M´ethodes de d´ecomposition de domaines Probl`emes instationnaires

M´ ethodes de d´ ecomposition de domaines Probl` emes instationnaires

par

Christophe Besse

Institut Math´ematique de Toulouse, Universit´e Toulouse 3, CNRS

DDM - Partie II

INSTITUT

de MATHEMATIQUES

de TOULOUSE

Plan

1 De la DDM en espace `a la DDM espace-temps

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

Plan

1 De la DDM en espace `a la DDM espace-temps

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

∆u¹1 = 0 dansΩ1

u¹₁ = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹1 = u⁰2 surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰₂= 0

∆u¹2 = 0 dansΩ2

u¹₂ = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹2 = u¹1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u¹₁ = 0 dansΩ1

u¹1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹₁ = u⁰₂ surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰2= 0

∆u¹₂ = 0 dansΩ2

u¹2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹₂ = u¹₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u¹1 = 0 dansΩ1

u¹₁ = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u¹1 = u⁰2 surΓ1

r´esolu sur le disque avecu⁰₂= 0

∆u¹2 = 0 dansΩ2

u¹₂ = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u¹2 = u¹1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u²₁ = 0 dansΩ1

u²1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u²1 = u¹2 surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u²₂ = 0 dansΩ2

u²2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u²2 = u²1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Ω

∂Ω

∆u²1 = 0 dansΩ1

u²₁ = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u²₁ = u¹₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u²2 = 0 dansΩ2

u²₂ = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u²₂ = u²₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz classique altern´ee

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Γ

Ω

∂Ω

∆u^k1 = 0 dansΩ1

u^k1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u^k1 = u^k−1₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u^k₂ = 0 dansΩ2

u^k2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u^k2 = u^k1 surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

M´ethode de Schwarz parall`elle (P-L. Lions 1988)

Solution de l’´equation de Laplace sur un domaine g´en´eralΩ = Ω1∪Ω2

Ω

Γ

Γ

Ω

∂Ω

∆u^k1 = 0 dansΩ1

u^k1 = g sur∂Ω∪∂Ω¯1

u^k1 = u^k−1₂ surΓ1

r´esolu sur le disque

∆u^k2 = 0 dansΩ2

u^k2 = g sur∂Ω∪∂Ω¯2

u^k2 = u^k−1₁ surΓ2

r´esolu sur le rectangle

Rappels

Plusieurs types de conditions de transmission.

M´ethodes avec ou sans recouvrement.

Bien adapt´e aux probl`emes stationnaires.

Quid des probl`emes instationnaires?

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x y

t

Ω1

Ω2

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x y

t

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x y

∆t t

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x y

2∆t t

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x y

3∆t t

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x 4∆t y

t

Discretiser en temps et appliquer Schwarz `a chaque pas de temps

r´esolutions deprobl`emes stationnairesdans les sous-domaines

´

echange d’informations `a travers l’interface

pas de temps identiquedans tout le domaine

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x 4∆t y

t

Discretiser en temps et appliquer Schwarz `a chaque pas de temps

r´esolutions deprobl`emes stationnairesdans les sous-domaines

´

echange d’informations `a travers l’interface

pas de temps identiquedans tout le domaine

D´ecomposition espace-temps

x T y

0 t

D´ ecomposition de domaine en temps

DDM en espace

x 4∆t y

t

Discretiser en temps et appliquer Schwarz `a chaque pas de temps

r´esolutions deprobl`emes stationnairesdans les sous-domaines

´

echange d’informations `a travers l’interface

pas de temps identiquedans tout le domaine

D´ecomposition espace-temps

x T y

0 t

R´esolution de probl`emesd´ependants du tempsdans les sous-domaines Echange d’informations `a travers l’interface espace-temps

Discr´etisations locales espace et/ou temps possible : pas de temps locaux

D´ ecomposition de domaine en temps

D´ecomposition espace-temps

x T y

0 t

R´esolution de probl`emesd´ependants du temps dans les sous-domaines Echange d’informations `a travers l’interface espace-temps

Discr´etisations locales espace et/ou temps possible : pas de temps locaux

DDM `a fenˆetre en temps

x y

T1

0 t

D´ ecomposition de domaine en temps

D´ecomposition espace-temps

x T y

0 t

R´esolution de probl`emesd´ependants du temps dans les sous-domaines Echange d’informations `a travers l’interface espace-temps

