Séries entières & algèbres de Fréchet

(1)

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Plan

S éries enti ères & alg èbres de Fr échet

Laurent Poinsot

S ´eminaire CIP

(2)

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot Plan

Plan

1 Alg èbres de Fr échet Espaces de Fr échet Alg èbres de Fr échet

2 Exponentielle & logarithme

3 S ´eries enti `eres

(3)

Plan

(4)

Plan

(5)

Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Plan

(6)

Espace vectoriel topologique

SoitE unK-espace vectoriel (K=RouC) etτ une topologie surE.(E, τ)est unespace vectoriel

topologiquesi, et seulement si, les lois d’espace vectoriel deE sont continues. On dit aussi queτ est unetopologie d’espace vectoriel(surE).

(7)

Semi-norme

SoitV unK-espace vectoriel. Une applicationp:V →R+

est unesemi-normesurV si, et seulement si, quels que soientx,y ∈V,λ∈K,

1 p(x +y)≤p(x) +p(y)(sous-additivit ´e) ;

2 p(λx) =|λ|p(x)(homog én éit é).

(8)

Espace vectoriel topologique localement convexe

SoitE unK-espace vectoriel. Une familleP de

semi-normes surE d éfinit la topologie localement convexe τP d’espace vectoriel surE dont une base de voisinages de z éro est donn ée par

U_p() :={x ∈E :p(x)< } (1) pourp∈ P, >0.

(E,P)est alors unespace vectoriel topologique

localement convexe(et toutes les topologies localement convexe peuvent être d éfinies de cette mani ère).

De plus si l’ensembleP des semi-normes est s ´eparant,τP

est s ´epar ´ee.

(9)

Espace vectoriel topologique localement convexe

U_p() :={x ∈E :p(x)< } (1) pourp∈ P, >0.

est s ´epar ´ee.

(10)

Espace vectoriel topologique localement convexe

U_p() :={x ∈E :p(x)< } (1) pourp∈ P, >0.

est s ´epar ´ee.

(11)

Espace de Fr ´echet

Unespace de Fr ´echetF est un espace vectoriel

topologique localement convexe m étrisable (donc s épar é) et complet. Sa topologie est d éfinie par une famille

d ´enombrable de semi-normes{p_k}_k∈_N.

Crit `ere de convergence :Une suite(x_n)n∈NdeF converge versx si, et seulement si, quel que soitk ∈N,

n→∞lim p_k(xn−x) =0. (2)

(12)

Espace de Fr ´echet

Unespace de Fr ´echetF est un espace vectoriel

topologique localement convexe m étrisable (donc s épar é) et complet. Sa topologie est d éfinie par une famille

d ´enombrable de semi-normes{p_k}_k∈_N.

Crit `ere de convergence :Une suite(x_n)n∈NdeF converge versx si, et seulement si, quel que soitk ∈N,

n→∞lim p_k(xn−x) =0. (2)

(13)

Exemples d’espaces de Fr ´echet

1 Tout espace de Banach est un espace de Fr ´echet ;

2 R^Navecp_k((an)n∈N) :=

k

X

i=0

|a_i|;

3 C^∞([a,b])avecp_k(f) :=

k

X

i=0

sup

x∈[a,b]

|D^jf(x)|;

4 C⁰(R)avecp_k(f) :=sup{|f(x)|:−k ≤x ≤k}.

(14)

Exemples d’espaces de Fr ´echet

k

X

i=0

|a_i|;

k

X

i=0

sup

x∈[a,b]

|D^jf(x)|;

(15)

Exemples d’espaces de Fr ´echet

k

X

i=0

|a_i|;

k

X

i=0

sup

x∈[a,b]

|D^jf(x)|;

(16)

Exemples d’espaces de Fr ´echet

k

X

i=0

|a_i|;

k

X

i=0

sup

x∈[a,b]

|D^jf(x)|;

(17)

Exemples d’espaces de Fr ´echet

k

X

i=0

|a_i|;

k

X

i=0

sup

x∈[a,b]

|D^jf(x)|;

(18)

Plan

(19)

Alg `ebre topologique

Par convention, toutes les alg èbres consid ér ées dans cette pr ésentation sont suppos ées associatives.

SoitAuneK-alg èbre etτ une topologie surA.(A, τ)est unealg èbre topologiquesi, et seulement si, les lois d’alg èbres sont continues (en particulier l’espace vectoriel sous-jacent àAest un espace vectoriel topologique).

(20)

Alg `ebre topologique

Par convention, toutes les alg èbres consid ér ées dans cette pr ésentation sont suppos ées associatives.

