Contrôle latéral d'un véhicule autonome par mode glissant du second ordre

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Submitted on 17 Sep 2013

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Contrôle latéral d’un véhicule autonome par mode glissant du second ordre

Gilles Tagne, Reine Talj, Ali Charara

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Gilles Tagne, Reine Talj, Ali Charara. Contrôle latéral d’un véhicule autonome par mode glissant du second ordre. 5èmes Journées Doctorales/ Journées Nationales MACS, Jul 2013, Strasbourg, France.

�hal-00862694�

Contrˆ ole lat´eral d’un v´ehicule autonome par mode glissant du second ordre

Gilles Tagne , Reine Talj , Ali Charara

Laboratoire HEUDIASYC UMR 7253

Universit´ e de Technologie de Compi` egne - CNRS, Centre de Recherches de Royallieu, BP 20529 60205 Compi` egne cedex, France.

R´ esum´ e— Dans ce papier, nous d´ eveloppons une strat´ egie de contrˆ ole lat´ eral d’un v´ ehicule autonome utilisant une com- mande par mode glissant d’ordre sup´ erieur, et plus parti- culi` erement l’algorithme du super-twisting pour minimiser le d´ eplacement lat´ eral du v´ ehicule autonome par rapport

`

a une trajectoire de r´ ef´ erence. L’entr´ ee de commande est l’angle de braquage et la sortie est l’erreur lat´ erale. La par- ticularit´ e d’une telle strat´ egie est de permettre de b´ en´ eficier de la robustesse du contrˆ oleur par mode glissant tout en r´ eduisant le “broutement”, l’inconv´ enient majeur du mode glissant du premier ordre. Pour valider notre loi de com- mande, la simulation du syst` eme en boucle ferm´ ee a ´ et´ e com- par´ ee aux donn´ ees exp´ erimentales acquises par le v´ ehicule- d´ emonstrateur DYNA du laboratoire Heudiasyc, une Peu- geot 308. Diff´ erents sc´ enarios de test effectu´ es montrent les bonnes performances et la robustesse de l’approche pro- pos´ ee.

Mots-cl´ es— V´ ehicules autonomes, contrˆ ole lat´ eral, suivi de trajectoires.

I. Introduction

Les avanc´ ees technologiques de ces derni` eres ann´ ees ont favoris´ e l’´ emergence des v´ ehicules intelligents permettant de pr´ evoir et de compenser une d´ efaillance (du conduc- teur, du v´ ehicule ou de l’infrastructure) ou mˆ eme encore d’assurer une conduite autonome.

Le “DARPA Grand Challenge” (2004, 2005) et le

“DARPA Urban Challenge” (2007), organis´ es par la “De- fense Advanced Research Projects Agency” des USA ont stimul´ e la recherche pour la conception des v´ ehicules auto- nomes. C’est un domaine de recherche en pleine expansion.

L’un des enjeux majeurs aujourd’hui est de garantir une conduite autonome ` a grande vitesse.

Une conduite autonome peut ˆ etre divis´ ee en trois ´ etapes : – La perception de l’environnement : elle consiste ` a d´ etecter les voies, les obstacles, etc. Le syst` eme de vi- sion compos´ e des capteurs tels que la cam´ era, le lidar, les radars et le GPS sont couramment utilis´ es pour atteindre cet objectif. La perception permet de four- nir une carte dynamique de l’environnement proche du v´ ehicule.

– La g´ en´ eration de trajectoire : elle consiste ` a g´ en´ erer des trajectoires virtuelles et ` a choisir la trajectoire de r´ ef´ erence.

– Le contrˆ ole du v´ ehicule : il consiste ` a manoeuvrer le v´ ehicule utilisant les actionneurs tels que le volant, le frein et l’acc´ el´ erateur. Le contrˆ ole des v´ ehicules auto- nomes peut ˆ etre subdivis´ e en deux tˆ aches ; le contrˆ ole longitudinal et le contrˆ ole lat´ eral.

