Etude, dans les espaces de Sobolev, de quelques probl`emes paraboliques dans des domaines non cylindriques

(1)

Etude, dans les espaces de Sobolev, de quelques probl `emes paraboliques dans des

domaines non cylindriques

Arezki KHELOUFI

D épartement de Math ématiques Ecole Normale Sup érieure de Kouba, Alger

Soutenance de Doctorat en Sciences Sous la direction de

R. Labbas, Professeur, Univ. du Havre et

B.-K. Sadallah, Professeur, E.N.S. de Kouba

17 D ´ecembre 2011

(2)

Plan

1) Introduction.

a) Survey sur les probl `emes paraboliques du second ordre dans des domaines non cylindriques.

b) Quelques m éthodes et principaux outils de r ésolution de tels probl èmes.

2) R ésolution d’une équation parabolique avec de conditions aux limites de Cauchy-Dirichlet dans un domaine non r égulier de R ³ .

A. KHELOUFI Soutenance

(3)

Plan

3) R ´esolution d’une ´equation parabolique avec des conditions aux limites de type Robin dans un domaine non rectangulaire.

4) R égularit é de la solution d’une équation parabolique dans un domaine non cylindrique:

deux approches.

5) Perspectives.

(4)

Introduction

Equation parabolique lin ´eaire du second ordre

∂ _t u − ∆u = f .

f ∈ L ² (Q).

Q est un domaine non cylindrique de R ² ou de R ³ .

Cauchy-Dirichlet, type Robin.

(5)

Introduction

Equation parabolique lin ´eaire du second ordre

∂ _t u − ∆u = f .

f ∈ L ² (Q).

Q est un domaine non cylindrique de R ² ou de R ³ .

Cauchy-Dirichlet, type Robin.

(6)

Introduction

Equation parabolique lin ´eaire du second ordre

∂ _t u − ∆u = f .

f ∈ L ² (Q).

Q est un domaine non cylindrique de R ² ou de R ³ .

Cauchy-Dirichlet, type Robin.

(7)

Notes historiques

Probl `eme 1 : Gevrey (1913)







u _t = u _xx dans E =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t ≤ T , ϕ ₁ (t) < x < ϕ ₂ (t) u (0, x ) = u ₀ (x ) , ϕ ₁ (0) ≤ x ≤ ϕ ₂ (0) ,

u(t, ϕ _i (t )) = ψ _i (t ) , 0 < t ≤ T , i = 1, 2,

o `u 0 < T ≤ +∞, ϕ _i , ψ _i ∈ C ([0, T ]), ϕ ₁ (t ) < ϕ ₂ (t ) pour t ∈ [0, T ] , u ₀ ∈ C ([ϕ ₁ (0) , ϕ ₂ (0)]) et u ₀ (ϕ _i (0)) = ψ _i (0) , i = 1, 2.

Gevrey a montr é que ce probl ème admet une solution classique si les (ϕ _i ) _i=1,2 sont H öld ériennes d’exposants sup érieurs à 1/2.

M. Gevrey, Sur les équations aux d ériv ées partielles de type

parabolique, Journ. Math. pures et appliqu ´ees, (6), 9 (1913),

305-471.

(8)

Crit `ere de Petrovskii 1934

Condition suffisante: Le probl `eme 1 admet une solution classique si

∀t ₀ > 0, ∃ une fonction p (h), positive, monotone et lim _h→0 p (h) = 0, ϕ ₁ (t 0 ) − ϕ ₁ (t) ≤ 2 (t 0 − t ) ^1\2 (− log p(t − t 0 )) ^1\2 , t ∈ [t 0 − |h| , t 0 ] , ϕ ₂ (t 0 ) − ϕ ₂ (t) ≥ −2 (t 0 − t) ^1\2 (− log p(t − t 0 )) ^1\2 , t ∈ [t 0 − |h| , t 0 ] et

−→0 lim Z

c

p (h) |log p (h)| ^1/2

h dh = −∞,

o `u c est une constante.

Condition n écessaire: Une condition n écessaire a également ét é obtenue qui est proche de la condition suffisante mais elle en diff ère l ég èrement.

I. G. Petrovskii, Solution of a boundary value problem for the heat equation, Uchenye Zapiski MGU, No. 2, (1934), 55-59.

(9)

Notes historiques

En 1957

J. L. Lions a d émontr é l’existence et l’unicit é des solutions faibles pour une large classe d’ équations paraboliques d’ordre sup érieur.

Cependant, la classe des domaines utilis ée par l’auteur n’est pas suffisamment large puisqu’il consid ère des domaines dont les fonctions de param étrisation sont de classe c ^∞ .

J. L. Lions, Sur les probl `emes mixtes pour certains

syst `emes paraboliques dans des ouverts non

cylindriques, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)

(1957)143-182.

(10)

Notes historiques

En 1966

le cas des probl `emes aux limites de type parabolique dans des domaines non

cylindriques est consid ´er ´e par V. A. Kondrat’ev.

Il a obtenu le comportement asymptotique des solutions au voisinage des points non r ´eguliers.

V. A. Kondrat’ev, Boundary value problems for

parabolic equations in closed domains, Tr. Mosk. Mat.

Obshch., 15, (1966), 400-451.

(11)

Notes historiques

Depuis le d ébut des ann ées 70, le nombre de travaux consacr és aux probl èmes paraboliques dans des domaines non cylindriques a augment é

consid ´erablement.

1

Cel à est d û d’une part, à la d écouverte de nouvelles applications émanant de la m écanique et de la

physique (beaucoup d’articles publi ´es sont consacr ´es

à l’ étude des probl èmes paraboliques dans des domaines non cylindriques à g éom étries

particuli `eres).

2

D’autres part, des m éthodes classiques ont ét é

adapt ées pour la r ésolution de tels probl èmes.

(12)

Quelques m éthodes de r ésolution de tels probl èmes

1

La m ´ethode de r ´egularisation elliptique.

2

La m ´ethode de Rothe.

3

La m ´ethode du potentiel.

4

La m ´ethode des sommes d’op ´erateurs.

5

La m ´ethode de d ´ecomposition des domaines.