Discr´etisations locales espace et/ou temps possible : pas de temps locaux

DDM `a fenˆetre en temps

x y

T1

T2

t

D´ ecomposition de domaine en temps

D´ecomposition espace-temps

x T y

0 t

R´esolution de probl`emesd´ependants du temps dans les sous-domaines Echange d’informations `a travers l’interface espace-temps

Discr´etisations locales espace et/ou temps possible : pas de temps locaux

DDM `a fenˆetre en temps

x y

T2

T3

t

Faire peu d’it´erations temporelles par fenˆetre

Utilisation de grilles espace-temps diff´erentes par fenˆetre

Plan

1 De la DDM en espace `a la DDM espace-temps

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

M´ ethode de relaxation d’ondes

´Emile Picard :

Sur l’application des m´ethodes d’approximations successives `a l’´etude de certaines

´equations diff´erentielles ordinaires, 1893, Trait´e d’analyse Tome II, 1893

La m´ ethode des ...

... approximations successives

... approximations successives

La m´ ethode des approximations successives

Picard veut r´esoudre

v⁰=f(v), v(0) =vin. Il sait que

v(t) =vin+ Z t

0

v(s)ds, utilise le processus it´eratif (v⁰(t)est une premi`ere valeur)

v^k+1(t) =vin+ Z t

0

f(v^k(s))ds, k≥0, et en prouve la convergence versv(t).

Ceci transforme la solution d’une EDO en une suite de probl`emes de quadrature.

Analyse de convergence

Ernest Lindel¨of : Sur l’application des m´ethodes d’approximations successives `a l’´etude des int´egrales r´eelles des ´equations diff´erentielles ordinaires, 1894

Estimation du taux de convergence

Convergence superlin´eaire (Lindel¨of 1894)

Sur des intervalles de temps born´est∈[0, T], les it´er´es satisfont la borne d’erreur superlin´eaire

kv−v^kk ≤(CT)^k

k! kv−v⁰k o`uC est la constante de Lipschitz associ´ee `af.

La m´ ethode de relaxation d’ondes classique

Variante dans la communaut´e de l’´electronique, d´evelopp´ee en consid´erant une d´ecomposition de circuit ´electronique par :

Lelarasmee, Ruehli and Sangiovanni-Vincentelli : The Waveform Relaxation Method for Time-Domain Analysis of Large Scale Integrated Circuits, IEEE Trans.

on Computer-Aided Design of Int. Circ. a. Sys., 1982.

Un exemple historique

Oscillateur en anneau MOS (MOS≈transistor)

u

v1 v2 v3

+5 +5 +5

Lois d’Ohm et de Kirchoff : syst`eme d’EDO

v˙ =f(v), 0< t < T v(0) =g

Un exemple historique

Oscillateur en anneau MOS (MOS≈transistor)

u

v1= 5

porte ouverte

v2 v3

+5 +5 +5

Lois d’Ohm et de Kirchoff : syst`eme d’EDO

v˙ =f(v), 0< t < T v(0) =g

Un exemple historique

Oscillateur en anneau MOS (MOS≈transistor)

u

v1

porte ouverte

v2= 0

porte ferm´ee

v3

+5 +5 +5

Lois d’Ohm et de Kirchoff : syst`eme d’EDO

v˙ =f(v), 0< t < T v(0) =g

Un exemple historique

Oscillateur en anneau MOS (MOS≈transistor)

u

v1 v2

porte ferm´ee

v3= 5

+5 +5 +5

Lois d’Ohm et de Kirchoff : syst`eme d’EDO

v˙ =f(v), 0< t < T v(0) =g

Un exemple historique

Oscillateur en anneau MOS (MOS≈transistor)

u

v1= 0

porte ouverte

v2 v3

+5 +5 +5

Lois d’Ohm et de Kirchoff : syst`eme d’EDO

v˙ =f(v), 0< t < T v(0) =g

D´ ecomposition par relaxation d’ondes

u

v3^k

v2^k

v^k1

v^k3

v^k2

v^k1

v₁^k+1 v₂^k+1 v^k+1₃

+5 +5 +5

Iteration en utilisant les solutions des sous-circuits seulement :

∂tv^k+1₁ = f1(v^k+1₁ ,v^k₂,v^k₃)

∂tv^k+1₂ = f2(v^k₁,v^k+1₂ ,v^k₃)

∂tv^k+1₃ = f3(v^k₁,v^k₂,v^k+1₃ )

Les signaux le long des cables sont appel´es ’waveforms’, ce qui donna `a l’algo. son nom (anglais)Waveform Relaxation.