Ce papier s’int´ eresse ` a la troisi` eme ´ etape ; le contrˆ ole du v´ ehicule, et plus pr´ ecis´ ement le contrˆ ole lat´ eral. Le contrˆ ole lat´ eral consiste ` a diriger automatiquement le v´ ehicule ` a

suivre la trajectoire de r´ ef´ erence. Il est ´ etudi´ e depuis les ann´ ees 1950. C’est un champ de recherche tr` es actif.

Compte tenu de la grande non-lin´ earit´ e, des incertitudes et des perturbations rencontr´ ees dans les applications au- tomobiles, l’un des principaux enjeux aujourd’hui est de concevoir des lois de commande robustes capables de tenir compte de ces imp´ eratifs. Le contrˆ oleur doit ˆ etre capable de rejeter les perturbations caus´ ees par le vent, la variation de l’adh´ erence de la route, etc.

Durant ces derni` eres ann´ ees, d’importants travaux de recherche ont ´ et´ e men´ es pour assurer un guidage lat´ eral automatique du v´ ehicule autonome. Plusieurs strat´ egies de commande ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans la litt´ erature : Dans [1], un contrˆ oleur proportionnel est utilis´ e. Dans [2], deux contrˆ oleurs PID imbriqu´ es est propos´ e. Dans [3], un contrˆ oleur bas´ e sur la commande par retour d’´ etat a ´ et´ e d´ evelopp´ e. Dans [4], la commande H ∞ est utilis´ ee. Dans [5], une commande par la th´ eorie de stabilit´ e de Lyapunov est propos´ ee. R´ ecemment, on note aussi le d´ eveloppement des contrˆ oleurs adaptatifs qui permettent de mieux prendre en compte les variations des param` etres dans le temps.

Dans [6], un contrˆ oleur bas´ e sur la commande adaptative a

´

et´ e d´ evelopp´ e. Dans [7], [8], [9] et [10], des contrˆ oleurs bas´ es sur la commande optimale lin´ eaire quadratique pr´ edictive sont d´ evelopp´ ees.

Dans [11], [12], les techniques issues de l’intelligence arti- ficielle et plus particuli` erement la logique floue est utilis´ ee.

Dans [13], une comparaison de quatre contrˆ oleurs a ´ et´ e effectu´ e ; un contrˆ oleur proportionnel, adaptatif, H ∞ et flou. Cette comparaison a ´ et´ e faite suivant plusieurs crit` eres permettant d’´ evaluer la robustesse en pr´ esence des varia- tions de courbure, de vitesse, de l’adh´ erence et des pertur- bations li´ ees au vent. De cette comparaison, il ressort que le contrˆ oleur proportionnel est le moins performant. Les contrˆ oleurs H _∞ et flous ont des r´ eponses ´ equivalentes. Le contrˆ oleur adaptatif a la meilleure performance.

La commande pr´ edictive (MPC) semble ˆ etre bien ap- propri´ ee au suivi de trajectoire [14], [15]. Elle permet de consid´ erer le probl` eme de poursuite de trajectoire pour les syst` emes non lin´ eaires en tenant compte des contraintes sur les ´ etats et/ou les commandes. En outre, cette tech- nique de commande se r´ ev` ele robuste vis-` a-vis des varia- tions param´ etriques du syst` eme. En revanche, pour des ap- plications embarqu´ ees de conduite autonome ` a grande vi- tesse, les temps de calculs (algorithmes d’optimisation non lin´ eaires) deviennent tr` es grands pour un fonctionnement en temps r´ eel [9].

Dans [16], [17], [18], la commande par mode glis-

sant (SMC) du premier ordre est appliqu´ ee pour le

contrˆ ole lat´ eral. Cette strat´ egie de commande permet d’ob- tenir des erreurs lat´ erales constantes et faibles quand la vitesse augmente. Aussi, elle permet d’obtenir des r´ esultats exp´ erimentaux comparables, voire meilleurs que les contrˆ oleurs lin´ eaires ` a gain auto-ajustable [17]. De plus, cette technique est particuli` erement adapt´ ee pour compen- ser les incertitudes param´ etriques du mod` ele et rejeter les perturbations rencontr´ ees dans les applications automo- biles. Cette m´ ethodologie a aussi l’avantage de produire des lois de contrˆ ole de faible complexit´ e par rapport aux autres approches de commande robuste [19]. Leur princi- pal inconv´ enient ´ etant le “broutement”. Pour ´ eviter cet in- conv´ enient, le mode glissant d’odre sup´ erieur est utilis´ e.