(13)

Espaces Fonctionnels

On aura besoin de quelques espaces de Sobolev anisotropes H ^r ^,s R ²

= n

u ∈ L ² R ² : h

1 + ζ ² ^r ^/2

+ 1 + τ ² ^s/2 i

u b ∈ L ² R ² o o `u u b est la transformation de Fourier de u d ´efinie par

b u(ζ, τ) = Z

R

²

exp −2iπ(xζ+yτ) u(x , y )dxdy

et r , s sont deux nombres positifs. On pose

(1) H ^r ^,s (Ω) =

u /Ω : u ∈ H ^r ^,s R ² , avec Ω est un ouvert R ² .

J. L. Lions, E. Magenes, Probl `emes aux Limites Non

Homog `enes et Applications, 1,2, Dunod, Paris, 1968.

(14)

Th ´eor `eme de recollement

Soit Ω un ouvert born é de fronti ère Lipschitzienne et Ω 1 , Ω 2 deux ouverts de Ω de fronti ères Lipschitziennes tels que

Ω ₁ ∪ Ω ₂ = Ω, Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅.

Posons Γ = ∂Ω 1 ∩ ∂Ω 2 . Soient u 1 ∈ H ^1,2 (Ω 1 ) et u 2 ∈ H ^1,2 (Ω 2 ) satisfaisant `a

u 1 = u 2 sur Γ,

alors la fonction u d ´efinie par u =

u 1 dans Ω 1

u 2 dans Ω 2 , appartient `a H ^1,2 (Ω).

(15)

D ´efinition 1

On fixe deux espaces de Hilbert X et Y avec X ⊂ Y alg ébriquement et topologiquement. L’espace [X , Y ] _θ , 0 < θ < 1, est le sous-espace de Y form é des él éments a qui peuvent s’ écrire sous la forme

(2) a =

Z ∞

0 u(t ) dt t avec

(3) t ^θ u(t ) ∈ L ² _∗ (X ) , t ^θ−1 u(t ) ∈ L ² _∗ (Y ), cet espace est muni de la norme

(4) a 7→ Inf[(

Z ∞

0 t ^2θ |u(t )| ² _X dt t )

¹²

+ (

Z ∞

0 t ^2(θ−1) |u(t )| ² _Y dt t )

¹²

. Le Inf ´etant pris par rapport aux u v ´erifiant (2) et (3).

Ici, L ² _∗ (V ) d ´esigne l’espace des fonctions de t > 0, `a valeurs dans V ,

qui sont mesurables et de carr ´e int ´egrable pour la mesure ^dt _t .

(16)

Espaces Fonctionnels

H ^r,s (Ω) peut être aussi d éfini comme un espace d’interpolation r éel entre H r/(1−θ),s/(1−θ) (Ω) et L ² (Ω), θ ∈ ]0, 1[.

(5) H ^r ^,s (Ω) =

H r/(1−θ),s/(1−θ) (Ω) , L ² (Ω)

θ . Ici, on consid `ere le cas s = 2r , θ = 1 − r ,

(6) H ^r,2r (Ω) =

H ^1,2 (Ω) , L ² (Ω)

1−r ∀r ∈ ]0, 1[ . Posons s = 2r dans la relation (1), on obtient (7) H ^r,2r (Ω) =

u _/Ω : u ∈ H ^r,2r R ² .

P. Grisvard, Caract ´erisation de quelques espaces d’interpolation, Arch. Rational Mech. Anal. 25 (1) (1967) 40-63.

(17)

Les espaces H ¹ ² , H ₀ ¹ ² et H ₀₀ ¹ ²

On peut d ´efinir H

¹²

( R ) `a l’aide de la transformation de Fourier : H

¹²

( R ) = n

u ∈ L ² ( R ) : p

|x | u b ∈ L ² ( R ) o .

Les ´el ´ements de H

¹²

( R ) ne sont pas n écessairement continus. On sait par contre que les él éments de H

¹²

⁺ ( R ) sont continus pour tout > 0.

Si Ω est born ´e et `a bord Lipschitzien, on a pour θ ∈ ]0, 1[ : H ₀ ^θ (Ω) = H ₀ ¹ (Ω), L ² (Ω)

1−θ

sauf pour θ = ¹ ₂ .

H ₀₀

¹²

(Ω) : ≡ H ₀ ¹ (Ω), L ² (Ω)

1 2

6= H

¹²

(Ω) = H ₀

¹²

(Ω)

H

1 2

00 (Ω) = n

u ∈ H

¹²

(Ω) : e u ∈ H

¹²

( R ⁿ ) o

( u e = prolongement par 0).

(18)

R ´esolution d’une ´equation parabolique avec de conditions aux limites de Cauchy-Dirichlet dans un

domaine non r ´egulier de R ³ .

(19)

Introduction

BVP1







∂ _t u − ∂ _x ²

1

u − ∂ _x ²

2

u = f ∈ L ² (Q) u = 0 sur ∂Q − Γ T ,

o `u

Q = {(t, x 1 ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ 1 (t ) < x 1 < ϕ 2 (t )}×]0, b[.

et Γ T est la partie de la fronti `ere de Q o `u t = T . ϕ 1 et ϕ 2

sont d ´efinies dans [0, T ] et telles que







ϕ ₁ (t) < ϕ ₂ (t), t ∈]0, T [

ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0) et ϕ 1 (T ) = ϕ 2 (T ).

(20)

Quelques r ´ef ´erences de base

B.K. Sadallah, Etude d’un probl `eme 2m-parabolique dans des domaines plans non rectangulaires, Bollettino U:M:I: (6) 2-B (1983)-51-112.

R. Labbas, A. Medeghri, B.K. Sadallah, , Sur une ´equation parabolique dans un domaine non cylindrique, C.R.A.S. Paris, S ´erie 1; p. 1017-1022; 2002.

S. Hofmann. J.L. Lewis The L _p Neumann and regularity problems for the heat equation in noncylindrical domains, Journal of Functional Analysis, 220 (2005), 1-54.

(21)

Deux approches

En g én éral, il y a deux approches principales pour l’ étude des probl èmes aux limites dans des domaines non

r ´eguliers.

Premi `ere approche:

On travaille directement dans les domaines non r ´eguliers et on obtient des solutions singuli `eres.

Deuxi `eme approche:

On peut imposer des conditions sur les domaines non

r éguliers pour obtenir des solutions r éguli ères.