Historique de la convergence num´ erique

Plan

1 De la DDM en espace `a la DDM espace-temps

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0 a b

Ω

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0

a b

Ω

b

a

Ω

Ω

b

a

a

b

M´ ethode SWR

SWR = Schwarz Waveform Relaxationmethod But: r´esoudre une ´equation du type

(S)











∂tu+Lu=f (x, t)∈Ω×(0;T) CL sur∂Ω(ex : u=g), t∈(0;T)

u(x,0) =u0(x), x∈Ω

SubdivisionΩ =

N

[

j=1

Ωj

Ω = [a, b] = [a0, b0]

x t

T

0

a b

Ω

b

a

Ω

Ω

b

a

a

= b

=

M´ ethode SWR

En 1D :Ωj= [aj, bj],Γj,j−1={aj}etΓj,j+1={bj}.

M´ethode SWR,k≥0

(S)











∂tu^k_i +Lu^k_i =f, (x, t)∈Ωi×(0;T)

Biu^k_i =Biu^k−1_j , (x, t)∈Γi,j×(0;T), j=i±1 u(x,0) =u0(x), x∈Ωi

Sii= 1oui=N,Γ1,0={a0}etΓN,N+1={b0}, alors, la CL est u^k0 =g, (x, t)∈ {a0} ×(0;T), u^kN=g, (x, t)∈ {b0} ×(0;T).

Sik= 0,u⁰_i = 0 (ou al´eatoire) surΓi,j,j=i±1.

Conditions de transmission

Comme en stationnaire, plusieurs choix Biu^k_i =u^k_i : Dirichlet

Biu^k_i =∂n_iju^k_i : Neumann

Biu^k_i =∂n_iju^k_i+p u^k_i,p∈C: Robin Biu^k_i =∂n_iju^k_i +Siu^k_i

x t

T

0

Ω_i

a_i b_i

Γ_i,i+1

n_i,i+1 n_i+1,i

Γ_i+1,i Ω_i+1

b_i+1 a_i

Conditions de transmission

Comme en stationnaire, plusieurs choix

Biu^k_i =u^k_i : Dirichlet Biu^k_i =∂n_iju^k_i : Neumann Biu^k_i =∂n_iju^k_i +p u^k_i, p∈C: Robin

Biu^k_i =∂n_iju^k_i +Siu^k_i

t=0 t=T t=T_f

i t

Ω1 y

x Γ12= Γ21

n12

n21

Ω2

Principe de la m´ ethode

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On d´efinit sur chaque sous domaine

Domaine 1

∂tu^k₁+Lu^k₁ =f dansΩ1×(0, T) u^k₁(·,0) =u0dansΩ1

u^k₁(b1,·) =u^k−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T)

Domaine 2

∂tu^k₂+Lu^k₂=fdansΩ2×(0, T) u^k₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^k₂(a2,·) =u^k−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T)

Algorithme classique

u⁰1(b1, t) = 0,u⁰2(a2, t) = 0,t∈(0, T) k= 1

Tant que k(u^k1−u^k−1₁ )(b1, T)k²_L2+k(u^k2−u^k−1₂ )(a2, T)k²_L2

> εfaire R´esoudre les syst`emes dansΩ1 etΩ2,t∈(0, T)

Echanger les informations par Cond. Transmission´ k=k+ 1

Principe de la m´ ethode

k= 1

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu¹₁+Lu¹₁=f dansΩ1×(0, T) u¹₁(·,0) =u0 dansΩ1

u¹₁(b1,·) = 0surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u¹₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu¹₂+Lu¹₂=f dansΩ2×(0, T) u¹₂(·,0) =u0dansΩ2

u¹₂(a2,·) = 0surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u¹₂(b1, t)

Principe de la m´ ethode

k= 2

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu¹₁(a2, t)`aΩ2 etu<sup>1</sup><sub>2</sub>(b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu²₁+Lu²₁=f dansΩ1×(0, T) u²₁(·,0) =u0 dansΩ1

u²₁(b1,·)=u¹₂(b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u²₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu²₂+Lu²₂=f dansΩ2×(0, T) u²₂(·,0) =u0dansΩ2

u²₂(a2,·)=u¹₁(a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u²₂(b1, t)

Principe de la m´ ethode

k=K

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu^K−1₁ (a2, t)`aΩ2 etu<sup>K−1</sup><sub>2</sub> (b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₁ +Lu^K₁ =f dansΩ1×(0, T) u^L₁(·,0) =u0dansΩ1

u^K₁(b1,·)=u^K−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₂ +Lu^K₂ =f dansΩ2×(0, T) u^K₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^K₂(a2,·)=u^K−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₂(b1, t)

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode SWR u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

Principe de la m´ ethode

k=K

a1 Ω1 b1

• a2 • Ω2 b2

• •

On r´esoud en parall`ele.

