Propriété CFAR-Matrice du Détecteur BORD -Application Radar sur Signaux Expérimentaux non-Gaussiens

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Submitted on 29 Feb 2020

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Propriété CFAR-Matrice du Détecteur BORD -Application Radar sur Signaux Expérimentaux

non-Gaussiens

Frédéric Pascal, Jean-Philippe Ovarlez, Philippe Forster, Pascal Larzabal

To cite this version:

Frédéric Pascal, Jean-Philippe Ovarlez, Philippe Forster, Pascal Larzabal. Propriété CFAR-Matrice

du Détecteur BORD -Application Radar sur Signaux Expérimentaux non-Gaussiens. Vingt-cinquième

Colloque GRETSI 2005, Sep 2005, Louvain-la-Neuve, Belgique. �hal-02495007�

Propri´ et´ e CFAR-Matrice du D´ etecteur BORD - Application Radar sur Signaux Exp´ erimentaux non-Gaussiens

Fr´ ed´ eric Pascal ^1,2,3 , Jean-Philippe Ovarlez ¹ , Philippe Forster ² , Pascal Larzabal ³

1 ONERA DEMR/TSI

Chemin de la Huni` ere, F-91761 Palaiseau Cedex, France

2 GEA

1 Chemin Desvalli` eres, F-92410 Ville d’Avray, France

3 ENS Cachan/SATIE

61 Avenue du Pr´ esident Wilson, F-94235 Cachan Cedex, France

pascal@onera.fr, ovarlez@onera.fr, philippe.forster@cva.u-paris10.fr, pascal.larzabal@satie.ens-cachan.fr

R´esum´e – Cet article propose d’´ etudier, dans une premi` ere partie, la propri´ et´ e ”CFAR-Matrice” du d´ etecteur BORD de mani` ere th´ eorique, et par la suite, d’utiliser ce r´ esultat sur signaux exp´ erimentaux. Son application sur donn´ ees exp´ erimentales ouvre une nouvelle voie pour l’ajustement du seuil de d´ etection dans la communaut´ e radar (probl` eme de la r´ egulation de fausse alarme sur donn´ ees h´ et´ erog` enes). L’analyse exp´ erimentale de signaux valide plusieurs r´ esultats th´ eoriques importants.

Abstract – This paper is devoted, in a first section, to the BORD theoretical analysis. The ”CFAR-Matrix” property is derived in a first time, and in a second section, this property is used on experimental radar signals. This application allows to adjust the detection threshold for a given probability of False Alarm when the clutter is non-Gaussian and modelled by a SIRP. Moreover, experimental analysis confirms several theoretical results, developed in other papers.

1 Introduction

Depuis plusieurs ann´ ees, la caract´ erisation de l’envi- ronnement non-Gaussien (fouillis de sol ou de mer) dans la communaut´ e radar connaˆıt un int´ erˆ et grandissant [1, 2, 3], notamment depuis que des mesures exp´ erimentales [4] ont montr´ e que celles-ci pouvaient ˆ etre correctement d´ ecrites par des processus sph´ eriques al´ eatoires invariants (SIRP), englobant de nombreuses lois classiques (Gauss, K-distribution, Weibull,...).

En d´ etection radar, le probl` eme fondamental consiste

`

a d´ etecter, dans un vecteur d’observation y de dimension m , un signal complexe s connu, caract´ erisant une cible, corrompu par un bruit de fouillis c additif non-Gaussien.

Ce probl` eme se formalise g´ en´ eralement par un test d’hy- poth` eses :

H 0 : y = c y _i = c _i i = 1 , . . . , N

H 1 : y = s + c y _i = c _i i = 1 , . . . , N (1) o` u les y <sub>i</sub> sont des vecteurs d’observations ind´ ependants appel´ es ”donn´ ees secondaires”, contenant uniquement le bruit de fouillis et permettant d’estimer les param` etres du fouillis (Matrice de covariance, puissance, densit´ e, ...).

La r´ esolution de ce probl` eme dans le cadre d’un bruit additif non-Gaussien SIRP a permis de construire plu- sieurs tests de rapports de vraisemblance g´ en´ eralis´ es (GL- RT), comme le GLRT-Linear Quadratic (GLRT-LQ) [1, 2]

ou le BORD (Bayesian Optimum Radar Detector) Asymp-

totique [3]. Un des probl` emes majeurs de ces d´ etecteurs est que la matrice de covariance des donn´ ees est inconnue.

