Mouvements de parois dans une lame mince nématique

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Submitted on 1 Jan 1972

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Mouvements de parois dans une lame mince nématique

F. Brochard

To cite this version:

F. Brochard. Mouvements de parois dans une lame mince nématique. Journal de Physique, 1972, 33

(5-6), pp.607-611. �10.1051/jphys:01972003305-6060700�. �jpa-00207286�

MOUVEMENTS DE PAROIS DANS UNE LAME MINCE NÉMATIQUE

F. BROCHARD

Laboratoire de

Physique

des Solides

(*)

^Bât.

510,

Université de

Paris-Sud, 91-Orsay

(Reçu

^{le 27}

janvier 1971,

révisé le 16

février 1971)

Résumé. ²⁰¹⁴ Lors de la transition de Freedericks, ^deux configurations (+) ^et (-) également

stables sont permises. ^Nous étudions la structure et l’énergie ^des parois qui relient les zones (+) ^et (-), ^ainsi que leur mouvement lorsqu’on ^{lève la} dégénérescence des solutions. Nous déterminons la vitesse d’évanescence des parois ^{entourant une} enclave de (+) ^dans (2014) ^{ou vice versa.}

Abstract. ²⁰¹⁴ Above the Freederick’s transition, ^two equally ^stable configurations (+) ^and (-)

are allowed. We study ^the pattern ^{and the} energy of the walls between the (+) ^and (-) domains,

as well as their motion when the degeneracy is lifted between these solutions. We determine the

speed of collapsing of walls with a closed ring ^structure.

PHYSIQUE 33, 1972,

Classification Physics Abstracts

14.82

Introduction. ^- On considère une lame

nématique

dont les deux faces sont ancrées aux

parois

^{et un}

champ magnétique orthogonal

^{à la direction d’an-}

crage. Freedericks

[1]

^{a observé} que pour ^un

champ magnétique supérieur

^{à un}

champ critique Hé, la configuration

distordue devient

plus

stable. Cette transition a été

interprétée

par Zocher

[2]

^à

partir

d’une théorie

élastique. L’énergie

libre d’un

nématique

distordu a la forme

(3) (4)

où

n(r)

^{est le vecteur} unitaire décrivant l’orientation moyenne des molécules ^au

point

^{r ;} Xa ^est

l’anisotropie

de

susceptibilité magnétique. Chaque

^{terme décrit}

un type ^de déformation :

K11

^la déformation en éven- tail ou «

splay

»,

K22 la torsion, K33

^{la flexion. Nous}

supposerons

K11

⁼

K33

= K,

K22

K ; ^cette

hypo-

thèse est

justifiée

^{dans le cas} du MBBA. Si d est

l’épaisseur

^du

film le champ critique

^est

Hc == , xa

pour les

géométries

^{1 et II et}

H = K22 pour

^la

p g °

d Xa

géométrie

^III

(Fig. 1).

A cause de la

propriété

d’invariance du directeur

(n - - n),

^il y ^a deux

configurations optimum

^de

détermination

(+) et (2013)(Fig. 1).

^Nous allons étudier les

régions

de transition entre les domaines

(+)

^et

(-) qui apparaissent

^en

proportion égale

^{si le}

champ

(*) ^{Associé au} C. N. R. S.

magnétique

^est

rigoureusement

orienté. Nous nous

plaçons près

^du

champ critique,

^{soit H -}

Hc/Hc

^{1. Les}

régions

^de transition sont alors des

parois. (A champ plus élevé,

^les

parois

^se transforment en

paires

^de

disclinaison.)

L’étude de ces

parois

^est

particulièrement

intéressante _{parce que} leur

dynamique

peut ^{être étu-} diée

rigoureusement.

Dans une

première partie,

^les

propriétés statiques

sont décrites à

partir

^{de la théorie}

élastique

^{de Frank.}

Nous

précisons

^la structure et nous calculons

l’énergie

d’une

paroi

^isolée. Différents

types

^de

parois

^sont

envisagés : paroi

^de

^torsion, paroi

^de

« splay »

^{et de}

flexion. En outre, ^nous déterminons la forme et l’éner-

gie

^d’une

paroi

^{en anneau entourant une enclave de}

( + )

^dans

(2013)

^{ou vice versa.}

Dans la deuxième

partie

^nous étudions les effets

dynamiques

^{en utilisant la théorie}

hydrodynamique

^de

Leslie. On détermine le mouvement des

parois

^{et des}

anneaux

lorsqu’on

favorise l’une des

configurations

en inclinant le

champ magnétique.