Transmettreu^K−1₁ (a2, t)`aΩ2 etu<sup>K−1</sup><sub>2</sub> (b1, t)`aΩ1,t∈(0, T)

Domaine 1

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₁ +Lu^K₁ =f dansΩ1×(0, T) u^L₁(·,0) =u0dansΩ1

u^K₁(b1,·)=u^K−1₂ (b1,·)surΓ12×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₁(a2, t)

Domaine 2

R´esoudre pourt= 0→T

∂tu^K₂ +Lu^K₂ =f dansΩ2×(0, T) u^K₂(·,0) =u0 dansΩ2

u^K₂(a2,·)=u^K−1₁ (a2,·)surΓ21×(0, T) Conserver∀t∈(0, T)u^K₂(b1, t)

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode SWR u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

La partie

R´esoudre pourt= 0→T fait appel `a un int´egrateur temporel num´erique.

Les donn´ees

u^ki(x, t), (x, t)∈Γi,j×(0, T), j=i±1.

sont donc discr`etes.

Le sch´ema suivi pour les m´ethodes SWR Discr´etiser en espace puis en temps

M´ethode de d´ecomposition en espace Discr´etiser en temps puis en espace

Apr`es discr´etisation en temps, on apour chaque pas de tempsun probl`eme stationnaire

Utiliser les m´ethodes de DDM de la partie I `a chaque pas de temps

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

Pour simplifier, on prendf= 0.

Int´egrateur temporel num´erique

∂tu^ki +Lu^ki = 0−→F(u^ki,n+1) =G(u^ki,n)

o`uu^ki,n(x)est une approximation deu^ki(x, tn),tn=n∆t,∆t=T /Niter. Algorithme

Pourn= 1`aNiter,

u⁰_1,n(b1) =u^K_n−1^f (b1),u⁰_2,n(a2) =u^K_n−1^f (a2), k= 1

Tant que k(u^k_1,n−u^k−1_1,n)(b1,∆t)k²_L2+k(u^k_2,n−u^k−1_2,n )(a2,∆t)k²_L2

> εfaire Faire une ´etape de l’int´egrateur en temps dansΩ1 etΩ2,

´Echanger les informations par Cond. Transmission k=k+ 1

Kf =k

u^Kn^f(b1) =u^K_2,n^f(b1)etu^Kn^f(a2) =u^K_1,n^f(a2)

M´ ethode de d´ ecomposition en espace

On transmet donc `a chaque it´eration de la m´ethode et `a chaque pas de temps u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1.

SWR

Pourk= 1`aKf

Echange´ u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1, n∈ {1,· · ·, Niter}

D´ecomposition en espace Pourn= 1`aNiter

Pourk= 1`aKf

Echange´ u^k_i,n(x), x∈Γi,j, j=i±1.

Beaucoup plus d’´echanges d’informations... surcoˆut ´eventuel.

Plan

1 De la DDM en espace `a la DDM espace-temps

2 Historique de la m´ethode de relaxation d’ondes

3 La m´ethode SWR

4 Propri´et´es

5 D´eveloppements

6 Mise en œuvre

SWR pour l’´ equation des ondes

Ω = [0,1] = [0, α]∪[β,1] = Ω1∪Ω2,β < α.

Domaine 1

∂ttu^k₁ =c²∂xxu^k₁ dansΩ1×(0, T) u^k₁(0, t) = 0,

u^k1(β, t) =u^k−1₂ (β, t)

Domaine 2

∂ttu^k₂ =c²∂xxu^k₂ dansΩ2×(0, T) u^k₂(1, t) = 0,

u^k2(α, t) =u^k−1₁ (α, t)

Th´eor`eme (Gander 1997)

L’algorithme converge en un nombre fini d’´etapes,i.e. quand n≥ T c

β−α.