Il faut par cons´ equent l’estimer puis la substituer dans le d´ etecteur qui sera qualifi´ e d` es lors de d´ etecteur adaptatif.

Dans cet article nous nous proposons d’´ etudier les per- formances de deux estimateurs de la matrice de covariance des donn´ ees. La premi` ere partie fait un rapide ´ etat de l’art dans le domaine de la d´ etection radar, en pr´ esentant la mod´ elisation du fouillis et les estimateurs utilis´ es. Dans la deuxi` eme partie, une ´ etude th´ eorique originale va per- mettre d’´ etablir la propri´ et´ e de ”CFAR-Matrice” du d´ etec- teur adaptatif selon l’estimateur utilis´ e, c’est un des ap- ports de ce papier. Enfin, dans la troisi` eme partie, une ap- plication r´ ealis´ ee sur des donn´ ees exp´ erimentales, va ˆ etre pr´ esent´ ee, avec les deux estimateurs de la matrice ´ etudi´ es, elle permet de valider certains r´ esultats th´ eoriques d´ ej` a

´ etablis.

2 Formulation du probl` eme et En- vironnement

Rappelons qu’un SIRP [5] est le produit d’une variable

al´ eatoire positive τ (texture) de densit´ e de probabilit´ e

p ( τ ) et d’un vecteur Gaussien x de dimension m (spe-

ckle ), ind´ ependant de τ , de moyenne nulle et de covariance

M = E(xx ^† ) v´ erifiant la normalisation Tr(M) = m , o` u †

d´ esigne l’op´ erateur ”transpos´ e-conjugu´ e” :

c = √ τ x .

La densit´ e de probabilit´ e de c est alors d´ efinie par : p m (c) = 1

( π τ ) ^m |M|

_+∞

0 exp

− c ^† M ⁻¹ c τ

p ( τ ) dτ , (2) Le probl` eme majeur des d´ etecteurs ´ evoqu´ es pr´ esent´ es dans l’introduction est la non connaissance de la matrice de covariance M . En pratique, M est inconnue et une estim´ ee est n´ ecessaire. Cette derni` ere doit ´ evidemment v´ erifier la condition de normalisation Tr( M) = m . Plu- sieurs estimateurs ont ´ et´ e propos´ es dans la litt´ erature com- me la ”Normalized Sample Covariance Matrix Estimate”

(NSCME) [6, 7], d´ efinie comme : M NSCME = m

N N i=1

c _i c ^† _i c ^† _i c _i = m

N N i=1

x _i x ^† _i

x ^† _i x _i , (3) o` u pour 1 ≤ i ≤ N , c _i = √

τ i x _i .

Par ailleurs, dans [8], nous avons ´ etudi´ e certaines pro- pri´ et´ es de l’estimateur M _{F P} du Point Fixe, issu de la th´ eorie du maximum de vraisemblance et d´ efini comme

´ etant l’unique solution de l’´ equation suivante [9] : M _{F P} = m

N N i=1

c _i c ^† _i c ^† _i M ⁻¹ _{F P} c i

. (4)

Dans cet article, nous nous proposons d’´ etudier les pro- pri´ et´ es de la version adaptative du BORD asymptotique.

Ce d´ etecteur est d´ efini dans [3] de la fa{ccon suivante : Λ( ˆ M) = |p ^† M ⁻¹ y| ²

(p ^† M ⁻¹ p)(y ^† M ⁻¹ y)

H

H ≷

λ, (5)

o` u p est le ”steering vector” caract´ erisant la vitesse de la cible (Doppler). Ce d´ etecteur, construit avec l’estima- teur du point fixe ou la NSCME, ne d´ epend pas de la loi statistique de la texture, c’est la propri´ et´ e de Taux de Fausse Alarme Constant (CFAR) quelle que soit la texture (”CFAR-texture”) ´ etablie ` a plusieurs reprises.

3 R´ esultats Th´ eoriques

Dans cette partie, nous allons ´ etablir la propri´ et´ e ”CFAR- Matrice” de ˆ Λ( M _{F P} ). Avant tout, d´ efinissons la propri´ et´ e

”CFAR-Matrice” d’un d´ etecteur adaptatif.

D´efinition 1 Un d´ etecteur adaptatif Λ( ˆ M) v´ erifie la pro- pri´ et´ e ”CFAR-Matrice” si sa distribution statistique est ind´ ependante de la matrice M de covariance estim´ ee par M.