Dans [20], l’algorithme du super-twisting a ´ et´ e utilis´ e pour assurer l’assistance de direction actif pour v´ ehicules lourds.

Nous l’utilisons dans ce papier, pour assurer le guidage lat´ eral d’un v´ ehicule autonome a grande vitesse.

Le probl` eme consid` ere que le v´ ehicule est ´ equip´ e de tous les capteurs et/ou observateurs n´ ecessaires, permettant de mesurer et/ou estimer la vitesse lat´ erale, la vitesse de la- cet, l’erreur lat´ erale et sa d´ eriv´ ee. Pour valider l’approche propos´ ee, des tests ont ´ et´ e faits ` a partir des donn´ ees r´ eelles relev´ ees par le v´ ehicule-d´ emonstrateur DYNA d´ evelopp´ e au sein du laboratoire heudiasyc sur les pistes et circuits d’essais du CERAM ¹ . Les r´ esultats exp´ erimentaux obtenus montrent l’efficacit´ e de l’approche propos´ ee. Cet article est organis´ e comme suit : la Section II pr´ esente la mod´ elisation du v´ ehicule, dans la Section III, nous d´ eveloppons notre strat´ egie de commande. La Section IV pr´ esente les r´ esultats obtenus. La Section V pr´ esente les conclusions, remarques et orientations de nos travaux futurs.

II. Mod´ elisation du v´ ehicule

Dans ces travaux, nous utilisons deux mod` eles de v´ ehicules. Pour concevoir la loi de commande, le mod` ele bicyclette dynamique [3], mod` ele largement connu, a ´ et´ e utilis´ e (figure 1). Ce mod` ele est utilis´ e pour repr´ esenter le

Fig. 1. Mod` ele bicyclette

comportement lat´ eral du v´ ehicule (acc´ el´ eration lat´ erale, vi- tesse de lacet, angle de d´ erive) et suppose que le v´ ehicule est sym´ etrique, et que les angles de d´ erive sur le mˆ eme essieu sont ´ egaux. Les dynamiques du roulis et du tangage sont n´ eglig´ ees et les angles sont suppos´ es ˆ etre faible (angle de braquage du pneu, de d´ erive et de lacet). Avec un mod` ele de force pneumatique/chauss´ ee lin´ eaire, on obtient un mod` ele lin´ eaire ` a param` etre variant (LPV), la vitesse longitudinale V _x ´ etant le param` etre variant. Ce mod` ele LPV constitu´ e de la dynamique lat´ erale et de lacet est donn´ ee par les

´

equations :

1. CERAM -”Centre d’Essais et de Recherche Automobile de Mor- tefontaine”







¨

y = − ^(C _mV

^+C

⁾

x

y ˙ − ( ^L

^C _mV

^−L

^C

x

+ V x ) ˙ ψ + ^C _m

δ ψ ¨ = − ^L

^C _I

^−L

^C

z

V

y ˙ − ^L

2

f

C

+L

C

I

V

ψ ˙ + ^L

_I ^C

z

δ

(1) o` u y et ψ repr´ esentent respectivement la position lat´ erale et l’angle de lacet du v´ ehicule. La nomenclature et les pa- ram` etres du v´ ehicule sont donn´ es par la table I.

TABLE I

Param` etres du v´ ehicule pour le mod` ele bicyclette

V x Vitesse longitudinale - [m/s]

y D´ eplacement lat´ erale - [m]

ψ Angle de lacet - [rad]

δ Angle de braquage du pneu - [rad]

m Masse 1719 [kg]

I z Moment d’inertie 3300 [kgm ² ]

L f Distance essieu avant - CdG 1.195 [m]

L _r Distance essieu arri` ere - CdG 1.513 [m]

C f Rigidit´ e de d´ erive du pneu avant 170550 [N/rad]

C _r Rigidit´ e de d´ erive du pneu arri` ere 137844 [N/rad]

Pour comparer nos r´ esultats de simulation avec les donn´ ees exp´ erimentales, nous avons utilis´ e un mod` ele v´ ehicule plus repr´ esentatif. Plus pr´ ecis´ ement, nous avons utilis´ e le mod` ele 4 roues pour repr´ esenter la dynamique du v´ ehicule, avec le mod` ele de pneu de Dugoff [21] pour mod´ eliser les forces de contact longitudinales et lat´ erales.