^On calcule aussi la vitesse de

disparition

^{d’un anneau}

lorsque

^le

champ magnétique

^est

parfaitement

^orienté.

La dernière

partie

traite de l’observation

optique

des

parois.

I. Etude

statique

^des

parois.

^-

a)

^{PAROIS DE}

TORSION. ^- Lors de la transition de

Freedericks,

^le directeur

n(r)

reste contenu dans le

plan

^défini par le

champ magnétique

^{H et la direction}

d’ancrage

no.

Une

paroi

^de torsion doit donc être

parallèle

^{à ce}

plan.

^{De telles}

parois

^{sont décrites sur la}

figure 1,

cas A et A’.

Considérons le cas

homéotrope (A).

^{La direction}

d’ancrage

^{z est}

orthogonale

^au

plan

^{de la lame et le}

champ magnétique

^{H est}

dirigé

selon l’axe x. La dis-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003305-6060700

608

FIG. 1. ^- Configuration ^des parois pour trois types ^de géométries :

Géométrie 1 : Molécules normales aux surfaces, H tangent :

A. Paroi de torsion parallèle ^{à H.} B. Paroi de splay ^{et de flexion} perpendiculaire ^{à H.}

Géométrie II : Molécules tangentes, H normal aux surfaces :

A’. Paroi de torsion parallèle ^{à H.} B’. Paroi de splay ^et de flexion perpendiculaire ^{à H.}

Géométrie III : Molécules tangentes, ^H tangent ^{aux surfaces :}

C. Paroi de splay ^{et de flexion} parallèle ^{à H.} C’. Paroi de splay ^et de flexion perpendiculaire ^{à H.}

torsion

qui apparaît

^{a été étudiée} par

plusieurs

auteurs

[5], [6].

^{Dans la}

configuration optimum

^le

directeur ⁿ reste dans le

plan

^{xz. On}

appelle

⁰

l’angle

de n avec la verticale. Si

0(z) ⁽⁾

^{= 2}

He e B ^{H cos --}

^{d est}

solution

(dans

^{la limite de nos}

hypothèses H H, H

¹

et

K11 = K33), - O(z)

^{est aussi solution. Nous allons}

déterminer

l’angle 0(y, z) lorsque

^l’on passe conti- nûment de -

0(z)

pour y ^{= - oo} à +

O(z)

pour y ⁼ + oo. Dans le cas d’une déformation de

torsion,

les

composantes

^{de n sont nx = sin}

O(z, y),

_ny ⁼

0,

n.- ^{= cos}

O(z, y).

L’énergie

libre de Frank _par unité de surface de

paroi

^{est alors}

Dans

l’hypothèse

^{H -}

Hc/Hc

^{1, la}

configuration d’équilibre qui

^{minimise F est donnée par}

où l’on a

posé

La solution la

plus générale

satisfaisant aux condi- tions aux limites 0

(z

^{= ±}

dl2)

^{= 0 est} de la forme

En

multipliant (2)

par ^cos

(2 n

⁺

1) (nzld)

^{et en}

intégrant

par rapport ^à z, ^on obtient un

système d’équations

différentielles _pour les

Bn(y). 01(y)

étant de l’ordre de

(}g(y),

^on peut

donc,

^{avec une bonne}

précision, prendre

comme solution

0(y, z)

⁼

0,(y)

^cos

(nzld),

^où

Om(y)

vérifie

et où l’on a

posé ()

⁼

2( 1 -

ⁿ²

ç2/d2),

^{solution pour}

y= :too.

Une

intégration

^de

(3)

^donne

dont la solution est

L’épaisseur

^{du mur est} de l’ordre de

ç/fJoo = ÇT,

^lon-

gueur de cohérence dans le

plan

de la lame.