Cette propri´ et´ e est, comme nous allons le voir par la suite, d’un int´ erˆ et pratique majeur, elle fait l’objet du th´ eor` eme suivant :

Th´eor`eme 1 Soient M 1 et M 2 deux matrices de cova- riance distinctes (M ₁ = M ₂ ), soit M _{F P,1} (respectivement M _{F P,2} ) l’estimateur du point fixe de M ₁ (respectivement

de M ₂ ),

alors, sous l’hypoth` ese H 0 (pas de cible), L

Λ( ˆ M _{F P,1} )

= L

Λ( ˆ M _{F P,2} )

(6) o` u L ( X ) repr´ esente la loi de la variable al´ eatoire X .

Ainsi, le th´ eor` eme 1 ´ etablit la propri´ et´ e ”CFAR-Matrice”

du d´ etecteur BORD adaptatif construit avec l’estimateur du point fixe M F P . Voici la d´ emonstration de ce th´ eor` eme.

Preuve 1 Nous devons montrer que la distribution de Λ( ˆ M _{F P,1} ) ne d´ epend pas de la matrice de covariance M ₁ . Consid´ erons tout d’abord N donn´ ees secondaires ayant pour matrice de covariance M ₁ , i.e. pour i = 1 , . . . , N ,

x i ∼ N ( 0, M 1 ) .

Dans cette d´ emonstration, des donn´ ees secondaires Gaus- siennes vont ˆ etre utilis´ ees car l’estimateur du point fixe ainsi que le d´ etecteur sont ind´ ependants de la texture : on peut donc prendre τ i = 1 , ∀i .

L’estimateur du point fixe de M 1 est d´ efini par M _{F P,1} = m

N N i=1

x i x ^† _i x ^† _i M ⁻¹ _{F P,1} x i

,

et le d´ etecteur adaptatif BORD est d´ efini par Λ( ˆ M F P,1 ) = |p ^† M ⁻¹ _{F P,1} x| ²

(p ^† M ⁻¹ _{F P,1} p)(x ^† M ⁻¹ _{F P,1} x)

H

H ≷

λ,

o` u x repr´ esente le vecteur d’observation avec, x ∼ N (0, M <sub>1</sub> ) . La premi` ere ´ etape consiste ` a blanchir les donn´ ees par le changement de variables y = M ^−1/2 ₁ x . Alors, y ∼ N (0, I) . On effectue ce changement dans l’estimateur du point fixe,

M _{F P,1} = m N

N i=1

M ^1/2 ₁ y _i y ^† _i M ^1/2 ₁ y ^† _i

M ^−1/2 ₁ M F P,1 M ^−1/2 _{1 −1} y _i . En posant maintenant

T = M ^−1/2 ₁ M _{F P,1} M ^−1/2 ₁ ,

on constate que T est l’unique estimateur du point fixe (` a une rotation pr` es) dans le cas de donn´ ees y _i ayant comme matrice de covariance, l’identit´ e I .

On s’int´ eresse maintenant au d´ etecteur, auquel on ap- plique aussi le changement de variable

Λ( ˆ M F P,1 ) = |p ^† ₁ T ⁻¹ y| ² (p ^† ₁ T ⁻¹ p ₁ )(y ^† T ⁻¹ y)

H

H ≷

λ,

o` u p <sub>1</sub> = M <sup>−1/2</sup> <sub>1</sub> p . La distribution de Λ( ˆ M) ne d´ epend pas de p , et ainsi, la loi de Λ( ˆ M F P,1 ) est la mˆ eme que la loi de Λ( ˆ T). Ceci conclut la d´ emonstration du th´ eor` eme 1 .

Remarque : Λ( ˆ M _NSCME ) ne v´ erifie pas la propri´ et´ e

”CFAR-Matrice”.

Les propri´ et´ es du d´ etecteur construit avec les deux es-

timateurs M _NSCME et M _{F P} sont synth´ etis´ ees dans le

tableau suivant :