SoitAuneK-alg èbre etτ une topologie surA.(A, τ)est unealg èbre topologiquesi, et seulement si, les lois d’alg èbres sont continues (en particulier l’espace vectoriel sous-jacent àAest un espace vectoriel topologique).

(21)

Semi-norme sous-multiplicative

SoitAuneK-alg `ebre etpune semi-norme de l’espace vectoriel sous-jacent `aA.pest ditesous-multiplicativesi, et seulement si, quels que soientx,y ∈A,

p(xy)≤p(x)p(y). (3)

(22)

Alg `ebre topologique localement convexe

Unealg `ebre topologique localement convexeest la donn ´ee de(A,P)avec

1 Aest uneK-alg `ebre ;

2 P est une famille de semi-normes deA sous-multiplicatives ;

3 A muni de la topologieτP d ´efinie parP est une alg `ebre topologique.

SiAest unif `ere (1_A), alors on demande aussi

p(1_A) =1 (4)

quelle que soit la semi-normep∈ P (on dit queprespecte l’identit ´e multiplicative).

(23)

Alg `ebre topologique localement convexe

Unealg `ebre topologique localement convexeest la donn ´ee de(A,P)avec

1 Aest uneK-alg `ebre ;

2 P est une famille de semi-normes deA sous-multiplicatives ;

3 A muni de la topologieτP d ´efinie parP est une alg `ebre topologique.

SiAest unif `ere (1_A), alors on demande aussi

p(1_A) =1 (4)

quelle que soit la semi-normep∈ P (on dit queprespecte l’identit ´e multiplicative).

(24)

Lemme

Soit(A,P)une alg `ebre topologique localement convexe telle que

1 quelle que soitp∈ P,p6=0 ;

2 Aest unif `ere (1_A).

Alors il existe une famille de semi-normesP⁰ deA

´equivalente `aP telle que quelle que soitp⁰ ∈ P⁰,p⁰ est sous-multiplicative etp⁰(1_A) =1.

(25)

Lemme

Soit(A,P)une alg `ebre topologique localement convexe telle que

1 quelle que soitp∈ P,p6=0 ;

2 Aest unif `ere (1_A).

Alors il existe une famille de semi-normesP⁰ deA

´equivalente `aP telle que quelle que soitp⁰ ∈ P⁰,p⁰ est sous-multiplicative etp⁰(1_A) =1.

(26)

Preuve (1/3)

Soitp∈ P. Puisque par hypoth `esepn’est pas identiquement nulle,p(1_A)6=0.

La fonction

p⁰(x) :=sup{p(xy) :p(y) =1}, x ∈A, (5) est une semi-norme bien d ´efinie surAtelle que

p⁰(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,

p⁰(1_A) = 1 . (6)

(27)

Preuve (1/3)

La fonction

p⁰(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,

p⁰(1_A) = 1 . (6)

(28)

Preuve (1/3)

La fonction

p⁰(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,

p⁰(1_A) = 1 . (6)

(29)

Preuve (2/3)

En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,

p(xy)≤p⁰(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p⁰(x)p(y)∀x ∈A.

Sip(y)6=0, alorsp(_p(y^y₎) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p⁰,p(xy) =p(y)p(x_p(y)^y )≤p(y)p⁰(x)∀x ∈A.

Il en r ésulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p⁰(x)≤p(x)≤p⁰(x)p(1_A). (8) AinsiP et{p⁰}_p∈P d éfinissent la m ême topologie.

(30)

Preuve (2/3)

(31)

Preuve (2/3)

(32)

Preuve (2/3)

(33)

Preuve (2/3)

(34)

Preuve (3/3)

Il reste `a montrer que toutes les semi-normesp⁰ sont sous-multiplicatives.

Soity ∈Aavecp(y) =1 et soientx,z ∈A. Alors on a p((xz)y)≤p⁰(x)p(zy)≤p⁰(x)p⁰(z) (9) et donc

p⁰(xz)≤p⁰(x)p⁰(z). (10)

(35)

Preuve (3/3)

p⁰(xz)≤p⁰(x)p⁰(z). (10)

(36)

Preuve (3/3)

p⁰(xz)≤p⁰(x)p⁰(z). (10)

(37)

Preuve (3/3)

p⁰(xz)≤p⁰(x)p⁰(z). (10)

(38)

Alg `ebre de Fr ´echet

Unealg èbre de Fr échetest une alg èbre topologique localement convexe m étrisable (donc s épar ée) et compl ète (en particulier son espace vectoriel sous-jacent est un espace de Fr échet).Sa topologie est d éfinie par une famille d énombrable de semi-normes sous-multiplicatives (et si l’alg èbre est unif ère, en vertu de ce qui pr éc ède, les semi-normes respectent l’unit é multiplicative).

