales de réalisation d’une table d’association : Les clés sont des entiers positifs ;

Il n’y a qu’un petit nombre de cl´es possibles ; Il n’y apas trop des “trous” entre les cl´es.

En résumé : l’ensemble (univers) U de toutes les clés possibles est un petit intervalle entier : {0, . . . , n−1}.

Il suffit alors d’utiliser un tableau de taille n(les clés sont les indices des cases et les données sont stockées directement).

Exemple : compter le nombre d’occ. descaract`eres dans un texte : Les cl´es sont des entiers dans l’intervalle {0, . . . ,127};

La donnée associée à une clé est le nombre d’apparition de la lettre dont le code ASCII est la clé.

Exemple d’adressage direct

Compter les lettres dans un texte (The Raven and the Fox) :

clés réelles

Données

0

a b c d e 25 7 15 12 60 97 98 99 100 101 0

127 98 97

99 100

101

127

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Table de hachage

Bien sûr, il est très souvent impossible d’utiliser l’adressage direct. Par exemple, comment faire si l’universU des clés possibles est l’ensemble des mots de la langue anglaise ?

L’idée est d’essayer de se ramener au cas de l’adressage direct ! D’abord, il faut déterminer un entier m pas trop grand (de l’ordre du nombre de données à stocker), qui sera la taille de la table de hachage T.

Ensuite, on choisitune fonction de hachage h :U → {0, . . . , m−1}.

Une donnée de clék est placée dans la case T[h(k)]

(et non pas T[k]).

Exemple : pour compter les mots d’un texte, on peut choisir comme fonction de hachage la longueur des mots et comme taille de table le nombre de mots du texte.

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Exemple de table de hachage

Compter les mots dans un texte (The Raven and the Fox) :

clés réelles

Données

corbeau

le bec

un renard

...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 5 ou 7?

2

Probl`eme : collisions possibles ! ! !

Importance de la r´epartition des cl´es dans la table.

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Quelques remarques sur les collisions

Le cas id´eal : aucune collision possible. C¸ a suppose que la table est suffisamment grande : m≥ |U|,

les valeurs de hachage sont bien r´eparties dans l’ensemble {0, . . . , m−1}.

Dans ce cas là, en supposant que le temps de calcul de la fonction de hachage est constant, les 3 opérations (accès, ajout, suppression) ont une complexité O(1) dans le pire des cas.

La r´ealit´e :

Le plus souvent m <|U|et donc on ne peut ´eviter les collisions (par principe des tiroirs) ;

La complexité des opérations dépend du nombre de collisions : il faut donc essayer de limiter les collisions.

Il faut bien choisir la taillem.

La fonction h doit “bien r´epartir” les cl´es dans la table.

Importance du choix de la fonction de hachage

6

= fonctions de hachage pourU =/usr/share/dict/words,m= 1000.

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Importance du choix de la taille de la table

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Importance du choix de la taille de la table - 2

h(c0c1. . . cn) = (c0+ 128×c1+ 128²×c2+· · ·+ 128ⁿ×cn) %lg lg est la taille de la table de hachage ;

`

a gauche lg = 997 ;

`

a droitelg = 1024 ;

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Gestion des collisions

R´ esolution des collisions par chaˆınage

On peut gérer les collisions parchaˆınage : toutes les données dont les clés ont lamême valeur de hachagesontstockées dans une liste.

Les cases de la table t sont initialisées avec des listes vides ; Trouver (ou supprimer) la clék : on parcourt la liste t[h(k)] ; Ajouter la clé k : on l’insère au début de la liste t[h(k)] ; Si nécessaire, d’abord supprimer l’ancienne paire dont la clé est k.

Rmq : les ´el´ements de la tablet sont donc des listes d’association.

BDans le pire des cas, les n clés sont hachées dans la même case ; on se ramène à une unique liste d’association :

Ajout, acc`es, suppression : O(n)

En réalité, avec une bonne fonction de hachage, les listes restent de petite taille et les 3 opérations restent très performantes.