III. Strat´ egie de commande

La commande par mode glissant a ´ et´ e d´ evelopp´ ee depuis les ann´ ees 1950 et est reconnue comme l’une des techniques de contrˆ ole robuste les plus prometteuses. Le principe des SMC est de forcer les trajectoires du syst` eme ` a atteindre en un temps fini, et d’y rester sur une surface de glissement.

Cependant, son principal inconv´ enient est le “broutement”

(voir la figure 2). Trois approches principales ont ´ et´ e pro-

Fig. 2. Principe de base du SMC

pos´ ees dans le milieu des ann´ ees 1980 pour ´ eliminer et/ou att´ enuer le “broutement” dans les SMC [22] :

– l’utilisation des fonctions continues au lieu de la fonc- tion discontinue ;

– l’utilisation d’une d´ emarche bas´ ee sur les observa- teurs ;

– l’utilisation du mode glissant d’ordre sup´ erieur.

A. Algorithme du super-twisting

L’algorithme du super-twisting a ´ et´ e d´ evelopp´ e pour contrˆ oler les syst` emes avec un degr´ e relatif ´ egal ` a 1, et permet d’assurer la stabilit´ e tout en r´ eduisant le “broute- ment”.

Consid´ erons un syst` eme de la forme :

˙

x = f (t, x) + g(t, x)u(t) (2)

o` u u est l’entr´ ee de commande, x ∈ R <sup>n</sup> le vecteur d’´ etat, et f , g des fonctions continues. Nous d´ efinissons une variable de glissement s de degr´ e relatif ´ egal ` a 1, dont la d´ eriv´ ee peut ˆ etre exprim´ ee comme suit :

˙

s(t, s) = φ(t, s) + ϕ(t, s)u(t) (3) Le but du contrˆ oleur est d’assurer la convergence vers la surface de glissement d´ efinie par s = 0. Seule la mesure de s en temps r´ eel est n´ ecessaire.

Supposons qu’il existe des constantes positives S 0 , b min , b _max , C ₀ , U _max tel que ∀x ∈ R ⁿ et |s(t, x)| < S ₀ , tel que le syst` eme remplit les conditions suivantes :







|u(t)| ≤ U _max

0 < b _min ≤ |ϕ(t, s)| ≤ b _max

|φ(t, s)| < C 0

(4) La commande par mode glissant bas´ ee sur l’algorithme du super-twisting est donn´ ee par :

u(t) = u ₁ +u ₂

u ₁ = −α |s| ^τ sign(s), τ ∈ ]0, 0.5]

˙

u 2 = −βsign(s) (5) avec α et β des constantes positives. La convergence en temps fini est garantie par les conditions suivantes [23] :

( β > _b ^C

min

α ≥ q _4C

0

(b

β+C

) b

(b

β−C

)

(6) Pour plus de d´ etails sur la convergence et la robustesse de l’algorithme, voir [24], [25]. Dans [26], une analyse de l’algorithme du super-twisting est faite dans le domaine fr´ equentiel en utilisant la m´ ethode des fonctions descrip- tives. La figure 3 pr´ esente le plan de phase de l’algorithme.