(22)

Objectifs

Trouver des conditions (”minimales”) suffisantes sur les fonctions de param ´etrisation (ϕ i ) _i=1,2 pour que le

probl ème (BVP1) admette une (unique) solution u poss édant la r égularit é maximale, à savoir u est dans l’espace de Sobolev anisotrope

H ₀ ^1,2 (Q) =

u ∈ H ^1,2 (Q) : u /∂Q−Γ

_T

= 0 avec

H ^1,2 (Q) =

u ∈ L ² (Q) : ∂ t u, ∂ _x ^j

₁

u, ∂ _x ^j

₂

u, ∂ x

₁

∂ x

₂

u ∈ L ² (Q) ,

j = 1, 2.

(23)

Hypoth `eses et r ´esultat obtenu

ϕ ₁ et ϕ ₂ sont Lipschitziennes sur [0, T ] et v ´erifiant

(H)



 

 

lim t→0 ϕ ⁰ _i (t )(ϕ 2 (t ) − ϕ 1 (t )) = 0, i = 1, 2 si ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0)

t→T lim ϕ ⁰ _i (t )(ϕ 2 (t ) − ϕ 1 (t )) = 0, i = 1, 2 si ϕ 1 (T ) = ϕ 2 (T ).

Le r ´esultat obtenu

Sous les hypoth `eses (H), L = ∂ _t − ∂ _x ²

1

− ∂ _x ²

2

est un isomorphisme de H ₀ ^1,2 (Q) dans L ² (Q).

(24)

M éthode utilis ée: La m éthode de d écomposition du domaine

Premi `ere ´etape:

nous montrons que le probl ème (BVP1) admet une et une seule solution lorsque le domaine Q peut être transform é en un domaine r égulier à l’aide d’un changement de variables r égulier, i.e., nous supposons que

ϕ ₁ (0) < ϕ ₂ (0) et ϕ ₁ (T ) < ϕ ₂ (T ).

Deuxi `eme ´etape:

Nous approximons Q par une suite(Q _α

_n

) de tels domaines et nous ´etablirons une estimation a priori du type

ku _n k _H

1,2

(Q

αn

) ≤ K kf k _L

2

(Q

αn

) ,

o `u u n est la solution du probl `eme (BVP1) dans Q α

n

et K est une constante ind ´ependante de n.

Troisi `eme ´etape:

Nous passons `a la limite dans (Q _α

_n

) pour atteindre Q.

(25)

Premi ère étape : R ésolution du probl ème dans des ouverts se ramenant à un parall él épip ède

On remplace Q par

Q α = {(t, x 1 ) ∈ R ² : α < t < T −α, ϕ ₁ (t ) < x 1 < ϕ ₂ (t)}×]0, b[, α > 0. Ainsi, on a







ϕ 1 (α) < ϕ 2 (α)

ϕ ₁ (T − α) < ϕ ₂ (T − α)

Q α peut se ramener par un changement de variables au parall él épip ède P α =]α, T − α[×]0, 1[×]0, b[. On d éfinit ce changement de variables comme suit:

ψ : Q α → P α

(t, x 1 , x 2 ) 7→ ψ(t , x 1 , x 2 ) = (τ, y 1 , y 2 ) = (τ, _ϕ ^x

¹

^−ϕ

¹

^(t ⁾

2

(t )−ϕ

₁

(t) , x 2 ).

(26)

L’ ´equation ∂ _t u − ∂ _x ²

1

u − ∂ _x ²

2

u = f dans Q α ,

devient

∂ _τ v+a (τ, y 1 ) ∂ _y

₁

v −c (τ) ∂ _y ²

1

v − ∂ _y ²

2

v = g dans P α

a (τ, y 1 ) =

ϕ

⁰₁

(τ)−ϕ

⁰₂

(τ)

y

1

−ϕ

⁰₁

(τ) ϕ

2

(τ)−ϕ

₁

(τ)

c (τ) = ¹

(ϕ

2

(τ)−ϕ

₁

(τ))

²

, et

f (t, x 1 , x 2 ) = g(τ, y 1 , y 2 ), u (t , x 1 , x 2 ) = v (τ, y 1 , y 2 ).







v /∂P

α

−Γ

T−α

= 0, Γ _T −α = {T − α}×]0, 1[×]0, b[

(27)

Th ´eor `eme 1

L ⁰ = ∂ _t + a∂ _x ₁ −c ∂ _x ²

1 − ∂ _x ²

2 est un

isomorphisme de H ₀ ^1,2 (P _α ) dans

L ² (P _α ).

(28)

Deuxi `eme ´etape: Estimation a priori

Maintenant on doit montrer une estimation qui nous permet de passer `a la limite lorsque α → 0.

Notons par u n ∈ H ^1,2 (Q α

n

) la solution du probl `eme (BVP1) correspondant `a un second membre f n = f /Q

αn

∈ L ² (Q α

n

) dans

Q α

n

= Ω α

n

×]0, b[, o `u

Ω _α

_n

=

(t, x 1 ) ∈ R ² : α _n < t < T − α _n , ϕ ₁ (t ) < x 1 < ϕ ₂ (t) , (α n ) n est une suite strictement d ´ecroissante vers z ´ero.

Proposition 1

Il existe une constante K 1 ind ´ependante de n telle que ku n k _H

^1,2

_(Q

_αn

₎ ≤ K 1 kf k _L

²

_(Q

_αn

₎ ≤ K 1 kf k _L

²

_(Q) .

(29)

Un r ´esultat utilis ´e

Lemme 1

Pour > 0, choisi tel que (ϕ ₂ (t ) − ϕ ₁ (t )) ≤ , il existe une constante C ₁ ind ´ependante de n telle que

∂ _x ^j ₁ u _n

2 L ² (Q α n )

≤ C ₁ ^2(2−j ⁾

∂ _x ² ₁ u _n

2 L ² (Q α n ) , j = 0, 1.

(30)

Preuve de la Proposition 1

Proof.

kf n k ² _L

2

(Q

αn

)

= h∂ t u n − ∂ _x ²

1

u n − ∂ _x ²

2

u n , ∂ t u n − ∂ _x ²

1

u − ∂ _x ²

2

u n i

= k∂ _t u n k ² _L

2

(Q

αn

) +

∂ _x ²

1

u n

2 L

²

(Q

αn

) +

∂ _x ²

2

u n

2 L

²

(Q

αn

)

−2h∂ t u n , ∂ _x ²

1

u n i − 2h∂ t u n , ∂ _x ²

2

u n i + 2h∂ _x ²

1

u n , ∂ _x ²

2

u n i.

ku n k _H

^1,2

_(Q) = ku n k ² _H

1

(Q) +

2 P

i,j=1

k∂ x

_i

∂ x

_j

u n k ² _H

1,2

(Q)

!

