Feuille d’exercices n 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE

Feuille d’exercices n 0 - RUDIMENTS DE LOGIQUE

QUANTIFICATEURS ET CONNECTEURS LOGIQUES Exercice 1.

Enoncer pour chaque proposition ´ P qui suit, la proposition p non P q . 1. S’il pleut, je prends mon parapluie.

2. Chaque ´ et´ e, il pleut au moins une journ´ ee en Bretagne.

3. L’´ et´ e dernier, il a plu tous les jours en Bretagne.

4. Dans la classe, il y a 16 filles et 18 gar¸ cons.

5. Dans la classe, il y a autant de filles que de gar¸ cons.

Exercice 2.

Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 1. @x P R, @y P R, x y ² 1 ;

2. @ x P R , D y P R , x y ² 1 ; 3. D x P R , @ y P R , x y ² 1 ; 4. Dx P R, Dy P R, x y ² 1 ;

5. @n P N, n ¡ 2 ñ n ¥ 3 6. @x P R, x ¡ 2 ñ x ¥ 3 7. @p x, y q P pR q ² , x   y ñ 1

x ¡ 1 y Exercice 3.

Traduire en fran¸ cais les ´ enonc´ es math´ ematiques suivants puis ´ ecrire leur n´ ega- tion :

1. D m P R , @ x P I, f p x q ¥ m ; 2. @ x P I, D y P R , f p x q y ; 3. D y P R, @ x P I, f p x q y ;

4. D n 0 P N , @ n P N , n ¥ n 0 , u n u n

5. D T ¡ 0, @ x P R , f p x T q f p x q ; 6. D x 0 P I, @ x P I, f p x q ¤ f p x 0 q . Exercice 4.

Soit f une fonction d´ efinie sur un intervalle I et ` a valeurs dans R . Traduire avec des quantificateurs les ´ enonc´ es suivants : d´ efinie sur R et ` a valeurs r´ eelles :

1. f est croissante ;

2. f est strictement d´ ecroissante ; 3. f est positive ;

4. f est major´ ee ;

5. f est la fonction nulle ;

6. f est une fonction paire ; 7. f s’annule ;

8. f ne s’annule qu’une unique fois ; 9. f est une fonction constante ; 10. f pr´ esente un minimum.

Exercice 5.

Donner la n´ egation de chaque assertion obtenue ` a l’exercice pr´ ec´ edent.

Exercice 6.

Ecrire la n´ ´ egation des assertions suivantes.

1. @ x P R , D n P N , x ¤ n 2. D M P R , @ n P N , | u n | ¤ M 3. @p x, y q P R ² , xy yx

4. @ x P R , D y P R , xyx 1 x 5. @ ε ¡ 0, D N P N , @ n ¡ N, | u n |   ε 6. @ x P R , f p x q ¥ 0 ñ x ¥ 0

7. @ ε ¡ 0, D α ¡ 0, @p x, y q P R ² , | x y |   α ñ | f p x q f p y q|   ε LES DIFF´ ERENTS RAISONNEMENTS Exercice 7.

1. Soit f : R Ñ R une fonction impaire. Montrer que f p 0 q 0.

2. On suppose de plus f d´ erivable, prouver que f ¹ est paire.

Exercice 8.

Montrer par contrapos´ ee que : @ ε ¡ 0, | x |   ε ñ x 0.

Exercice 9.

D´ emontrer que ^ln _ln ^p _p ² ₃ ^q _q est un nombre irrationnel.

Exercice 10.

D´ eterminer toutes les applications f de N vers R telles que :

@ m, n P N , f p m n q f p m q f p n q . Exercice 11.

1. Soit p u _n q n PN d´ efinie par u ₀ 0 et pour tout n P dans N , u _{n 1} ?

3u _n 4.

Montrer que pour tout n entier naturel, 0 ¤ u n ¤ 4.

2. Soit p u _n q n PN d´ efinie par u ₀ 1, u ₁ 2 et pour tout n de N , u _{n 2} : u ² _{n 1} u _n Montrer que la suite pu n q est bien d´ efinie et d´ eterminer une expression explicite de u n pour tout n dans N .

3. Soit p u _n q n PN la suite d´ efinie par u ₀ 0, u ₁ 0, u ₂ 2 et pour tout n dans N , u n 3 3u n 2 3u n 1 u n .

Montrer que pour tout n dans N , u _n n p n 1 q .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020