Fig. 3. Plan de phase du super-twisting

B. Application au contrˆ ole lat´ eral d’un v´ ehicule autonome L’´ equation dynamique de l’erreur lat´ erale au centre de gravit´ e du v´ ehicule, par rapport ` a une trajectoire de r´ ef´ erence, est donn´ ee par :

¨

e = a y − a y

(7) o` u a y et a y

sont respectivement l’acc´ el´ eration lat´ erale du v´ ehicule, et l’acc´ el´ eration lat´ erale d´ esir´ ee (trajectoire de r´ ef´ erence). En supposant que cette derni` ere peut s’´ ecrire a y

= V _x ² /R, o` u R est le rayon de courbure de la route, et sachant que a y = ¨ y + V x ψ, nous avons : ˙

¨

e = ¨ y + V x ψ ˙ − V _x ²

R (8)

En rempla¸ cant ¨ y par son expression en (1), on obtient :

¨

e = − ^(C _mV

^+C

⁾

x

y ˙ − ^L

^C _mV

^−L

^C

x

ψ ˙ − ^V _R

+ ^C _m

δ (9)

L’entr´ ee de commande est le braquage δ et la sortie l’erreur lat´ erale e. L’objectif de la commande est d’annuler l’erreur lat´ erale.

Choisissons la variable de glissement s comme suit :

s = ˙ e + λe (10)

nous obtenons : ˙ s = ¨ e+λ e. Rempla¸ ˙ cant ¨ e par son expression en (9), on a :

˙

s = − ^C _mV

^+C

x

y ˙ − ^L

^C _mV

^−L

^C

x

ψ ˙ − ^V _R

+ ^C _m

δ + λ e ˙ (11) La variable s a un degr´ e relatif r = 1. Par identification avec (3), on a ˙ s(t, s) = φ(t, s) + ϕ(t, s)u(t), avec :

(

φ(t, s) = − ^C _mV

^+C

x

y ˙ − ^L

^C _mV

^−L

^C

x

ψ ˙ − ^V _R

+ λ e ˙

ϕ(t, s) = ^C _m

(12)

En appliquant le th´ eor` eme du super-twisting, l’entr´ ee de commande peut ˆ etre d´ efinie comme suit :

δ ST = u 1 + u 2

u 1 = −α |s| ^1/2 sign(s)

˙

u 2 = −βsign(s) (13) Pour ´ eviter les pics importants durant les phases transi- toires, nous ajoutons une commande ´ equivalente δ _eq ob- tenue en r´ esolvant l’´ equation ˙ s = 0. Ce terme joue le rˆ ole d’une anticipation (feedforward) qui permet d’approcher le syst` eme ` a la surface de glissement, et est donn´ e par :

δ _eq = − m

C _f φ(t, s) (14)

Par cons´ equent, l’angle de braquage repr´ esentant l’entr´ ee de commande du syst` eme est d´ efini comme suit :

δ = δ _ST + δ _eq (15)

IV. Validation exp´ erimentale

Les donn´ ees exp´ erimentales utilis´ ees ont ´ et´ e acquises sur le v´ ehicule-d´ emonstrateur DYNA du laboratoire Heudiasyc (figure 4), sur les circuits d’essais du CERAM. Ce v´ ehicule

Fig. 4. V´ ehicule exp´ erimental (DYNA)

est ´ equip´ e de plusieurs capteurs : une centrale inertielle pour la mesure des acc´ el´ erations en x, y, z et la vitesse de lacet ; un CORREVIT pour la mesure de l’angle de d´ erive et la vitesse longitudinale ; des moyeux dynamom´ etriques pour mesurer les efforts pneu/sol de chaque roue ; quatre capteurs lasers pour mesurer la hauteur du chˆ assis ; un GPS et une cam´ era CCD. Les donn´ ees fournies par le bus CAN du v´ ehicule sont aussi utilis´ ees, ` a l’instar de l’angle au vo- lant et la vitesse de rotation des roues.

Pour valider notre loi de commande, nous effectuons

plusieurs tests avec le v´ ehicule DYNA afin de recueillir

des donn´ ees de r´ ef´ erence (trajectoire de r´ ef´ erence et va- riables dynamiques) qui seront compar´ ees ` a celles obte- nues en simulant la loi de commande en boucle ferm´ ee.

Des simulations sont effectu´ ees avec le mod` ele complet du v´ ehicule. Pour la loi de commande, nous avons utilis´ e λ = 8, α = 0.002, β = 0.0001 et les param` etres nominaux du v´ ehicule (voir la table I).