¹₂

.

(31)

Estimation des produits scalaires

Lemme 2 a)

−2h∂ _t u _n , ∂ _x ²

1 u _n i ≥ −2K ∂ _x ²

1 u _n

2 L ² (Q α n ) . b)

−2h∂ _t u _n , ∂ _x ²

2 u _n i ≥ 0.

c)

2h∂ _x ²

1 u _n , ∂ _x ²

2 u _n i ≥ 2 k∂ _x ₁ ∂ _x ₂ u _n k ² _L 2 (Q α n ) .

(32)

Retour `a la preuve de la Proposition 1

Proof.

kf n k ² _L

2

(Q

αn

) ≥ k∂ t u n k ² _L

2

(Q

αn

) +

∂ _x ²

1

u n

2 L

²

(Q

αn

) +

∂ _x ²

2

u n

2 L

²

(Q

αn

)

−2K

∂ _x ²

1

u n

2 L

²

(Q

αn

) + 2 k∂ _x

₁

∂ _x

₂

u n k ² _L

2

(Q

αn

)

≥ k∂ _t u n k ² _L

2

(Q

αn

) + (1 − 2K )

∂ _x ²

1

u n

2 L

²

(Q

αn

)

+

∂ _x ²

₂

u n

2 L

²

(Q

αn

) + 2 k∂ x

₁

∂ x

₂

u n k ² _L

2

(Q

αn

) . Gr âce aux estimations pr éc édentes et en choisissant tel que (1 − 2K ) > 0, alors il existe une constante K 1 > 0, ind épendante de n telle que

ku n k _H

1,2

(Q

αn

) ≤ K 1 kf n k _L

2

(Q

αn

) ≤ K 1 kf k _L

2

(Q) .

(33)

Troisi ème étape: Passage à la limite

Dans ce cas, on consid `ere

Q = {(t, x 1 ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t ) < x 1 < ϕ ₂ (t )}×]0, b[,

avec 





ϕ ₁ (t ) < ϕ ₂ (t ), t ∈]0, T [

ϕ ₁ (0) = ϕ ₂ (0) et ϕ ₁ (T ) = ϕ ₂ (T )

Th ´eor `eme 2

Sous les hypoth `eses (H), L = ∂ _t − ∂ _x ²

1

− ∂ _x ²

2

est un

isomorphisme de H ₀ ^1,2 (Q) dans L ² (Q).

(34)

Id ´ee sur la preuve

Proof.

Choisissons une suite de domaines Q α

n

n = 1, 2, ... d ´efinis

pr ´ec ´edemment tels que Q α

n

⊆ Q avec (α _n ) une suite d ´ecroissante vers 0, lorsque n → ∞. Ainsi, on a Q α

_n

→ Q, lorsque n → ∞.

Consid ´erons la solution u α

_n

∈ H ^1,2 (Q α

_n

) du probl `eme de Cauchy-Dirichlet







∂ _t u α

n

− ∂ _x ²

1

u α

n

− ∂ _x ²

2

u α

n

= f dans Q α

n

u α

n

/∂Q−Γ

T−αn

= 0,

Γ _T−α

_n

est la partie de la fronti `ere de Q α

n

o `u t = T − α _n . Soit g u α

n

le prolongement par 0 de u α

n

`a Q. On sait qu’il existe une constante C telle que

g u α

n

L

²

(Q) +

∂ ] _t u α

n

L

²

(Q) +

2 P

i,j=0 1≤i+j ≤2

∂ ⁱ _x ^

₁

∂ _x ^j

₂

u α

n

L

²

(Q)

≤ C kf k _L

2

(Q) .

(35)

Id ´ee sur la preuve

Cel `a signifie que g u α

n

, ∂ ] _t u α

n

, ∂ _x ⁱ ^

₁

∂ _x ^j

₂

u α

n

, pour 1 ≤ i + j ≤ 2, sont des fonctions born ´ees dans L ² (Q) . Donc, pour une suite croissante d’entiers n k , k = 1, 2, ...,

u g α

_nk

* u faiblement dans L ² (Q) , k → ∞

∂ ^ _t u

_α

nk

* ∂ _t u faiblement dans L ² (Q) , k → ∞

∂ _x ⁱ ^

1

∂ _x ^j

₂

u

_α

nk

* ∂ _x ⁱ

1

∂ _x ^j

₂

u faiblement dans L ² (Q) , 1 ≤ i + j ≤ 2, k → ∞.

Donc, u ∈ H ^1,2 (Q) et

∂ _t u − ∂ _x ²

₁

u − ∂ _x ²

₂

u = f dans Q.

D’autre part, la solution u satisfait les conditions aux limites u _/∂Q−Γ

_T

= 0 puisque

∀n ∈ N , u _/Q

_αn

= u α

n

.

Cel `a montre l’existence d’une solution pour le probl `eme (BVP1).

(36)

Quelques g ´en ´eralisations possibles

1) Le domaine non r égulier Q peut être remplac é par un domaine non cylindrique (par un domaine conique, par exemple).

2) La fonction f du membre du c ôt é droit de l’ équation du probl ème (BVP1), peut être prise dans L ^p (Q), o ù

p ∈ ]1, ∞[. La m éthode de d écomposition du domaine utilis ée ici ne semble pas être appropri ée pour l’espace L ^p (Q) lorsque p 6= 2.

3) L’op ´erateur L = ∂ t − ∂ _x ²

1

− ∂ _x ²

2

peut être remplac é par un op érateur d’ordre sup érieur.

(37)

R ´esolution d’une ´equation parabolique avec des conditions aux limites de

type Robin dans un

domaine non rectangulaire

(38)

Introduction

BVP2







∂ _t u − c ² (t ) ∂ _x ² u = f ∈ L ² (Ω)

∂ x u + β i (t ) u _/Γ

_i

= 0, i = 1, 2.

Ω =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t ) < x < ϕ ₂ (t) ,

Γ _i =

(t, ϕ i (t )) ∈ R ² : 0 < t < T , i = 1,2, o `u T est un nombre r ´eel positif, ϕ ₁ et ϕ ₂ sont deux fonctions continues dans [0, T ], Lipschitziennes dans ]0, T ], et telles que: ϕ (t ) := ϕ 2 (t) − ϕ 1 (t) > 0 pour t ∈ ]0, T ] et ϕ (0) = 0.