Propri´ et´ es de ˆ Λ( M) M _{F P} M _NSCME

CFAR-texture Oui Oui

CFAR-Matrice Oui Non

Les r´ esultats contenus dans le tableau montrent que, d’un point de vue op´ erationnel, l’estimateur du point fixe M _{F P} est plus int´ eressant. En effet, les deux propri´ et´ es concernant le d´ etecteur construit avec M F P , affirment l’ind´ ependance de ce d´ etecteur avec la texture et avec la matrice de covariance des donn´ ees. Ceci signifie que, bien que prenant en compte l’impulsivit´ e du fouillis dans sa mod´ elisation non-Gaussienne, ˆ Λ( M _{F P} ) aura la mˆ eme distribution quel que soit le SIRP utilis´ e, et cette distribu- tion peut-ˆ etre calcul´ ee analytiquement dans le cas o` u les donn´ ees sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes Gaus- siennes, centr´ ees et de matrice de covariance l’identit´ e, il s’agit l` a d’un cas ”d’´ ecole”. Il en est ´ evidemment de mˆ eme, pour la relation entre la probabilit´ e de fausse alarme et le seuil d´ etection ; cette relation n’´ etant rien d’autre que la fonction de r´ epartition de ˆ Λ( M F P ) .

4 R´ esultats Exp´ erimentaux

Carte de fouillis

Distance

Azimut

100 200 300 400 500 600 700 800

10

20

30

40

50

60

70

Fig. 1 : Carte distance-azimut

Cette partie pr´ esente des r´ esultats exp´ erimentaux ob- tenus ` a partir de l’analyse de donn´ ees r´ eelles de fouillis de sol. La figure 1 est une carte ”distance-azimut” de donn´ ees radar collect´ ees par un radar de Thales Air De- fence <sup>1</sup> pour m = 8 impulsions. Elle pr´ esente des donn´ ees h´ et´ erog` enes non-Gaussiennes. La zone fonc´ ee, de niveau faible, repr´ esente le buit thermique blanc et Gaussien (zo- nes ”distance” au del` a de l’horizon radio´ electrique du ra- dar). Les zones plus claires, de niveau fort, repr´ esentent le fouillis de sol, de nature impulsive et tr` es corr´ el´ e. Pour mettre en ´ evidence les zones de bruit impulsif, la figure 2

1

Les auteurs tiennent ` a remercier Thales Air Defence pour l’ex- ploitation de leurs donn´ees

repr´ esente la carte distance-azimut de la figure 1 en 3 di- mensions (la troisi` eme dimension codant la puissance du bruit).

L’analyse de ces donn´ ees radar par comptage permet l’ajustement du seuil de d´ etection λ en fonction de la Pro- babilit´ e de Fausse Alarme (PFA). Le r´ eglage exp´ erimental du seuil de d´ etection λ a donc ´ et´ e d´ etermin´ e par comp- tage en d´ epla¸cant, sur l’image de la figure 1, un masque CFAR rectangulaire de taille 5 x 5. Pour chaque case cen- trale du masque (case de test), la matrice M _{F P} a ´ et´ e es- tim´ ee grˆ ace aux N = 24 vecteurs de taille m consid´ er´ es comme donn´ ees secondaires et entourant la case test´ ee.

Fig. 2 : Carte distance-azimut en 3 dimensions

Une relation th´ eorique liant λ ` a la PFA a ´ et´ e ´ etablie dans les deux cas suivants : M connue [3] et M inconnue [10]. L’analyse des donn´ ees radar, par comptage, permet la validation de la relation th´ eorique lorsque M est estim´ ee par M <sub>F P</sub> . Cette validation exp´ erimentale n’est possible que grˆ ace ` a la propri´ et´ e CFAR-Matrice du d´ etecteur.

10⁰ 10² 10⁴ 10⁶ 10⁸

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

Seuil λ

PFA

Courbes "PFA-seuil"

NSCME Point fixe Théorie M connu

Fig. 3 : R´ eglage du seuil de d´ etection

Sur la figure 3, la courbe pleine correspond ` a la rela- tion th´ eorique ”PFA-seuil” dans le cas o` u M est connue tandis que la courbe en pointill´ es correspond ` a la relation th´ eorique ”PFA-seuil” dans le cas o` u M est inconnue et estim´ ee par M F P .

La courbe constitu´ ee de croix (×) repr´ esente la rela- tion ”PFA-seuil” exp´ erimentale quand M est estim´ ee par M F P . Elle est en parfait accord avec la relation th´ eorique.

On observe ´ egalement, sur la courbe constitu´ ee de cercles ( ◦ ), que la relation ”PFA-seuil” exp´ erimentale calcul´ ee pour M = M NSCME ne co¨ıncide pas avec la courbe cons- titu´ ee de croix. Cette diff´ erence s’explique par le fait que Λ( ˆ M _NSCME ) ne v´ erifie pas la propri´ et´ e CFAR-Matrice, indispensable pour du fouillis h´ et´ erog` ene.