R´esultats similaires pour plusieurs sous-domaines (Gander-Halpern, 2004) R´esultats avec des conditions de transmissions absorbantes pour les d´ecompositions sans recouvrement (Gander-Halper-Nataf, 2003)

Preuve graphique de la convergence en 1D

caract´eristiques

pas d’erreur dansu³₁

pas d’erreur dansu²2

pas d’erreur dansu¹1

t

x

Ω1 Ω2

SWR pour l’´ equation de la chaleur

Ω = [0, L] = [0, αL]∪[βL, L] = Ω1∪Ω2,β < α.

Domaine 1

∂tu^k₁ =∂xxu^k₁+f(x, t), Ω1×(0, T) u^k₁(0, t) =g1(t),

u^k1(βL, t) =u^k−1₂ (βL, t), u^k₁(x,0) =u0(x)

Domaine 2

∂tu^k₂=∂xxu^k₂+f(x, t), Ω2×(0, T) u^k₂(1, t) =g2(t),

u^k2(αL, t) =u^k−1₁ (αL, t), u^k₂(x,0) =u0(x) Soitd^k(x, t) =u^k1(x, t)−u(x, t)ete^k(x, t) =u^k2(x, t)−u(x, t).

Th´eor`eme (Gander-Stuart 1998)

L’algorithme converge lin´eairement avec le taux kd^2k+1kL^∞_xL^∞_t ≤

α(1−β) β(1−α)

k

ke⁰(βL,·)kL^∞_t ,

ke^2k+1kL^∞_xL^∞_t ≤

α(1−β) β(1−α)

k

kd⁰(βL,·)kL^∞_t .

SWR pour l’´ equation de la chaleur

Id´ee de preuve

Par le principe du maximum, on a Lemme

La solution de l’´eq. de la chaleuruavecf(x, t) = 0etu0= 0v´erifie ku(x,·)kL^∞_t ≤L−x

L kg1(·)kL^∞_t +x

Lkg2(·)kL^∞_t , 0≤x≤L.

Les termes d’erreur v´erifient Domaine 1

∂td^k=∂xxd^k, Ω1×(0, T) d^k(0, t) = 0,

d^k(βL, t) =e^k−1(βL, t), d^k(x,0) = 0

Domaine 2

∂te^k=∂xxe^k, Ω1×(0, T) e^k(αL, t) =d^k−1(αL, t), e^k(0, t) = 0,

e^k(x,0) = 0 On a donc

kd^k+2(x,·)kL^∞_t ≤ x

βLke^k+1(βL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω1, et

ke^k+1(x,·)kL^∞_t ≤ L−x

(1−α)Lkd^k(αL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω2.

SWR pour l’´ equation de la chaleur

Id´ee de preuve

Ainsi,

kd^k+2(αL,·)kL^∞_t ≤α

βke^k+1(βL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω1, et

ke^k+1(βL,·)kL^∞_t ≤1−β

1−αkd^k(αL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω2. Soit encore

kd^k+2(αL,·)kL^∞_t ≤α β

1−β

1−αkd^k(αL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω1, et

ke^k+2(βL,·)kL^∞_t ≤α β

1−β

1−αke^k(βL,·)kL^∞_t , ∀x∈Ω2.

Temps longs vs Temps courts

Deux comportements diff´erents

temps longs=⇒convergence lin´eaire temps courts=⇒convergence superlin´eaire

Equation de la chaleur 1D avec´ L= 0.1

La m´ethode de d´ecomposition en espace regagne en int´erˆet ou encorem´ethode SWR `a fenˆetres.

Temps longs vs Temps courts

Gander, Zhao,Overlapping Schwarz Waveform Relaxation for the Heat Equation in n-Dimensions, BIT, 2002











∂tu^k+1_j = ∆u^k+1_j +f(x, t), x∈Ωj, 0< t <∞, u^k+1_j (x, t) = u^k_l(x, t), x∈Γjl, 0< t <∞, u^k+1_j (x, t) = g(x, t), x∈Γj0, 0< t <∞,

u(x,0) = u0(x), x∈Ωj.

Temps longs vs Temps courts

Soitmj le plus petit nombre de domaines `a traverser depuisΩj pour rejoindre

∂Ω.

m= maxjmj : distance du sous-domaine `a la fronti`ere.

δ distance minimale d’overlap entre sous domaines.

ula solution de l’´equation de la chaleur surΩ×(0,∞).

e^k_j =u−u^k_j l’erreur sur le domainej`a l’it´erationk.