(39)

Notes historiques

1) β _i = ∞, i=1,2: Le probl `eme de Dirichlet.

B.-K. SADALLAH, A remark on a parabolic problem in a sectorial domain, Applied Mathematics E-Notes, 8(2008), 263-270.

2) β i = 0, i=1,2: Le probl `eme de Neumann.

S. HOFMANN, J.L. LEWIS, The L ^p regularity

problems for the heat equation in non-cylindrical

domains, Journal of Functional Analysis 220, (2005),

1-54.

(40)

Notes historiques

3) β 1 = 0 et β 2 = ∞ ou (β 2 = 0 et β 1 = ∞): Le probl ème m êl é (Dirichlet-Neumann)

G. SAVAR ´ E, Parabolic problems with mixed variable lateral conditions: an abstract approach, J. Math.

Pures Appl. 76 (1997),321-351.

4) f ∈ L ^p (Ω), 1 < p < ∞ : Le cas non Hilbertien.

R. LABBAS, A. MEDEGHRI, B.-K. SADALLAH, Sur une ´equation parabolique dans un domaine non cylindrique, C.R.A.S. Paris, S ´erie 1; (2002), 1017-1022.

(41)

Objectifs

Dans cette partie, nous consid ´erons le cas des conditions aux limites de type Robin, i.e., le cas o `u β _i 6= 0 et β _i 6= ∞ i=1,2.

Objectifs

Trouver des conditions (”minimales”) suffisantes de non d ég én érescence des coefficients (c, β i ) _i=1,2 et des fonctions de param étrisation (ϕ _i ) _i=1,2 pour que le probl ème (BVP2) admette une (unique) solution u poss édant la r égularit é maximale, à savoir u est dans l’espace de Sobolev anisotrope

H _γ ^1,2 (Ω) =

u ∈ H ^1,2 (Ω) : ∂ _x u + β _i u /Γ

_i

= 0, i = 1, 2

avec

H ^1,2 (Ω) =

u ∈ L ² (Ω) : ∂ _t u, ∂ x u, ∂ _x ² u ∈ L ² (Ω) .

(42)

Les hypoth `eses

Concernant les fonctions de param ´etrisation (ϕ _i ) _i=1,2 :

(A) ϕ

⁰

_i (t ) ϕ (t) → 0 lorsque t → 0, i = 1, 2.

Concernant le coefficient c:

Le coefficient c est une fonction d ´erivable et born ´ee sur ]0, T [ et telle que

(C 1 ) 0 < d 1 ≤ c ≤ d 2 , (C 2 ) 0 < m 1 ≤ c (t) c

⁰

(t ) ≤ m 2

pour tout t ∈ ]0, T [, o `u d 1 , d 2 , m 1 et m 2 sont des constantes.

(43)

Concernant les coefficients (β _i ) _i=1,2 :

Les coefficients (β i ) _i=1,2 sont des fonctions continues dans ]0, T ] v ´erifiant

(B 1 ) β ₁ (t) < 0 et β ₂ (t) > 0 pour tout t ∈ [0, T ].

(B 2 )

(1 + β 2 (t )) A (t )

≤ l et

(B 3 )

β ₁ (t) (1 + β ₂ (t)) A (t)

≤ l,

pour tout t ∈ ]0, T [, o `u A (t ) = β ₁ (t ) β ₂ (t) + β ₁ (t) − β ₂ (t )

et l est une constante positive.

(44)

Concernant les coefficients (c, β i ) _i=1,2 :

(BC 1 ) β 1 c ²

est une fonction croissante sur ]0, T [ et

(BC 2 ) β ₂ c ²

est une fonction d ´ecroissante sur ]0, T [ . Concernant les fonctions (c, ϕ i , β _i ) _i=1,2 :

(U) (−1) ⁱ

c ² (t ) β _i (t ) − ϕ

⁰

_i (t ) 2

≥ 0 p.p.t ∈ ]0, T [ , i = 1, 2.

(45)

M éthode utilis ée: La m éthode de d écomposition du domaine

1) Approcher le domaine Ω pour T suffisamment petit par une suite de sous domaines (Ω) n∈ N dans lesquels on peut r ésoudre le probl ème (BVP2) et établir une estimation a priori qui va nous permettre de faire un passage à la limite.

2) Lorsque T est un nombre r ´eel quelconque, on divise Ω en deux parties

D 1 =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t < T 1 , ϕ 1 (t) < x < ϕ 2 (t)

D 2 =

(t , x) ∈ R ² : T 1 < t < T , ϕ ₁ (t ) < x < ϕ ₂ (t ) avec T 1 suffisamment petit. Donc on obtient deux

solutions u 1 ∈ H ^1,2 (D 1 ) dans D 1 et u 2 ∈ H ^1,2 (D 2 ) dans D 2 .

(46)

M éthode utilis ée: La m éthode de d écomposition du domaine

3) Finalement, on montre que la fonction d ´efinie par

u =







u 1 dans D 1

u 2 dans D 2

est la solution du probl ème (BVP2) et poss ède la r égularit é maximale, à savoir u ∈ H ^1,2 (Ω) .

(47)

Le premier r ´esultat: r ´esultat local en temps

Th ´eor `eme principal 1

Supposons que (c, ϕ i , β i ) _i=1,2 v érifient les hypoth èses pr éc édentes. Alors, pour T suffisamment petit, le

probl `eme (BVP2) admet une unique solution u ∈ H ^1,2 (Ω).

H ^1,2 (Ω) =

u ∈ L ² (Ω) : ∂ _t u, ∂ x u, ∂ _x ² u ∈ L ² (Ω) .

(48)

Premi ère étape: R ésolution du probl ème (BVP2) dans un domaine qui peut être transform é en un rectangle

Soit Ω =

(t , x ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t) < x < ϕ ₂ (t )

o `u ϕ ₁ et ϕ ₂ sont telles que ϕ (t ) := ϕ ₂ (t) − ϕ ₁ (t) > 0 pour tout t ∈ [0, T ] .

Theorem Le probl `eme

(8)







∂ t u − c ² (t ) ∂ _x ² u = f ∈ L ² (Ω) , u /t =0 = 0,

∂ x u + β i (t) u /x=ϕ

_i

(t) = 0, i = 1, 2, admet une (unique) solution u ∈ H ^1,2 (Ω).

