Unealg `ebre topologique localement convexeest la donn ´ee de(A,P)avec
1 Aest uneK-alg `ebre ;
2 P est une famille de semi-normes deA sous-multiplicatives ;
3 A muni de la topologieτP d ´efinie parP est une alg `ebre topologique.
SiAest unif `ere (1A), alors on demande aussi
p(1A) =1 (4)
quelle que soit la semi-normep∈ P (on dit queprespecte l’identit ´e multiplicative).
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Alg `ebre topologique localement convexe
Unealg `ebre topologique localement convexeest la donn ´ee de(A,P)avec
1 Aest uneK-alg `ebre ;
2 P est une famille de semi-normes deA sous-multiplicatives ;
3 A muni de la topologieτP d ´efinie parP est une alg `ebre topologique.
SiAest unif `ere (1A), alors on demande aussi
p(1A) =1 (4)
quelle que soit la semi-normep∈ P (on dit queprespecte l’identit ´e multiplicative).
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Lemme
Soit(A,P)une alg `ebre topologique localement convexe telle que
1 quelle que soitp∈ P,p6=0 ;
2 Aest unif `ere (1A).
Alors il existe une famille de semi-normesP0 deA
´equivalente `aP telle que quelle que soitp0 ∈ P0,p0 est sous-multiplicative etp0(1A) =1.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Lemme
Soit(A,P)une alg `ebre topologique localement convexe telle que
1 quelle que soitp∈ P,p6=0 ;
2 Aest unif `ere (1A).
Alors il existe une famille de semi-normesP0 deA
´equivalente `aP telle que quelle que soitp0 ∈ P0,p0 est sous-multiplicative etp0(1A) =1.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (1/3)
Soitp∈ P. Puisque par hypoth `esepn’est pas identiquement nulle,p(1A)6=0.
La fonction
p0(x) :=sup{p(xy) :p(y) =1}, x ∈A, (5) est une semi-norme bien d ´efinie surAtelle que
p0(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,
p0(1A) = 1 . (6)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (1/3)
Soitp∈ P. Puisque par hypoth `esepn’est pas identiquement nulle,p(1A)6=0.
La fonction
p0(x) :=sup{p(xy) :p(y) =1}, x ∈A, (5) est une semi-norme bien d ´efinie surAtelle que
p0(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,
p0(1A) = 1 . (6)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (1/3)
Soitp∈ P. Puisque par hypoth `esepn’est pas identiquement nulle,p(1A)6=0.
La fonction
p0(x) :=sup{p(xy) :p(y) =1}, x ∈A, (5) est une semi-norme bien d ´efinie surAtelle que
p0(x) ≤ p(x) ∀x ∈A,
p0(1A) = 1 . (6)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (2/3)
En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,
p(xy)≤p0(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p0(x)p(y)∀x ∈A.
Sip(y)6=0, alorsp(p(yy)) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p0,p(xy) =p(y)p(xp(y)y )≤p(y)p0(x)∀x ∈A.
Il en r ´esulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p0(x)≤p(x)≤p0(x)p(1A). (8) AinsiP et{p0}p∈P d ´efinissent la m ˆeme topologie.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (2/3)
En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,
p(xy)≤p0(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p0(x)p(y)∀x ∈A.
Sip(y)6=0, alorsp(p(yy)) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p0,p(xy) =p(y)p(xp(y)y )≤p(y)p0(x)∀x ∈A.
Il en r ´esulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p0(x)≤p(x)≤p0(x)p(1A). (8) AinsiP et{p0}p∈P d ´efinissent la m ˆeme topologie.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (2/3)
En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,
p(xy)≤p0(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p0(x)p(y)∀x ∈A.
Sip(y)6=0, alorsp(p(yy)) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p0,p(xy) =p(y)p(xp(y)y )≤p(y)p0(x)∀x ∈A.
Il en r ´esulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p0(x)≤p(x)≤p0(x)p(1A). (8) AinsiP et{p0}p∈P d ´efinissent la m ˆeme topologie.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (2/3)
En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,
p(xy)≤p0(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p0(x)p(y)∀x ∈A.
Sip(y)6=0, alorsp(p(yy)) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p0,p(xy) =p(y)p(xp(y)y )≤p(y)p0(x)∀x ∈A.
Il en r ´esulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p0(x)≤p(x)≤p0(x)p(1A). (8) AinsiP et{p0}p∈P d ´efinissent la m ˆeme topologie.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (2/3)
En particulier, pour toutx,y ∈A,p∈ P,
p(xy)≤p0(x)p(y). (7) En effet sip(y) =0, alorsp(xy) =0=p0(x)p(y)∀x ∈A.
Sip(y)6=0, alorsp(p(yy)) =1, donc d’apr `es la d ´efinition de p0,p(xy) =p(y)p(xp(y)y )≤p(y)p0(x)∀x ∈A.
Il en r ´esulte que quel que soitp∈ P, quel que soitx ∈A, p0(x)≤p(x)≤p0(x)p(1A). (8) AinsiP et{p0}p∈P d ´efinissent la m ˆeme topologie.
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (3/3)
Il reste `a montrer que toutes les semi-normesp0 sont sous-multiplicatives.
Soity ∈Aavecp(y) =1 et soientx,z ∈A. Alors on a p((xz)y)≤p0(x)p(zy)≤p0(x)p0(z) (9) et donc
p0(xz)≤p0(x)p0(z). (10)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (3/3)
Il reste `a montrer que toutes les semi-normesp0 sont sous-multiplicatives.
Soity ∈Aavecp(y) =1 et soientx,z ∈A. Alors on a p((xz)y)≤p0(x)p(zy)≤p0(x)p0(z) (9) et donc
p0(xz)≤p0(x)p0(z). (10)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (3/3)
Il reste `a montrer que toutes les semi-normesp0 sont sous-multiplicatives.
Soity ∈Aavecp(y) =1 et soientx,z ∈A. Alors on a p((xz)y)≤p0(x)p(zy)≤p0(x)p0(z) (9) et donc
p0(xz)≤p0(x)p0(z). (10)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres
Preuve (3/3)
Il reste `a montrer que toutes les semi-normesp0 sont sous-multiplicatives.
Soity ∈Aavecp(y) =1 et soientx,z ∈A. Alors on a p((xz)y)≤p0(x)p(zy)≤p0(x)p0(z) (9) et donc
p0(xz)≤p0(x)p0(z). (10)
S ´eries enti `eres &
alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot
Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle
& logarithme Fonctions enti `eres