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R´ esolution des collisions par chaˆınage

clés réelles

k1 k2

k4 k5

Données

k1 5 k2 46

0 1 2 3 4 5 6 7

k3 8 k6 5

k5 12

k4 74 k7 11 k3

k7 k6

k8

k8 5

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R´ esolution des collisions par adressage ouvert

On peut gérer les collisions paradressage ouvert : si une case est déjà remplie, la clé à insérer est stockée dans une autre case de la table. On n’utilise pas d’espace mémoire annexe.

Ajouter la clé k (si elle est déjà présente, la supprimer) : d’abord tester la case d’indiceh(k),

puis, si cette case est déjà occupée, chercher la prochaine case vide en suivant une séquence d’indices prédéfinie.

Trouver la cl´e k :

on cherche dans t[h(k)],

puis, si cette case estdéjà occupée par une clé différente, on suit la même séquence que pour l’ajout d’une clé jusqu’à trouverk ou une case vide(si la clék n’est pas dans la table).

Supprimer la clék : comme pour la recherche. Par contre, il fautlaisser un marqueurdans une case d’où l’on retire une clé.

BDans le pire cas, toutes les op´erations sont enO(n), mais avec de bonnes fonctions et une table assez grande, les 3 op´erations sont efficaces.

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Sondage lin´ eaire

Sondage lin´eaire : les sauts sont proportionnels au nombre d’essais.

h(k, i) =h(k) +i mod m

15 82 19 21 33 13 11

28 58

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... m-2 m-1

15 82 19 27 21 33 13 11

28 58

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... m-2 m-1

h(27)=2 27

15 82 19 21 33 13 11

28 12 58

0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... m-2 m-1

12

h(12)=m-3 27

Problème : phénomène de grappes

Sondage quadratique, hachage double

Sondage quadratique : les sauts sont proportionnels aucarr´e du nombre d’essais.

h(k, i) =h(k) +c₁×i+c₂×i² mod m

Problème : sondages identiques pour des clés qui ont la même valeur de hachage.

Hachage double : les sauts sont calculés avec une 2e fonction de hachage. En choisissant bien les fonctions, on obtient des sauts qui semblent aléatoires (c’est la meilleure méthode).

h(k, i) =h(k) +i×h2(k) mod m

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Implantation en C

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Type HashTable

typedef char *Key;

typedef int Value;

typedef struct{

Key k;

Value v;

}Element; // une paire: (cl´e, donn´ee)

typedef struct{

Element *tab; /* ou alors: Mlist *tab; */

int lg;

int (*f)(Key, int); /* fonction de hachage */

}HashTable;

Struct 22/24

Fonctions associ´ ees

int hashFunction(Key s, int mod) ...

HashTable makeHashTable(int lg, int (*f)(Key, int));

Element accessH(Key s, HashTable t); // recherche Element deleteH(Key s, HashTable *t); // suppression void addH(Key s, Value v, HashTable *t); // ajout

List listElements(HashTable t);

void hashList(List l, HashTable *t);

Glossaire

Donn´ee : information `a stocker.

Cl´e : identifiant d’une donn´ee.

Univers des cl´es : ensembles de toutes les cl´es possibles.

Paire: couple (cl´e, donn´ee).

Structure de données dynamique : structure de données permet- tant de stocker des informations qui évoluent dans le temps.

Table d’association : table qui permet de stocker des données auxquelles ont accède par leur clés.

Fonction de hachage : fonction qui associe un indice entier positif `a une cl´e.

Valeur de hachage (d’une cl´e) : valeur de la fonction de hachage.

Table de hachage : table d’association qui utilise une fonction de hachage pour déterminer l’indice de la case où stocker une clé.

Collision : quand 2 cl´es ont les mˆemes valeurs de hachage.