Cette propri´ et´ e ”CFAR-Matrice” est tr` es int´ eressante d’un point de vue op´ erationnel. Lorsque la matrice de co- variance M du processus SIRP est inconnue, le fait de construire le d´ etecteur ˆ Λ avec l’estim´ ee M <sub>F P</sub> le rend to- talement ind´ ependant de M. De ce fait, la relation ”PFA- seuil” est elle-mˆ eme ind´ ependante de M. Dans un environ- nement h´ et´ erog` ene de fouillis comme le montre la figure 1, cette propri´ et´ e nous garantit une r´ egulation constante de la fausse alarme quel que soit le point de la carte distance- azimut o` u l’on estime la matrice de covariance.

La figure 4 repr´ esente, pour tous les points de la carte distance-azimut, le rapport de vraisemblance, i.e. le BORD, calcul´ e avec l’estimateur du point fixe M _{F P} . Malgr´ e l’h´ e- t´ erog´ en´ e¨ıt´ e du fouillis, l’utilisation de l’estimateur du point fixe a permis d’obtenir une carte de vraisemblance totale- ment uniforme assurant ainsi une r´ egulation constante de la fausse alarme, mˆ eme dans les zones de transitions.

Fig. 4 : Homog´ en´ eisation du fouillis

5 Conclusion

Dans cet article, une nouvelle propri´ et´ e du d´ etecteur adaptatif BORD construit avec l’estimateur de matrice de covariance du point fixe a ´ et´ e ´ etablie. Cette propri´ et´ e CFAR-Matrice rend la statistique du d´ etecteur invariante

de la v´ eritable matrice de covariance des donn´ ees. Une des cons´ equences majeures de cette propri´ et´ e est de pou- voir construire un d´ etecteur ` a partir de donn´ ees secon- daires n’ayant pas toutes la mˆ eme matrice de covariance, ce qui est souvent le cas en pratique. De plus, l’analyse de signaux exp´ erimentaux de fouillis de sol non-Gaussien a permis de valider la relation th´ eorique liant la probabilit´ e de fausse alarme et le seuil de d´ edection, ´ etablie dans [10].

R´ ef´ erences

[1] E. Conte, M. Lops and G. Ricci, Asymptotically Opti- mum Radar Detection in Compound-Gaussian Clut- ter, IEEE Trans.-AES , 31(2) (April 1995), 617-625.

[2] F. Gini, Sub-Optimum Coherent Radar Detection in a Mixture of K-Distributed and Gaussian Clut- ter, IEE Proc.Radar, Sonar Navig, 144(1) (February 1997), 39-48.

[3] E. Jay, J.P. Ovarlez, D. Declercq and P. Duvaut, BORD : Bayesian Optimum Radar Detector, Signal Processing, 83 (6) (June 2003), 1151-1162

[4] J.B. Billingsley, Ground Clutter Measurements for Surface-Sited Radar, Technical Report 780, MIT, Fe- bruary 1993.

[5] K. Yao ”A Representation Theorem and its Appli- cations to Spherically Invariant Random Processes”, IEEE Trans.-IT, Vol.19, No.5, pp.600-608 Sept. 1973 [6] E. Conte, M. Lops, G. Ricci , ”Adaptive Radar Detection in Compound-Gaussian Clutter”, Proc. of the European Signal processing Conf., September 1994, Edinburgh, Scotland.

[7] F. Gini, M.V. Greco, and L. Verrazzani , ”De- tection Problem in Mixed Clutter Environment as a Gaussian Problem by Adaptive Pre-Processing, Elec- tronics Letters, 31(14)(July 1995), 1189-1190.

[8] F. Pascal, P. Forster, J.P. Ovarlez and P. Larzabal , ”Theoretical analysis of an improved covariance matrix estimator in non-Gaussian Noise”, IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, March 2005, Philadelphia, PA, USA.

[9] F. Pascal, Y. Chitour, J.P. Ovarlez P. Fors- ter and P. Larzabal , ”Existence and Characte- rization of the Covariance Matrix Maximum Likeli- hood Estimate in Spherically Invariant Random Pro- cesses”, soumis ` a IEEE-SP, avril 2005

[10] F. Pascal, J.P. Ovarlez, P. Forster and

P. Larzabal, ”Constant False Alarm Rate Detec-

tion in Spherically Invariant Random Processes”,

Proc. of the European Signal processing Conf., Sep-

tember 2004, 2143-2146, Vienna, Austria.