Propri ´et ´es de l’exponentielle

1 Exp(0) =1_AetExp(1_A) =e1_A;

2 Exp(x+y) =Exp(x)Exp(y)lorsquex ety commutent ;

3 Exp(−x) =Exp(x)⁻¹.

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Propri ´et ´es de l’exponentielle

1 Exp(0) =1_AetExp(1_A) =e1_A;

2 Exp(x+y) =Exp(x)Exp(y)lorsquex ety commutent ;

3 Exp(−x) =Exp(x)⁻¹.

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Propri ´et ´es de l’exponentielle

1 Exp(0) =1_AetExp(1_A) =e1_A;

2 Exp(x+y) =Exp(x)Exp(y)lorsquex ety commutent ;

3 Exp(−x) =Exp(x)⁻¹.

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Propri ´et ´es de l’exponentielle

1 Exp(0) =1_AetExp(1_A) =e1_A;

2 Exp(x+y) =Exp(x)Exp(y)lorsquex ety commutent ;

3 Exp(−x) =Exp(x)⁻¹.

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet

´el ´ements de la s ´erie dans le membre de droite de l’ ´egalit ´e, et en regroupant les termes (ce qui est permis en raison de l’absolue convergence), on trouve que le coefficient de ^y_n!ⁿ n’est autre queExp(x). Ainsi,

Exp(x+y) =Exp(x)(1_A+y+y²

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

3 Cela provient de (2) en prenanty =−x et en utilisant (1).

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Alg `ebres de Fr ´echet

´el ´ements de la s ´erie dans le membre de droite de l’ ´egalit ´e, et en regroupant les termes (ce qui est permis en raison de l’absolue convergence), on trouve que le coefficient de ^y_n!ⁿ n’est autre queExp(x). Ainsi,

Exp(x+y) =Exp(x)(1_A+y+y²

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

3 Cela provient de (2) en prenanty =−x et en utilisant (1).

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet

´el ´ements de la s ´erie dans le membre de droite de l’ ´egalit ´e, et en regroupant les termes (ce qui est permis en raison de l’absolue convergence), on trouve que le coefficient de ^y_n!ⁿ n’est autre queExp(x). Ainsi,

Exp(x+y) =Exp(x)(1_A+y+y²

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

3 Cela provient de (2) en prenanty =−x et en utilisant (1).

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Alg `ebres de Fr ´echet

´el ´ements de la s ´erie dans le membre de droite de l’ ´egalit ´e, et en regroupant les termes (ce qui est permis en raison de l’absolue convergence), on trouve que le coefficient de ^y_n!ⁿ n’est autre queExp(x). Ainsi,

Exp(x+y) =Exp(x)(1_A+y+y²

2!+. . .) =Exp(x)Exp(y) ; (16)

3 Cela provient de (2) en prenanty =−x et en utilisant (1).

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Logarithme (proposition & d ´efinition)

Soit(A,{p_k}_k∈N)une alg `ebre de Fr ´echet (unif `ere). Alors :

1 La s ´erieLog(1+x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

absolument pour toutx ∈Atel que quel que soitk ∈N, p_k(x)<1 ;

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Logarithme (proposition & d ´efinition)

Soit(A,{p_k}_k∈N)une alg `ebre de Fr ´echet (unif `ere). Alors :

1 La s ´erieLog(1+x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

absolument pour toutx ∈Atel que quel que soitk ∈N, p_k(x)<1 ;

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Logarithme (proposition & d ´efinition)

Soit(A,{p_k}_k∈N)une alg `ebre de Fr ´echet (unif `ere). Alors :

1 La s ´erieLog(1+x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n converge

absolument pour toutx ∈Atel que quel que soitk ∈N, p_k(x)<1 ;

2 Exp(Log(1+x)) =1+x.

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Alg `ebres de Fr ´echet num ´eriqueX

n≥1

p_k(x)

n est donc convergente. Puisque p_k((−1)^n+1x_nⁿ)≤ ^pk(x)_n ⁿ, la s ´erie d ´efinissantLog(1+x) est absolument convergente donc converge dansA;

2 L’identit ´eExp(Log(1+x)) =1+x peut ˆetre v ´erifi ´ee, comme dans le cas classique, en substituant la s ´erie Log(1+x)dans chaque terme de la s ´erie

puis en simplifiant (gr ˆace `a l’absolue convergence).

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet num ´eriqueX

n≥1

p_k(x)

n est donc convergente. Puisque p_k((−1)^n+1x_nⁿ)≤ ^pk(x)_n ⁿ, la s ´erie d ´efinissantLog(1+x) est absolument convergente donc converge dansA;

2 L’identit ´eExp(Log(1+x)) =1+x peut ˆetre v ´erifi ´ee, comme dans le cas classique, en substituant la s ´erie Log(1+x)dans chaque terme de la s ´erie

puis en simplifiant (gr ˆace `a l’absolue convergence).