(49)

Id ´ee sur la preuve

Proof.

(t, x ) 7→ (t , y ) =

t , x − ϕ 1 (t) ϕ (t)

transforme Ω en le rectangle R = ]0, T [ × ]0, 1[ . Posons u (t , x) = v (t , y ) et f (t, x ) = g (t, y ) , alors le probl `eme (8) devient



 



 



∂ t v (t , y ) + a (t , y ) ∂ y v (t , y ) − 1

b ² (t) ∂ _y ² v (t , y ) = g (t, y ) v /t =0 = 0

1 ϕ(t) ∂ _y v + β ₁ (t) v /y=0 = 0,

1 ϕ(t) ∂ y v + β 2 (t) v /y=1 = 0, o `u b (t) = ϕ (t)

c (t ) et a (t, y ) = − y ϕ

⁰

(t ) + ϕ

⁰

₁ (t )

ϕ (t ) .

(50)

Deuxi `eme ´etape: Estimation a priori

Pour chaque n ∈ N , on d ´efinit Ω _n par Ω _n =

(t, x ) ∈ R ² : a n < t < T , ϕ ₁ (t) < x < ϕ ₂ (t ) o ù (a n ) _n est une suite d écroissante vers z éro. Ainsi, on a

ϕ ₁ (a n ) < ϕ ₂ (a n ) , ϕ ₁ (T ) < ϕ ₂ (T ) .

Posons f n = f /Ω

n

, o `u f ∈ L ² (Ω) , on note u n ∈ H ^1,2 (Ω _n ) la solution du probl `eme (8 ) dans Ω _n







∂ _t u n − c ² (t ) ∂ _x ² u n = f n ∈ L ² (Ω _n ) u _n/t=a

_n

= 0

∂ _x u n + β _i (t ) u _n/Γ

_n,i

= 0, i = 1, 2.

Ici Γ _n,i = {(t , ϕ _i (t)) , a _n < t < T } , i = 1, 2.

(51)

Deuxi `eme ´etape: Estimation a priori

Proposition 1

Il existe une constante C > 0 ind ´ependante de n telle que ku n k ² _H

1,2

(Ω

n

) ≤ K kf n k ² _L

2

(Ω

n

) ≤ K kf k ² _L

2

(Ω) .

kuk _H

^1,2

_(Ω) =

kuk ² _H

1

(Ω) + k∂ _x ² uk ² _L

2

(Ω)

¹₂

.

(52)

Un r ´esultat utilis ´e

Lemma

Pour tout > 0 satisfaisant ϕ (t) ≤ , il existe une constante C > 0 ind ´ependante de n, telle que

∂ _x ^j u n

2 L

²

(Ω

n

) ≤ C ^2(2−j)

∂ _x ² u n

2 L

²

(Ω

n

) , j = 0,1.

(53)

Preuve de la proposition 1

Proof.

Dans la suite, k.k d ´enote la norme L ² . On a kf _n k ² _L

2

(Ω

n

) =

∂ _t u n − c ² ∂ _x ² u n , ∂ _t u n − c ² ∂ _x ² u n

= k∂ _t u n k ² _L

2

(Ω

n

) +

c ² .∂ _x ² u n

2 L

²

(Ω

n

)

−2

∂ t u n , c ² ∂ _x ² u n

.

(54)

Estimation du produit scalaire −2

∂ _t u _n , c ² ∂ _x ² u _n

Lemme

−2

∂ _t u n , c ² ∂ _x ² u n

≥ − |I _n,1 |−|I _n,2 |−|J _n,1 |−|J _n,2 |−

Z

Ω

n

2cc

⁰

(∂ _x u n ) ² dtdx .

I _n,k = (−1) ^k+1 Z T

a

n

c ² ϕ

⁰

_k (t) [∂ _x u _n (t, ϕ _k (t ))] ² dt, k = 1, 2, J n,k = (−1) ^k 2

Z T a

n

β _k c ²

(t ) ∂ _t u n (t, ϕ k (t )) .u n (t , ϕ _k (t)) dt , k = 1, 2.

|I _n,1 | + |I _n,2 | + |J _n,1 | + |J _n,2 | ≤ K

∂ _x ² u _n

2 . Finalement

−2

∂ _t u _n , c ² ∂ _x ² u _n

≥ −K

∂ _x ² u _n

2 − K ₂

∂ _x ² u _n

2 .

(55)

Retour `a la preuve de la proposition 1

kf _n k ² _L

2

(Ω

n

) ≥ k∂ _t u n k ² _L

2

(Ω

n

) +

c ² ∂ _x ² u n

2 L

²

(Ω

n

) − K

∂ _x ² u n

2 L

²

(Ω

n

)

−K ₂

∂ _x ² u n

2 L

²

(Ω

n

)

≥ k∂ t u n k ² _L

2

(Ω

n

) + d ₁ ² − K − K 2 ∂ ² _x u n

2 L

²

(Ω

n

) . Gr âce aux estimations pr éc édentes et en choisissant tel que d ₁ ² − K − K 2

> 0, alors il existe une constante C > 0, ind ´ependante de n v ´erifiant

ku n k _H

1,2

(Ω

n

) ≤ C kf k _L

2

(Ω) .

(56)

Troisi ème étape: Passage à la limite

Dans ce cas, on d ´efinit Ω par Ω =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t ) < x < ϕ ₂ (t )

avec

ϕ ₁ (0) = ϕ ₂ (0) ϕ ₁ (T ) < ϕ ₂ (T ) .

Th ´eor `eme principal 1

Supposons que (c, ϕ i , β _i ) _i=1,2 v érifient les hypoth èses pr éc édentes. Alors, pour T suffisamment petit, le

probl `eme (BVP2) admet une unique solution u ∈ H ^1,2 (Ω).

H ^1,2 (Ω) =

u ∈ L ² (Ω) : ∂ _t u, ∂ x u, ∂ _x ² u ∈ L ² (Ω) .

(57)

Deuxi ème r ésultat: r ésultat global en temps

Dans ce cas, on d ´efinit Ω par Ω =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t ) < x < ϕ ₂ (t )

avec

ϕ ₁ (0) = ϕ ₂ (0) ϕ ₁ (T ) < ϕ ₂ (T ) .