L’énergie

^libre par unité de

longueur

^donnée par

(1)

devient

Le deuxième terme étant

l’énergie

^du

nématique

^en

l’absence de _mur,

l’énergie

^{du mur}

Tu

par unité de

longueur

^{est donc}

REMARQUE. - Comme

K11

⁼

K33, le

^cas

planaire

^A’

est

rigoureusement identique

^{au cas}

homéotrope,

0 étant cette fois

l’angle

^{de n avec l’axe ox.}

b)

^PAROI DE « SPLAY » ET DE FLEXION. ^- De telles

parois

^sont

représentées

^{sur la}

figure 1,

^{cas B.B’ et} C. C’. Considérons le cas

homéotrope

^B

(le

^{cas B’ est}

identique). 0(x, z), lorsque

^l’on passe

de - 000

^cos

(rcz/d) (x

^{= -}

oo)

^à

0oo

^cos

(nzld) (x

^{= +}

oo),

doit minimiser

l’énergie

^libre

qui

par

cm’

de

paroi

^{s’écrit :}

On est ramené au cas

précédent,

^{avec ce = 1 d’où}

et

Pour les

géométries

^{I et}

II,

^une

paroi perpendicu-

laire à H est une

paroi

^de

splay

^{et de flexion. Une}

paroi parallèle

^{à H est une}

paroi

de torsion. Les

énergies

^{sont dans le} rapport ^a.

Considérons maintenant la

géométrie III,

^{cas C.}

En prenant nx ^{= cos}

0(x, z),

ny ⁼ sin

0(x, z),

nz ⁼ 0

On est ramené au cas

A,

^en inversant K et

K22 :

Ce mur est

parallèle

^au

champ magnétique.

^{Par contre,}

dans le cas C’ où la solution est

°M(Y) = 0 (yJ

^th

(0,.yl2 ^ç),

le mur est

perpendiculaire

^{à H.}

Pour la

géométrie III,

^{les murs}

perpendiculaire

^et

parallèle

^{à H sont tous deux de}

splay

^{et de flexion et}

ils ont la même

énergie.

c)

^PAROI FAISANT UN

ANGLE t/1

^{AVEC H. - Cas}

homéotrope (I) (ou ^planaire (II)).

Avec nx

^{= sin}

0(x, y, z),

ny ⁼

0,

nZ ^{= cos}

0(x,

y,

z), l’énergie

^libre par

cm2

s’écrit

Si t

^est

l’angle

^{de la}

paroi

^avec H, la solution est de la forme 0 ⁼

°M(Y - ^{(tan tf)} x)

^cos

^(nzld),

^où

^Om

^véri-

fie

l’équation

La solution de

(2)

^est

et

l’énergie

par unité de

longueur

^{de mur est}

d)

^PAROIS EN ANNEAU. ^-

1)

^Cas

homéotrope (ou planaire).

Considérons une

paroi

^{entourant une enclave}

de

(+)

^dans

(-)

^{ou vice versa}

(Fig. 2).

^{En minimi-}

sant

l’énergie

^{de la}

paroi

^{fermée T =}

(D 7"() ^ds,

^nous

allons déterminer la forme du contour.

T(g/)

^étant

donnée _par

l’équation (4c)

il vient :

FIG. 2. ^- Configuration ^d’une paroi en anneau entourant une enclave de (+) ^dans (-).

Cette

intégrale

^{est minimum si la}

paroi

^{est en forme}

d’ellipse

d’excentricité a

allongée parallèlement

^au

champ.

^{Si a est le}

grand

^{axe de}

l’ellipse,

610

2)

^{Cas III. - Comme}

T(1f¡)

^{= Cte,} la boucle est circulaire.

Soit

et

II. Etude

dynamique.

^-

a)

MOUVEMENT D’UNE

PAROI « A ». ^- Si le

champ magnétique

^{H fait main-}

tenant ^un

petit angle

^{s avec l’axe x, la}

configuration (+)

devient

plus

^{stable et le mur se}

déplace.

^{Nous allons}

calculer la vitesse limite s de

déplacement

^{du mur en}

égalant l’énergie magnétique gagnée EM

^à

l’énergie dissipée

par friction

Ef.