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Alg `ebres de Fr ´echet num ´eriqueX

n≥1

p_k(x)

n est donc convergente. Puisque p_k((−1)^n+1x_nⁿ)≤ ^pk(x)_n ⁿ, la s ´erie d ´efinissantLog(1+x) est absolument convergente donc converge dansA;

2 L’identit ´eExp(Log(1+x)) =1+x peut ˆetre v ´erifi ´ee, comme dans le cas classique, en substituant la s ´erie Log(1+x)dans chaque terme de la s ´erie

puis en simplifiant (gr ˆace `a l’absolue convergence).

S ´eries enti `eres &

alg `ebres de Fr ´echet Laurent Poinsot

Alg `ebres de Fr ´echet

Unes ´erie enti `erede la variableλest une s ´erie de terme g ´en ´eralfnλ<sup>n</sup>, o `unest un entier naturel etfn ∈K.Par

Rappelons enfin quef(λ)converge absolument en tout point de son disque (ouvert) de convergenceD(0,R[o `u R∈[0; +∞]d ´esigne sonrayon de convergence.

Exemples :exp(λ) =

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Alg `ebres de Fr ´echet

Unes ´erie enti `erede la variableλest une s ´erie de terme g ´en ´eralfnλ<sup>n</sup>, o `unest un entier naturel etfn ∈K. Par

Rappelons enfin quef(λ)converge absolument en tout point de son disque (ouvert) de convergenceD(0,R[o `u R∈[0; +∞]d ´esigne sonrayon de convergence.

Exemples :exp(λ) =

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet

Unes ´erie enti `erede la variableλest une s ´erie de terme g ´en ´eralfnλ<sup>n</sup>, o `unest un entier naturel etfn ∈K. Par

Rappelons enfin quef(λ)converge absolument en tout point de son disque (ouvert) de convergenceD(0,R[o `u R∈[0; +∞]d ´esigne sonrayon de convergence.

Exemples :exp(λ) =

S ´eries enti `eres &

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Alg `ebres de Fr ´echet

Unes ´erie enti `erede la variableλest une s ´erie de terme g ´en ´eralfnλ<sup>n</sup>, o `unest un entier naturel etfn ∈K. Par

Rappelons enfin quef(λ)converge absolument en tout point de son disque (ouvert) de convergenceD(0,R[o `u R∈[0; +∞]d ´esigne sonrayon de convergence.

Exemples :exp(λ) =

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Alg `ebres de Fr ´echet seulement si, la s ´erie

∞

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Alg `ebres de Fr ´echet seulement si, la s ´erie

∞

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Alg `ebres de Fr ´echet seulement si, la s ´erie

∞

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∞

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Alg `ebres de Fr ´echet Exponentielle

& logarithme Fonctions enti `eres

Proposition

Soit(A,{p_k})est une alg `ebre (unif `ere) de Fr ´echet. Soit f(λ) =

∞

X

k=0

f_nλⁿune s ´erie enti `ere de rayon de convergence R.Alorsf(λ)op `ere absolument sur chaque ´el ´ement de la partie \

k≥0

p_k⁻¹(D(0,R[))deA.

En particulier une s ´erie enti `ere de rayon de convergence infini (c’est- `a-dire une fonction enti `ere) op `ere sur tous les

´el ´ements deA.

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& logarithme Fonctions enti `eres

Proposition

Soit(A,{p_k})est une alg `ebre (unif `ere) de Fr ´echet. Soit f(λ) =

∞

X

k=0

f_nλⁿune s ´erie enti `ere de rayon de convergence R. Alorsf(λ)op `ere absolument sur chaque ´el ´ement de la partie \

k≥0

p_k⁻¹(D(0,R[))deA.

En particulier une s ´erie enti `ere de rayon de convergence infini (c’est- `a-dire une fonction enti `ere) op `ere sur tous les

´el ´ements deA.

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& logarithme Fonctions enti `eres

Proposition

Soit(A,{p_k})est une alg `ebre (unif `ere) de Fr ´echet. Soit f(λ) =

∞

X

k=0

f_nλⁿune s ´erie enti `ere de rayon de convergence R. Alorsf(λ)op `ere absolument sur chaque ´el ´ement de la partie \

k≥0

p_k⁻¹(D(0,R[))deA.

En particulier une s ´erie enti `ere de rayon de convergence infini (c’est- `a-dire une fonction enti `ere) op `ere sur tous les

´el ´ements deA.

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