(39)

Alg `ebre de Fr ´echet

Unealg èbre de Fr échetest une alg èbre topologique localement convexe m étrisable (donc s épar ée) et compl ète (en particulier son espace vectoriel sous-jacent est un espace de Fr échet). Sa topologie est d éfinie par une famille d énombrable de semi-normes sous-multiplicatives (et si l’alg èbre est unif ère, en vertu de ce qui pr éc ède, les semi-normes respectent l’unit é multiplicative).

(40)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

1 C[[z]]avec la topologie produit deC;

2 LT(N,C)avecpm,n(M) := X

n≤j≤i≤m

|M[i,j]|(pour 0≤n≤m) ;

3 SoitRune relation d’ordre surNlocalement finie (∀m,n∈Ntel que(m,n)∈R,

[m,n] :={k ∈N: (m,k)∈Ret(k,n)∈R}est fini).

AlorsA_R :={M∈C^N^×^N:M[i,j] =0 si(i,j)6∈R}avec p_m,n(M) := X

i,j:[i,j]⊆[m,n]

|M[i,j]|(pour(m,n)∈R) est une alg `ebre de Fr ´echet.

(41)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

n≤j≤i≤m

i,j:[i,j]⊆[m,n]

(42)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

n≤j≤i≤m

i,j:[i,j]⊆[m,n]

(43)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

n≤j≤i≤m

i,j:[i,j]⊆[m,n]

(44)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

n≤j≤i≤m

i,j:[i,j]⊆[m,n]

(45)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet

n≤j≤i≤m

i,j:[i,j]⊆[m,n]

(46)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet (suite)

Notons queA_Rest l’alg `ebre d’incidence de(N,R).

En particulier si tous les id ´eaux d’ordre principaux de (N,R),(←,m] :={k ∈N: (k,m)∈R}, sont finis, alors pour Z ∈A_Rd ´efini parZ[i,j] =1 si, et seulement si,(i,j)∈R, on a

(un)n∈N= ( X

k∈(←,n]

v_k)n∈N⇔(vn)n∈N= (un)n∈NZ⁻¹. (11)

(Formule d’inversion de M ¨obius.)

(47)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet (suite)

(un)n∈N= ( X

k∈(←,n]

v_k)n∈N⇔(vn)n∈N= (un)n∈NZ⁻¹. (11)

(48)

Exemples d’alg `ebres de Fr ´echet (suite)

(un)n∈N= ( X

k∈(←,n]

v_k)n∈N⇔(vn)n∈N= (un)n∈NZ⁻¹. (11)

(49)

Remarque (1/2)

On peut trouver une alg èbre topologique unif ère localement convexe, dont l’espace vectoriel sous-jacent est un espace de Fr échet, et qui n’est pas une alg èbre de Fr échet (on ne peut pas trouver de famille équivalente de semi-normes sous-multiplicatives).

(50)

Remarque (2/2)

SoitH(D)l’alg èbre de toutes les fonctions holomorphes sur le disque unit é ouvertD. On munitH(D)des op érations point à point d’espace vectoriel et du produit de Hadamard : (fg)(x) = 1

2πi Z

|z|=r

f(z)g(xz⁻¹)dzavecx ∈Det|x|<r <1. (12) Equip ée de la topologie compact-ouvert,´ H(D)est à la fois un espace de Fr échet et une alg èbre topologique (unif ère) localement convexe qui n’est pas une alg èbre de Fr échet.

(51)

Remarque (2/2)

SoitH(D)l’alg èbre de toutes les fonctions holomorphes sur le disque unit é ouvertD. On munitH(D)des op érations point à point d’espace vectoriel et du produit de Hadamard : (fg)(x) = 1

2πi Z

|z|=r

f(z)g(xz⁻¹)dzavecx ∈Det|x|<r <1. (12) Equip ée de la topologie compact-ouvert,´ H(D)est à la fois un espace de Fr échet et une alg èbre topologique (unif ère) localement convexe qui n’est pas une alg èbre de Fr échet.

(52)

D ´efinition de l’exponentielle

SoitAune alg èbre topologique s épar ée et unif ère (1_A).

On d ´efinit l’exponentielledeApar

Exp(x) :=

∞

X

n=0

xⁿ

n! (x ∈A, x⁰:=1_A) (13) d ès que la s érie dans le membre de droite de l’ égalit é converge dansA.

On noteDle domaine de d ´efinition deExpetRson image.

NiDniRn’est vide puisque 0∈ Det 1_A ∈ R.