A. Robustesse du contrˆ oleur durant une conduite normale Le premier test (figures 5, 6 et 7) a ´ et´ e r´ ealis´ e dans le but de v´ erifier la robustesse du contrˆ oleur pendant une conduite normale. L’acc´ el´ eration lat´ erale est inf´ erieure ` a 4m/s ² . La vitesse longitudinale ´ etant presque constante (13.5m/s) avec une courbure qui varie entre −0.02m ⁻¹ et 0.09m ⁻¹ .

La figure 5 montre les variations de la vitesse longitudinale.

La figure 6 pr´ esente diff´ erentes courbes : la trajectoire de

0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10 12 14

Vitesse longitudinale [m/s]

Temps [s]

Fig. 5. Vitesse longitudinale

r´ ef´ erence et la trajectoire suivie par le v´ ehicule command´ e, l’erreur lat´ erale et l’erreur de lacet. Le v´ ehicule contrˆ ol´ e est capable de suivre la trajectoire de r´ ef´ erence avec des erreurs faibles dans diverses conditions. L’erreur lat´ erale ne d´ epasse pas 7.5cm en r´ egime transitoire.

La figure 7 pr´ esente diff´ erentes variables dynamiques du v´ ehicule : l’angle de braquage, la vitesse de lacet et l’acc´ el´ eration lat´ erale. Nous comparons les donn´ ees r´ eelles avec les r´ esultats de la simulation du syst` eme en boucle ferm´ ee. Les variables dynamiques obtenues sont tr` es proches de celles mesur´ ees. L’angle de braquage est lisse et la diff´ erence entre l’angle de braquage de r´ ef´ erence et celui obtenu en simulation n’exc` ede pas 1,7 degr´ es. La vitesse de lacet mesur´ ee est tr` es proche de celle obtenue en simula- tion. Nous notons l’apparition d’un l´ eger d´ ecalage apr` es le grand virage. Cela est dˆ u ` a la non-lin´ earit´ e caus´ ee par le grand braquage durant le virage.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

−200

−150

−100

−50 0 50

100 Trajectoires (X,Y)

X [m]

Y[m]

Référence Simulation

0 20 40 60

−0.1

−0.05 0 0.05

Erreur latérale [m]

Temps [s]

0 20 40 60

−4

−2 0 2

Erreur de lacet [°]

Temps [s]

Fig. 6. Trajectoires : r´ ef´ erence et simulation

0 10 20 30 40 50 60

−5 0 5 10 15

Angle de braquage [°]

Temps [s]

Référence Simulation

0 10 20 30 40 50 60

−0.5 0 0.5

Vitesse de lacet [rad/s]

Temps [s]

0 10 20 30 40 50 60

−4

−2 0 2 4

Accélération latérale [m/s2]

Temps [s]

Fig. 7. Variables dynamiques

Dans ce sc´ enario, bien que l’hypoth` ese de petits angles n’ai pas ´ et´ e respect´ ee (car l’angle de braquage est sup´ erieur

`

a 12 degr´ es durant un virage) et malgr´ e la variation de la vitesse longitudinale, le contrˆ oleur est en mesure de suivre la trajectoire de r´ ef´ erence avec une erreur faible. Cette premi` ere simulation montre la bonne performance et la ro- bustesse du contrˆ oleur durant une conduite normale.

Le second test (figures 8, 9 et 10) a ´ et´ e effectu´ e dans le but de v´ erifier la robustesse de la commande pendant la conduite normale ` a vitesse ´ elev´ ee et variable. La vi- tesse longitudinale varie entre 5m/s et 25m/s. Notez que l’acc´ el´ eration lat´ erale maximale est 5m/s ² .