Temps infini, convergence lin´eaire

maxj ke^k(m+2)_j kL^∞_xL^∞_t ≤(γ(m, δ))^k max

j ke⁰jkL^∞_xL^∞_t , o`uγ(m, δ)<1

Temps fini, convergence superlin´eaire max

j ke^k_jkL^∞_xL^∞_t ≤(2d)^kerfc kδ

2√ πT

max

j ke⁰_jkL^∞_xL^∞_t . o`udest la dimension.

R´ esultats de convergence

Probl`emes de r´eaction, diffusion, convection

Lu= (a· ∇)u−ν∆u+bu Conditions de transmission de Dirichlet

Convergence sioverlap.

Pas de convergence sinon.

Daoud & Gander (2003), Daoud & Caltinoglu (2007) Temps infini, convergence lin´eaire

maxj ke^k(m+2)_j kL^∞_xL^∞_t ≤(γ(m, δ))^k max

j ke⁰jkL^∞_xL^∞_t , o`uγ(m, δ)<1

Temps fini, convergence superlin´eaire maxj ke^k_jkL^∞_xL^∞_t ≤(C(ν,a, δ))^kerfc

kδ 2√

dνT

maxj ke⁰_jkL^∞_xL^∞_t . o`udest la dimension.

R´ esultats de convergence

Exemple de Daoud & Caltinoglu (2007)

∂tu=∂²xu−0.25φ²u, 0< x <1, 0< t < T, u(0, t) =e^−0.5πt2, 0< t < T,

u(1, t) = 0, 0< t < T, u(x,0) = cos(0.5φ²x), 0< x <1.

Ωest subdivis´e en 5 sous domaines avec overlap de0.2et0.4. Les temps finaux sont respectivementT = 10(gauche) etT = 1(droite)

R´ esultats de convergence

Daoud, Gander (2009) : 2D,∂tu=ν∆u+a∇u+cu,Ω = (0,1)²,a= (1,1), c=−1,ν= 1/2,∆t= 1/500,δx= 1/50.

Cas 1 : T = 1, Cas 2 : T = 0.1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

iteration

maximum error

δ=0.02 δ=0.04 δ=0.08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10⁻⁷ 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

δ=0.02 δ=0.04 δ=0.08

Convergence plus rapide avecδgrand.

R´ esultats de convergence

Influence du nombre de sous-domaines

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

iteration

maximum error

2x2 subdomains 3x3 subdomains 4x4 subdomains 6x6 subdomains

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

10⁻¹⁰ 10⁻⁹ 10⁻⁸ 10⁻⁷ 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

iteration

maximum error

2x2 subdomains 3x3 subdomains 4x4 subdomains 6x6 subdomains

R´ esultats de convergence

Influence du nombre de sous-domaines et du temps de simulation : 6×6etT = 1;

Iterations2,4,6et8, ´evolution de l’erreur.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x

R´ esultats de convergence

Influence du nombre de sous-domaines et du temps de simulation : 6×6et T = 0.1; Iterations2,4,6et8, ´evolution de l’erreur.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y x

Am´ elioration de la convergence

Gander, Halpern, Nataf,Optimal Convergence for Overlapping and Non-Overlapping Schwarz Waveform Relaxation, Proc. DD11, (1999)

Remplacer les conditions de transmission de Dirichlet par les conditions aux limites transparentes sous-jacentes aux ´equations

Eq. des ondes´ ∂²_tu−c²∂_x²u=f(x, t),c >0.

Eq. de r´´ eaction-convection-diffusion∂tu−ν∂²_xu+a∂xu+bu=f(x, t),ν >0, a, b∈R.

Conditions aux limites =op´erateur Dirichlet-Neumann

CLT pour ´ Eq. des ondes

(P)







∂²_tψ−c²∂_x²ψ= 0, (x, t)∈Rx×[0;T], ψ(x,0) =ψ0(x), x∈R^x,

∂tψ(x,0) =ψ1(x), x∈R^x. Hypoth`eses: supp(ψ0,1)⊂B(0, R).

Solution

ψ(x, t) = 1

2(ψ0(x+ct) +ψ0(x−ct)) +1 2

Z x+ct x−ct

ψ1(y)dy.