Th ´eor `eme principal 2

Supposons que (c, ϕ i , β _i ) _i=1,2 v érifient les hypoth èses pr éc édentes. Alors, le probl ème (BVP2) admet une unique solution u ∈ H ^1,2 (Ω).

H ^1,2 (Ω) =

u ∈ L ² (Ω) : ∂ _t u, ∂ x u, ∂ _x ² u ∈ L ² (Ω) .

(58)

Id ´ee sur la preuve

Proof.

On divise Ω en deux parties, Ω = D 1 ∪ D 2 ∪ Γ _T

₁

o `u D 1 =

(t, x ) ∈ R ² : 0 < t < T 1 , ϕ ₁ (t ) < x < ϕ ₂ (t ) D 2 =

(t , x) ∈ R ² : T 1 < t < T , ϕ ₁ (t) < x < ϕ ₂ (t) Γ _T

₁

=

(T 1 , x ) ∈ R ² : ϕ ₁ (T 1 ) < x < ϕ ₂ (T 1 )

avec T 1 suffisamment petit. Dans la suite, f sera un él ément fix é de L ² (Ω) et f i = f _/D

_i

, i = 1, 2. On sait qu’il existe une unique solution u ₁ ∈ H ^1,2 (D ₁ ) du probl `eme (BVP2) dans D ₁ , et correspondant `a un second membre f ₁ .

Th ´eor `eme de trace

Si u ∈ H ^1,2 (D ₁ ), alors u /Γ

_T1

∈ H ¹ (Γ _T

₁

) , u _/x=ϕ

₁

_(t) ∈ H

³⁴

(Γ _1,2 ) et u /x=ϕ

2

(t) ∈ H

³⁴

(Γ _2,2 ) , o ù Γ _i _,2 sont les parties de la fronti ère de D 2 o ù x = ϕ _i (t ) , i = 1, 2.

(59)

Theorem Le probl `eme







∂ _t u 2 − c ² (t) ∂ _x ² u 2 = f 2 ∈ L ² (D 2 ) u 2/Γ

_T1

= ψ

∂ _x u 2 + β _i (t ) u 2/Γ

i,2

= 0, i = 1, 2,

o `u ψ = u 1/Γ

_T1

, Γ i,2 sont les parties de la fronti `ere de D 2 o `u x = ϕ _i (t) , i = 1, 2, admet une (unique) solution

u 2 ∈ H ^1,2 (D 2 ) .

Finalement, on montre que la fonction d ´efinie par u =







u 1 dans D 1

u 2 dans D 2

est la solution du probl `eme (BVP2) et poss `ede la

r égularit é maximale, à savoir u ∈ H ^1,2 (Ω) .

(60)

Quelques g ´en ´eralisations possibles

1) Le cadre non Hilbertien:







∂ _t u (t, x ) − ∂ _x ² u (t, x ) = f (t, x ) ∈ L ^p (Ω), 1 < p < ∞,

∂ _x u + β ₁ (t ) u /x=0 = 0,

∂ _x u + β ₂ (t ) u /x=t

^α

= 0, Ω =

(t , x ) ∈ R ² : 0 < t < 1, 0 < x < t ^α , α > 1/2.

Trouver des conditions sur the coefficients (β _i ) _i=1,2 et les nombres α, p pour que le probl ème pr éc édent admette une solution qui poss ède la r égularit é maximale, à savoir une solution u appartenant à l’espace de Sobolev

anisotrope

H _p ^1,2 (Ω) = {u ∈ L ^p (Ω), ∂ _t u, ∂ _x ^j u ∈ L ^p (Ω), j = 1, 2}.

2) Les conditions aux limites de type Robin peuvent ˆetre remplac ´ees par des conditions aux limites de type

Neumann.

(61)

Quelques g ´en ´eralisations possibles

3) Le cas d’une seule variable d’espace peut être étendu au cas de deux variables d’espace, par exemple au probl ème



 



 



∂ t u − ∂ _x ²

₁

u − ∂ _x ²

₂

u = f ∈ L ² (Q), u /t=0 = 0,

∂ x

₁

u.ν x

₁

+ ∂ x

₂

u.ν x

₂

+ β i u _/Σ

_i

= 0, i = 1,2, Q =

(t , x 1 ) ∈ R ² : 0 < t < T , ϕ ₁ (t) < x 1 < ϕ ₂ (t) × ]0, b[ ,

Γ _i =

(t, ϕ i (t )) ∈ R ² : 0 < t < T , i = 1,2, Σ _i = Γ _i × ]0, b[, i = 1,2

et ν = (ν _t , ν _x

₁

, ν _x

₂

) est le vecteur normal `a ∂Q.

(62)

R égularit é de la solution d’une équation parabolique

dans un domaine non cylindrique: deux

approches.

(63)

Premi `ere approche:

propri ét és de r égularit é de la solution d’une équation

parabolique dans un

poly `edre.

(64)

Position du probl `eme

BVP3

Soit G un domaine born é et non convexe de R ³ . Dans G, on consid ère le probl ème aux limites







∂ _t u − ∂ _x ² u − ∂ _y ² u = f u _/∂

_p

G = 0,

avec ∂ p G est la fronti `ere parabolique de G et f ∈ L ² (G).

Dans la suite, l’op ´erateur ∂ _t − ∂ _x ² − ∂ _y ² sera not ´e L.

(65)

Description du domaine

Ici, on introduit le domaine non convexe dans lequel on va travailler.

Comme mod èle d’un domaine non-convexe, on choisit un domaine Q, qui est l’union de deux parall él épip èdes.

Q est le domaine le plus simple de R ³ qui garantit

l’apparition de la partie singuli `ere dans la solution du

probl `eme (BVP3).

(66)

Description du domaine

Voici quelques notations dans un syst `eme de coordonn ´ees de variables (t , x, y ):

Q = Q 1 ∪ Q 2 ∪ Ω, o `u Q 1 = ]−1, 0[ × ]−1, 1[ × ]0, 1[, Q 2 = ]0, 1[ ³ et Ω = {0} × ]0, 1[ × ]0, 1[.

Concernant les faces et l’ar ˆete du domaine Q, on a Ω ₁ = {−1} × ]−1, 1[ × ]0, 1[,

Ω

⁰

₁ = ]−1, 0[ × {1} × ]0, 1[ ∪ ]−1, 0[ × {−1} × ]0, 1[, Ω

⁰⁰

₁ = {0} × ]−1, 0[ × ]0, 1[,

Ω

⁰

₂ = ]0, 1[ × {0} × ]0, 1[ ∪ ]0, 1[ × {1} × ]0, 1[, Ω

⁰⁰

₂ = {1} × ]0, 1[ × ]0, 1[, A = {0} × {0} × ]0, 1[.