(53)

D ´efinition de l’exponentielle

Exp(x) :=

∞

X

n=0

xⁿ

(54)

D ´efinition de l’exponentielle

Exp(x) :=

∞

X

n=0

xⁿ

(55)

D ´efinition de l’exponentielle

Exp(x) :=

∞

X

n=0

xⁿ

(56)

Convergence absolue dans un espace de Fr ´echet

Soit(E,{p_k}_k∈_N)un espace de Fr ´echet. Une s ´erie

∞

X

n=0

x_nde E est diteabsolument convergentesi, et seulement si,

∞

X

n=0

p_k(x_n)converge dansRquel que soitk ∈N.

(57)

Convergence absolue dans un espace de Fr ´echet (suite)

Soit(E,{p_k}_k∈_N)un espace de Fr ´echet. Toute s ´erie absolument convergente

∞

X

n=0

xndeE est convergente.

Preuve :Cela provient de l’in ´egalit ´e

p_k(x_m+1+· · ·+x_m+n)≤p_k(x_m+1) +· · ·+p_k(x_m+n) (k ∈N). (14)

(58)

Convergence absolue dans un espace de Fr ´echet (suite)

Soit(E,{p_k}_k∈_N)un espace de Fr ´echet. Toute s ´erie absolument convergente

∞

X

n=0

xndeE est convergente.

Preuve :Cela provient de l’in ´egalit ´e

p_k(x_m+1+· · ·+x_m+n)≤p_k(x_m+1) +· · ·+p_k(x_m+n) (k ∈N). (14)

(59)

Proposition

Soit(A,{p_k}_k∈_N)une alg èbre de Fr échet (unif ère).D=Aet de plus, la s érieExp(x)converge absolument dansApour toutx ∈A.

(60)

Preuve

Puisque les semi-normes sont sous-multiplicatives, on a un:=p_k(xⁿ

n!)≤ p_k(x)ⁿ

n! (15)

et lim

n→∞

u_n+1

u_n = lim

n→∞

p_k(x)

n+1 =0. La s ´erieExp(x)converge absolument et donc converge ´egalement dansAquel que soitx ∈A.

(61)

Propri ´et ´es de l’exponentielle

1 Exp(0) =1_AetExp(1_A) =e1_A;

2 Exp(x+y) =Exp(x)Exp(y)lorsquex ety commutent ;

3 Exp(−x) =Exp(x)⁻¹.

(62)

Propri ´et ´es de l’exponentielle

(63)

Propri ´et ´es de l’exponentielle

(64)

Propri ´et ´es de l’exponentielle

(65)

Preuve

1 Evident ;´

2 Exp(x +y) =

∞

X

n=0

(x +y)ⁿ

n! . En d ´eveloppant les

él éments de la s érie dans le membre de droite de l’ égalit é, et en regroupant les termes (ce qui est permis en raison de l’absolue convergence), on trouve que le coefficient de ^y_n!ⁿ n’est autre queExp(x). Ainsi,

Exp(x+y) =Exp(x)(1_A+y+y²

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

3 Cela provient de (2) en prenanty =−x et en utilisant (1).

(66)

Preuve

1 Evident ;´

2 Exp(x +y) =

∞

X

n=0

(x +y)ⁿ

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

(67)

Preuve

1 Evident ;´

2 Exp(x +y) =

∞

X

n=0

(x +y)ⁿ

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

(68)

Preuve

1 Evident ;´

2 Exp(x +y) =

∞

X

n=0

(x +y)ⁿ

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

(69)

Logarithme (proposition & d ´efinition)

Soit(A,{p_k}_k∈_N)une alg èbre de Fr échet (unif ère). Alors :

1 La s ´erieLog(1+x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

absolument pour toutx ∈Atel que quel que soitk ∈N, p_k(x)<1 ;

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

(70)

Logarithme (proposition & d ´efinition)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

(71)

Logarithme (proposition & d ´efinition)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

(72)

Preuve

1 Supposons que pour tout entierk,p_k(x)<1 : la s ´erie num ´eriqueX

n≥1

p_k(x)

n est donc convergente. Puisque p_k((−1)ⁿ⁺¹^x_nⁿ)≤ ^p^k^(x)_n ⁿ, la s ´erie d ´efinissantLog(1+x) est absolument convergente donc converge dansA;

2 L’identit éExp(Log(1+x)) =1+x peut être v érifi ée, comme dans le cas classique, en substituant la s érie Log(1+x)dans chaque terme de la s érie

Exp(Log(1+x)) =

∞

X

n=0

Log(1+x)ⁿ

n! (17)

puis en simplifiant (gr ˆace `a l’absolue convergence).