0 10 20 30 40 50 60 70

0 5 10 15 20 25 30

Vitesse longitudinale [m/s]

Temps [s]

Fig. 8. Vitesse longitudinale

0 100 200 300 400 500

−250

−200

−150

−100

−50 0

Trajectoires (X,Y)

X[m]

Y[m]

Référence Simulation

0 50

−0.1

−0.05 0 0.05

Erreur latérale [m]

Temps [s]

0 50

0 5 10

Erreur de lacet [°]

Temps [s]

Fig. 9. Trajectoires : r´ ef´ erence et simulation

Bien que dans ce sc´ enario nous avons quelques manoeuvres

`

a basse vitesse (grand virage) et ` a haute vitesse, l’erreur lat´ erale est plus petite que 8.5cm. La figure 10 pr´ esente diff´ erentes variables dynamiques du v´ ehicule : l’angle de braquage, la vitesse de lacet et l’acc´ el´ eration lat´ erale. Ces variables dynamiques sont tr` es proches de celles mesur´ ees bien que l’acc´ el´ eration lat´ erale atteigne 5m/s ² .

Ces deux premi` eres simulations montrent les bonnes per-

formances du contrˆ oleur durant une conduite normale ` a

0 10 20 30 40 50 60 70

−20

−10 0

Angle de braquage [°]

Temps [s]

Référence Simulation

0 10 20 30 40 50 60 70

−0.9

−0.25 0.4

Vitesse de lacet [rad/s] Temps [s]

0 10 20 30 40 50 60 70

−5 0 5

Accélération latérale [m/s2]

Temps [s]

Fig. 10. Variables dynamiques

vitesse ´ elev´ ee et variable.

B. Robustesse du contrˆ oleur par rapport aux dynamiques fortement non lin´ eaires

Le troisi` eme test (figures 11, 12 et 13) consiste ` a augmen- ter graduellement la vitesse lors de l’ex´ ecution d’une mˆ eme courbure (nous avons fix´ e le rayon de courbure autour de 50m). Dans de tels cas, l’acc´ el´ eration lat´ erale augmente significativement et le comportement du v´ ehicule d´ evient fortement non lin´ eaire. Nous utilisons ce type de test pour

´

evaluer la stabilit´ e et la robustesse de la loi de commande par rapport aux fortes sollicitations non lin´ eaires. Ce test

´

evalue ´ egalement l’effet de la variation de la vitesse du v´ ehicule sur le contrˆ oleur. La figure 11 montre les varia- tions de la vitesse longitudinale. La figure 12 montre que

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

6 8 10 12 14 16 18 20

Vitesse longitudinale [m/s]

Temps [s]

Fig. 11. Vitesse longitudinale

mˆ eme quand l’acc´ el´ eration lat´ erale est ´ elev´ ee et que la vitesse longitudinale croit rapidement (le taux est d’en- viron 1m/s ² ), l’erreur lat´ erale reste faible (elle est d’en- viron 2cm lorsque l’acc´ el´ eration lat´ erale atteint 6m/s ² ).

Les variations de la vitesse longitudinale ont une faible influence sur l’erreur maximale. Par ailleurs, les variables dynamiques sont tr` es proches de celles mesur´ ees, mˆ eme avec une acc´ el´ eration lat´ erale atteignant 8m/s ² (voir la fi- gure 13). Ce test montre que la loi de commande peut assurer un bon comportement avec de fortes acc´ el´ erations lat´ erales pouvant atteindre 8m/s ² .

Pour des acc´ el´ erations lat´ erales sup´ erieures ` a 8m/s ² , on note une importante augmentation de l’erreur lat´ erale.

En effet, le terme d’anticipation de l’entr´ ee de commande (δ eq ) est calcul´ e ` a l’aide du mod` ele bicyclette avec une mod´ elisation lin´ eaire des forces de contact pneu/chauss´ ee, alors que le point de fonctionnement du pneumatique se trouve dans la zone dite “de saturation”. Pour am´ eliorer la robustesse dans ce cas, nous pourrons utiliser le mod` ele bi- cyclette avec une mod´ elisation pneu/chauss´ ee non lin´ eaire

0 20 40 60 80 100 120

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0

20 Trajectoires (X,Y)

X[m]

Y[m]

Référence Simulation

0 10 20

0 0.2 0.4 0.6

Erreur latérale [m]

Temps [s]

0 10 20

−0.5 0 0.5 1 1.5

Erreur de lacet [°]

Temps [s]

Fig. 12. Trajectoires : r´ ef´ erence et simulation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−4

−2 0

Angle de braquage [°]

Temps [s]

Référence Simulation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.4

−0.2 0

Vitesse de lacet [rad/s]

Temps [s]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−8

−6

−4

−2 0

Accélération latérale [m/s2]

Temps [s]

Fig. 13. Variables dynamiques

pour calculer le terme anticipatif du braquage comme dans [15].