La densité

d’énergie magnétique

^étant

pour la détermination

(+) et - 2 xa H2«() - e)’

^pour

la détermination

(-),

Pour calculer

l’énergie dissipée

par

friction,

^{il faut}

tenir compte ^{du mouvement de « Back Flow »} pro-

voqué

par le

gradient

de vitesse

angulaire

^{de n. Le}

couple visqueux

que les molécules exercent sur le mouvement est,

d’après

^Leslie

[7], [8]

où

Le fluide étant

incompressible,

^{la seule} composante de la vitesse v est

vx(y - st, z),

déterminée _par

l’équa-

tion de la

quantité

^{de mouvement}

Dans la limite

T > > dln

^et pour des mouvements lents

(S « ^(a/p) (n2/d2)),

la solution de

(3a)

satisfaisant aux

conditions aux limites

vx(± dl2)

^{= 0 est}

où

L’énergie dissipée

par friction est,

d’après

^{Leslie :}

Soit

où

, près

pour le MBBA

En

égalant (1)

^et

(4),

^{on trouve}

où ⁱ

=y, /X,,,

^{H2 est un} temps

caractéristique.

REMARQUE. - Dans le ^cas

A’,

^{le terme correctif}

de Back Flow est

près

pour le MBBA

Les cas BB’ sont

identiques

^{aux cas AA’ en fai-}

sant a ⁼ 1. Pour les cas CC’ où il

n’y

^a pas de ^« Back

Flow »,

la vitesse de

déplacement

^{du mur est alors :}

b)

EVANESCENCE D’UNE PAROI EN ANNEAU. - Si H est

parfaitement ^orienté,

^une

paroi

fermée décrite en

I-d est instable. En

égalant l’énergie dissipée

par friction au

gain d’énergie lorsque

^{l’anneau se}

rétrécit,

il vient :

d’où

Si K =

10 -6, y =O,lpoise,eta= 100 g, s = 10 g. s -’.

c)

CROISSANCE D’UN ANNEAU. ^- On favorise main- tenant la zone de détermination

( + )

incluse dans

( - )

en inclinant le

champ magnétique.

^En

ajoutant

^à

l’équation (1b)

^le

gain d’énergie magnétique,

^{il vient}

On voit

qu’un

^{anneau dont le}

grand

^{axe est}

égal

^à

ao ⁼

nçO 00/12

^{s est en}

équilibre

^{instable :}

- Si a ao, l’anneau

disparaît.

- Si a > ao, l’anneau croît à une vitesse

égale

^à

la vitesse de

déplacement

^d’une

paroi

^dès

que ç/a

^1.

III. Observation

optique.

^{- En lumière}

polarisée parallèlement

^{à la direction}

d’ancrage

^{on a un effet}

de lentille dû au

gradient

de l’indice extraordinaire dans une

paroi.

^Les

parois

^doivent

apparaître

^bril-

lantes.

Par

conoscopie

^le passage d’un ^{mur se} traduit par

un

déplacement

^{du centre} de la croix noire. En outre, l’étude des

franges

d’interférence donne des informa- tions extrêmement

précises

^sur l’état de distorsion.

La vitesse

d’apparition

^{et de}

disparition

^des

franges

au passage d’un ^mur devrait permettre ^{une mesure}

précise

^{de la} vitesse de

déplacement

^des

parois,

^{et ceci}

pour ^une

grande

gamme de vitesse. Mais l’inconvé- nient de cette méthode est de

n’explorer qu’un petit

domaine de l’échantillon.

Remerciements. ^- Je remercie M. le Professeur P. G. de Gennes

qui

^m’a

suggéré

^{ce travail.}

Bibliographie [1] FREEDERICKS (V.), ^ZOLINA (V.), ^Trans. Faraday Soc.,

1933, 29, 919.

[2] ^ZOCHER (H.), ^Trans. Faraday Soc., 1933, 29, ^945.

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[4] ^FRANK (F. C.), ^Disc. Faraday Soc., 1958, 25, ^1.

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^de Montpellier.

[6] ^SAUPE (A.), ^Z. Naturforsch, 1960, 15a, ^815.

[7] ^LESLIE (F. M.), Quart. ^{J. Mech.} Appl. ^Math. 1966, 19,

357.

[8] ^Notations utilisées. Groupe ^{d’étude des C. L.} d’Orsay,

J. Chem. Phys., 1969, 51, 2, ^816.