Première 6 S – 2007/2008 Exercices – 2
Opérations sur les fonctions
Exercice 1
Soitf la fonction définie sur Rparf(x) =x2.
1/ Afficher à l’écran de la calculatrice le graphe def ainsi que les graphes des fonctions x7→x2+ 3, x7→x2−7 et x7→x2+ 1. Que remarque-t-on ?
2/ Afficher à l’écran de la calculatrice le graphe def ainsi que les graphes des fonctions x7→3x2,x7→ −2x2 etx7→ 12x2. Que remarque-t-on ?
3/ Afficher à l’écran de la calculatrice le graphe def ainsi que les graphes des fonctions x7→(x+ 5)2,x7→(x−4)2 etx7→(x+ 2)2. Que remarque-t-on ?
Dans toute la suite de l’activité, le plan est rapporté à un repère orthogonal (O;−→ı ,−→ ).
Exercice 2
Soit a et b deux réels tels que a < b, f une fonction définie sur [a;b], Cf sa courbe représentative etλun réel.
1/ Soitg=f +λ, c’est-à-direg:x7→f(x) +λetCg sa courbe représentative.
a) Déterminer l’ensemble de définition deg.
b) Pour tout xde [a;b], on note M etN les points de Cf etCg d’abscisse x.
Exprimer −−→
M N en fonction de −→ı et−→ . c) Comment obtenirCg à partir deCf?
2/ Soith=λf, c’est-à-direh:x7→λf(x) et Ch sa courbe représentative.
a) Déterminer l’ensemble de définition deh.
b) Pour tout xde [a;b], on note M etP les points de Cf etCh d’abscisse x.
Exprimer yP en fonction de yM. c) Comment obtenirCh à partir de Cf? d) Que peut-on dire dans le cas où λ=−1 ? 3/ Soitk:x7→f(x+λ) et Ck sa courbe représentative.
a) Déterminer l’ensemble de définition dek.
b) Pour tout x de [a;b], on note M le point de Cf d’abscisse x et Q le point d’abscisse (x−λ) deCk.
Exprimer −−→
M Q en fonction de −→ı et−→ . c) Comment obtenirCk à partir de Cf?
Exercice 3
Soitϕla fonction définie surRparϕ(x) =−x2+ 8x−7 etCϕsa représentation graphique.
1/ Développer, réduire et ordonner 9−(x−4)2.
2/ Montrer que Cϕ est une parabole en explicitant les transformations successives qui permettent d’obtenir Cϕ à partir de la parabole P d’équationy=x2.
3/ En déduire les variations deϕ.
Opérations sur les fonctions – 1/2
Première 6 S – 2007/2008 Exercices – 2
Exercice 4
On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction u.
1/ Quel est l’ensemble de définition deu? 2/ Donner le tableau de variations de u.
3/ Discuter du nombre de solutions de l’équation u(x) =m suivant les valeurs dem.
4/ Déterminer l’expression de u(x) en fonction dex.
5/ Construire la courbe de chacune des fonctions suivantes : a) f :x7→u(x−2) ;
b) g:x7→u(x) + 3 ;
c) h:x7→2u(x) ; d) k:x7→ |u(x)|.
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−6
−5
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4 5 6
0
Exercice 5
On considère deux fonctionsuetv. Ondéfinit les fonctionsu+v etuvpar : (u+v)(x) = u(x) +v(x) et (uv)(x) =u(x)v(x).
1/ Que doivent vérifier les ensembles de définition deu etvpour pouvoir définiru+v? 2/ Démontrer que pour tout réelλ,λ(u+v) =λu+λv.
3/ Démontrer que pour toute fonction w,w(u+v) =wu+wv.
4/ Sur le graphique précédent, représenter la fonctionvdéfinie sur [−6; 7] parv(x) =x puis la fonction w1 =u+v.
5/ Avec la fonctionude l’exercice précédent et la fonctionvci-dessus, expliciterw2=uv puis tracer sa représentation graphique.
Opérations sur les fonctions – 2/2