C. Robustesse par rapport aux incertitudes param´ etriques du v´ ehicule

Plusieurs param` etres du v´ ehicule peuvent ˆ etre incertains,

`

a l’instar du coefficient de rigidit´ e du pneu, de la masse, etc.

Il est difficile d’estimer avec pr´ ecision la rigidit´ e de d´ erive du pneu. De plus, ce param` etre varie consid´ erablement se- lon le type de route, la charge verticale, le carrossage, etc.

Il est donc important d’´ evaluer la robustesse du contrˆ oleur par rapport aux variations de ce param` etre. La figure 14 pr´ esente des erreurs lat´ erales dues ` a la variation de la rigi- dit´ e de d´ erive.

0 10 20 30 40 50 60

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06

Erreur latérale [m]

Temps [s]

Valeur nominale

−30%

+30%

Fig. 14. Robustesse par rapport aux incertitudes sur la rigidit´ e de d´ erive du pneu

Malgr´ e une variation de +/ − 30%, le contrˆ oleur est en

mesure de suivre le chemin avec des erreurs similaires. En

d’autres termes, le contrˆ oleur pourrait ˆ etre en mesure de

suivre la trajectoire (en donnant des erreurs similaires) sur une route ayant une adh´ erence de 0,7.

La masse du v´ ehicule peut varier ou ˆ etre mal estim´ ee.

Elle d´ epend du nombre de personnes dans le v´ ehicule et la quantit´ e du carburant. La figure 15 pr´ esente la robustesse de la loi de commande par rapport aux incertitudes sur la masse du v´ ehicule. Pour des variations de l’ordre de 5%, l’erreur reste acceptable.

0 10 20 30 40 50 60

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Erreur latérale [m]

Temps [s]

Valeur nominale +5%

−5%

Fig. 15. Robustesse par rapport aux incertitudes sur la masse du v´ ehicule

V. Conclusions

Dans ce papier, une strat´ egie de contrˆ ole lat´ eral d’un v´ ehicule autonome a ´ et´ e d´ evelopp´ ee. Cette strat´ egie est bas´ ee sur l’utilisation d’un contrˆ oleur par mode glissant d’ordre sup´ erieur – l’algorithme du super-twisting, pour r´ eduire le “broutement” et fournir un suivi robuste d’une trajectoire. Une validation exp´ erimentale a ´ et´ e effectu´ ee selon plusieurs sc´ enarios repr´ esentant diff´ erentes situa- tions de conduite. Les diff´ erents tests effectu´ es mettent en

´

evidence la robustesse de la loi de commande d´ evelopp´ ee ; en effet, l’erreur maximale de suivi ´ etait g´ en´ eralement inf´ erieure ` a +/ − 10cm durant les p´ eriodes transitoires mˆ eme lors des fortes sollicitations non lin´ eaires. Aussi, l’angle de braquage est lisse. Notez que la robustesse du syst` eme contrˆ ol´ e a ´ et´ e test´ ee par rapport aux variations de vitesse et de courbure, et des param` etres incertains du v´ ehicule.

Afin d’enrichir l’approche utilis´ ee, dans les travaux fu- turs, compte tenu de la ressemblance implicite entre le contrˆ oleur par mode glissant et le principe de l’approche de l’Immersion et l’Invariance (I&I) [27], une comparai- son de ces deux contrˆ oleurs sera ´ etudi´ ee. Ce nouveau cadre (I&I) nous permettrait de faire une ´ etude th´ eorique ap- profondie de la robustesse du syst` eme boucl´ e.

En outre, un v´ ehicule robotis´ e arrivera bientˆ ot au sein du laboratoire Heudiasyc, nous permettant ainsi de tester cette loi de commande sur un v´ ehicule semi-autonome.

R´ ef´ erences

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