(67)

Le r ´esultat principal

Th éor ème 1 Le probl ème

(PQ)

Lu = f ∈ L ² (Q) u _/∂Q− ( ^Ω

⁰⁰1

∪Ω

⁰⁰₂

) = 0,

∂Q est la fronti `ere de Q, admet une solution u = u R + w , avec u R ∈ H ^1,2 (Q) et w ∈ H ^r,2r (Q) pour tout r < 3/4.

H ^r,2r (Ω) =

H ^1,2 (Ω) , L ² (Ω)

1−r ∀r ∈ ]0, 1[ .

(68)

Le probl `eme dans Q ₁

Soit f un él ément fix é de L ² (Q) et f i = f _/Q

_i

, i = 1,2.

Proposition 1 Le probl `eme

(PQ 1 )

Lu 1 = f 1 ∈ L ² (Q 1 ) u _1/∂Q

1

− ( ^{Ω∪A∪Ω}

⁰⁰1

) = 0, admet une (unique) solution u 1 ∈ H ^1,2 (Q 1 ).

Dans la suite, on note la trace u 1/Ω par ϕ, qui est dans l’espace de Sobolev H ¹ (Ω) car u 1 ∈ H ^1,2 (Q 1 ).

(69)

Le probl `eme dans Q ₂

Consid ´erons le probl `eme suivant dans Q 2

(PQ 2 )







Lu 2 = f 2 ∈ L ² (Q 2 ) u _2/Ω = ϕ ∈ H ¹ (Ω) , u _2/∂Q

2

− ( ^Ω∪Ω

⁰⁰2

) = 0.

Il est bien connu que ce probl `eme admet une unique solution u 2 dans H ^1,2 (Q 2 ) si et seulement si la condition de compatibilit ´e suivante est satisfaite ϕ ∈ H ₀ ¹ (Ω) i.e.,

a) ϕ /∂Ω−A = 0

b) ϕ _/A = 0.

(70)

Remarque 1

1) Observons que les conditions aux limites du probl `eme (PQ 1 ) donnent ϕ _/∂Ω−A = 0. Donc la condition de

compatibilit ´e a) est automatiquement satisfaite.

D’autre part, on a ϕ _/A = u 1/A mais on ne sait pas si u 1/A

s’annule. c’est la raison pour laquelle des singularit és peuvent apparaitre dans la solution u 2 du probl ème (PQ 2 ), et par cons équent dans la solution u du probl ème (PQ).

2) La solution u du probl `eme (PQ) sera d ´efinie par u =

u 1 dans Q 1

u 2 dans Q 2

o `u u 1 et u 2 sont les solutions de (PQ 1 ) et (PQ 2 ) respectivement.

(71)

Remarque 2

Observons que u 1/Ω = u 2/Ω = ϕ et u 1 ∈ H ^1,2 (Q 1 ). Par suite, si u 2 ∈ H ^1,2 (Q 2 ) alors u ∈ H ^1,2 (Q)

D’autre part, u est r ´eguli `ere dans Q 1 car

u /Q

1

= u 1 ∈ H ^1,2 (Q 1 ), et cela signifie que les singularit ´es

qu’on cherche sont contenues dans u /Q

2

, i.e., dans u 2 .

Donc, dans la suite, on se restreint `a u 2 .

(72)

Un probl `eme auxiliaire

On introduit des fonctions (P j ) _j∈

N qui vont nous permettre l’ ´etude de la partie singuli `ere de u 2 .

Lemme 1

∀ (x , y ) ∈ Ω,∀j ∈ N , P j (x, y ) = sin j πy cos ^π ₂ x . a) P j/∂Ω−A = 0 ∀j ∈ N ,

b) P j/A = sin j πy ∀j ∈ N , ∀y ∈ ]0, 1[, c) P j ∈ H ¹ (Ω) ∀j ∈ N .

Pour d éterminer la r égularit é des singularit és dans u 2 , on aura besoin d’ étudier ce probl ème pos é dans Q 2

(PQ 2 ) ⁰







Lw j = 0

w j/Ω = P j ∀j ∈ N w _j/∂Q

2

− ( ^Ω∪Ω

⁰⁰2

) = 0,

(73)

o ù P j sont les fonctions d éfinies dans le Lemme 1. Le probl ème (PQ 2 ) ⁰ admet une unique solution w j ∈ L ² (Q 2 ) pour j ∈ N . Donc, on peut d éfinir la fonction v dans Ω par

v = u 2 − X

j∈ N

a _j w _j

o `u u ₂ est la solution du probl `eme (PQ ₂ ) et a _j

j ∈ N sont les coefficients de d ´ecomposition de ϕ _/A dans L ² (A)

ϕ _/A = X

j∈ N

a _j P _j .

En effet, les fonctions P _j/A = sin jπy forment une base de L ² (A).

Donc, gr âce aux propri ét és de P j

j ∈ N dans le Lemme 1, il est facile de v ´erifier que

v /Ω = ϕ − X

j∈ N

a j P j ∈ H ₀ ¹ (Ω)

(74)

et v est l’unique solution du probl `eme suivant







Lv = f 2 ∈ L ² (Q 2 ) v /Ω = ϕ − P

j∈ N a j P j

v _/∂Q

2

− ( ^Ω∪Ω

⁰⁰2

) = 0.

Par suite v ∈ H ^1,2 (Q 2 ) et on a d émontr é le r ésultat suivant

Proposition 2

La solution u 2 du probl ème (PQ 2 ) peut être écrite sous la forme

u 2 = v + X

j∈ N

a j w j

o `u v ∈ H ^1,2 (Q 2 ) et w j est la solution du probl `eme (PQ 2 ) ⁰ , pour j ∈ N .

(75)

Remarque 4

La partie singuli `ere P

j∈ N a j w j d ´epend de f via les coefficients a j , j ∈ N . En effet, les coefficients a j , j ∈ N d ´ependent de ϕ et la solution u 1 correspondant au second membre f 1 = f /Q

₁

Etude, dans les espaces de Sobolev, de quelques probl`emes paraboliques dans des domaines non cylindriques