Simplement,

ψ(x, t) =ϕ1(x+ct) +ϕ2(x−ct), avec

2ϕ1(x) =ψ0(x) + Z x

−∞

ψ1(y)dy , 2ϕ2(x) =ψ0(x)−

Z x

−∞

ψ1(y)dy .

CLT pour ´ Eq. des ondes

−R R t

x

−L L

supp(ϕ1(x+t)) supp(ϕ2(x−t))

∀t >0et∀|x|> R, les supports sont disjoints.

x=−L x=L

ψ(x, t) =ϕ1(x+ct) ψ(x, t) =ϕ2(x−ct)

∂xψ=c∂tψ ∂xψ=−c∂tψ

Alors, surx=±L, la donn´ee deNeumanns’exprime en fonction de celle de Dirichlet

c∂nψ+∂tψ= 0 o`und´esigne le vecteur unitaire sortant `aΩ = (−L, L).

Remarque :

∂_t²−c²∂²_x= (∂t−c∂x)(∂t+c∂x).

CLT pour ´ Eq. des ondes

Autre m´ethode : transform´ee de Laplace La(u)(x, ω) = ˆu(x, ω) =

Z ∞ 0

u(x, t)e^−ωtdt avec la fr´equenceω=σ+iτ,σ >0

La(∂tu)(x, ω) = ωˆu(x, ω)−u(x,0),

La(∂²_tu)(x, ω) = ω²u(x, ω)ˆ −ωu(x,0)−∂tu(x,0).

1 Probl`eme de transmission

Probl`eme int´erieur







(∂_t²−c²∂²_x)v= 0, x∈Ω, t >0,

∂xv=∂xw, x∈Γ, t >0, v(x,0) =ψ0(x), x∈Ω,

∂tv(x,0) =ψ1(x), x∈Ω,

Probl`eme ext´erieur











(∂t−c²∂²_x)w= 0, x∈Ω, t >0, w(x, t) =v(x, t), x=±L, t >0,

w(x,0) =0, x∈Ω,

∂tw(x,0) =0, x∈Ω.

CLT pour ´ Eq. des ondes

2 Transform´ee de Laplace w.r.t temps pourx > L: ω²wˆ−c²∂²xwˆ= 0.

Solution : w(x, ω) =ˆ A⁺(ω)e^ωcx+A⁻(ω)e^−ωcx

3 S´election de l’onde sortante : solution d’´energie finie−→A⁺= 0.

ˆ

w(x, ω) =e^{−ωc(x−L)}La(w(L,·))(ω).

En prenant la d´eriv´ee

∂xw(x, ω)|ˆ x=L=−ω

cw(x, ω)|ˆ x=L 4 Transform´ee de Laplace inverse

c∂xw(x, t)|x=L=−∂tw(x, t)|x=L.

5 Ainsi, on obtient laCLTpourv

∂nv+∂tv c = 0

SWR pour les ondes

M´ethode SWR,k≥0

(S)























∂_t²u^k₁−c²∂_x²u^k₁ = 0, (x, t)∈(−∞, L)×(0;T) B¹u^k1 =B¹u^k−1₂ , (x, t)∈ {L} ×(0;T),

∂_t²u^k₂−c²∂_x²u^k₂ = 0, (x, t)∈(0,∞)×(0;T) B2u^k2 =B2u^k−1₁ , (x, t)∈ {0} ×(0;T), u(x,0) =u⁰I(x), ∂tu(x,0) =u¹I(x) x∈R

Bⁱ=∂n_ij+∂t

c =∂n_ij+ Λ, Λ =La⁻¹

ω c

.

Thm. Gander, Halpern, Nataf, 99

L’algorithme SWR avecBi=Idconverge d`es quek≥T c/δ,δtaille d’overlap.

L’algorithme SWR avecBi=∂n_ij+∂t/cconverge endeuxit´erations, ind´ependamment de la taille de l’overlap.

CLT pour ´ Eq. R´ eac/Diff/Advec.

∂tu+Lu=∂tu−ν∂_x²u+a∂xu+cu= 0

CLT

∂nu∓Λ^±u= 0.

Mise en jeu d’un op´erateur pseudo-diff´erentiel (i.e non local).

Signe - pour cˆot´e droit, + pour gauche.

Cˆot´e droit :∂xu−Λ⁻u= 0.

Cˆot´e gauche :∂xu−Λ⁺u= 0.

On a

Λ^±u=La⁻¹

a±δ^1/2 2ν

∗u,avecδ=a²+ 4ν(c+ω).